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Untersuchen Sie die Reihen mit dem Quotientenkriterium auf Konvergenz:
[mm] \summe_{i=1}^{infty}= n!/n^n [/mm]
Ich habe eins raus. Kann das sein?
EDIT: Nein ich habe mich vertan.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n!}{n^n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{(n+1)!}{(n+1)^(n+1)}}{\bruch{n!}{n^n}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^n}{(n+1)^{(n)}} [/mm] = "Jetzt würde ich L´Hospital anwenden" = [mm] e^{ln( \bruch{n^n}{(n+1)^(n)})} [/mm] = [mm] e^{n*ln(\bruch{n}{n+1}}=...=e^{1}
[/mm]
LG DerPinguinagent
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> Untersuchen Sie die Reihen mit dem Quotientenkriterium auf
> Konvergenz:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{infty}= n!/n^n[/mm]
Hallo,
wahrscheinlich möchtest Du mit uns über [mm] \summe_{n=1}^{\infty}n!/n^n [/mm] sprechen.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n!}{n^n}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{(n+1)!}{(n+1)^(n+1)}}{\bruch{n!}{n^n}}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^n}{(n+1)^{(n)}}[/mm] =
> "Jetzt würde ich L´Hospital anwenden" = [mm]e^{ln( \bruch{n^n}{(n+1)^(n)})}[/mm]
> = [mm]e^{n*ln(\bruch{n}{n+1}}=...=e^{1}[/mm]
Du schreibst hier
" [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n!}{n^n}=...=e^1" [/mm] .
Meinst Du das wirklich? Nein, wohl eher nicht.
Der Überschrift entnehme ich, daß Du [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{(n+1)!}{(n+1)^(n+1)}}{\bruch{n!}{n^n}} [/mm] untersuchen möchtest, was Du dann ja auch tust.
Du bekommst [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{(n+1)!}{(n+1)^(n+1)}}{\bruch{n!}{n^n}}=e, [/mm] woraus folgt, daß die zu untersuchende Reihe nicht konvergiert.
Allerdings hast Du irgendwie falsch gerechnet.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{(n+1)!}{(n+1)^(n+1)}}{\bruch{n!}{n^n}}[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^n}{(n+1)^{n}}[/mm]
stimmt, wie Du dann aber l'Hospital anwendest, durchschaue ich nicht, und das Ergebnis ist auch verkehrt.
Ich würde aber auch nicht mit dem Hospital-Geschoß kommen, sondern mich auf bekannte Grenzwerte berufen.
Es ist ja [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^n}{(n+1)^{n}}=\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{n}{n+1})^{n} [/mm] und dazu fällt Dir bestimmt etwas ein, wenn Du mal in Richtung e denkst.
LG Angela
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> LG DerPinguinagent
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Erst einmal vielen Dank für deine Antwort. Ich hatte da irgendwie ein Denkfehler drin. Kann es sein, dass da [mm] e^{-1}
[/mm]
LG DerPinguinagent
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 So 09.07.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo Pinguinagent 
Es ist
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^n}{(n+1)^{n}}=\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{n}{n+1})^{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\frac{1}{\frac{n+1}{n}})^{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{1^{n}}{(\frac{n+1}{n})^{n}} [/mm] =
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{1^{n}}{(n + \frac{1}{n})^{n}} [/mm]
Und damit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^n}{(n+1)^{n}} [/mm] = [mm] \frac{1}{e} [/mm]
Nun sauber formuliert: was sagt das Quotientenkriterium nun aus?
Viele Grüße,
X3nion
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Danke, aber das ist doch [mm] e^{-1} [/mm] => Konvergent
LG DerPinguinagent
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 So 09.07.2017 | | Autor: | X3nion |
> Untersuchen Sie die Reihen mit dem Quotientenkriterium auf Konvergenz:
> $ [mm] \summe_{i=1}^{infty}= n!/n^n [/mm] $
> Ich habe eins raus. Kann das sein?
> EDIT: Nein ich habe mich vertan.
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n!}{n^n} [/mm] $ = $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{(n+1)!}{(n+1)^(n+1)}}{\bruch{n!}{n^n}} [/mm] $ = $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^n}{(n+1)^{(n)}} [/mm] $ = "Jetzt würde ich L´Hospital anwenden" = $ [mm] e^{ln( \bruch{n^n}{(n+1)^(n)})} [/mm] $ = $ [mm] e^{n\cdot{}ln(\bruch{n}{n+1}}=...=e^{1} [/mm] $
> LG DerPinguinagent
Hallo Pinguinagent,
klar ist die Reihe damit konvergent, aber an der Schreibweise kann man noch ein wenig arbeiten!
> Ich habe eins raus. Kann das sein?
Was ist "eins"? 
Darüber hinaus ist nicht $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n!}{n^n} [/mm] $ = $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{(n+1)!}{(n+1)^(n+1)}}{\bruch{n!}{n^n}} [/mm] $
Sondern das Quotientenkriterium besagt folgendes:
Es sei [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} [/mm] eine Reihe mit [mm] a_{n} \not= [/mm] 0 für fast alle n.
Ist nun [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| [/mm] < 1, so konvergiert die ursprügliche Reihe absolut.
In unserem Fall ist [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \frac{n!}{n^n} [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left|\frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^(n+1)}}{\frac{n!}{n^n}}\right| [/mm] = ... = [mm] e^{-1} [/mm] < 1
=> folglich ist die ursprüngliche Reihe absolut konvergent und deshalb auch konvergent im gewöhnlichen Sinne.
Viele Grüße,
X3nion
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