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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 So 28.11.2010 | | Autor: | BarneyS |
| Aufgabe | | Zu Zeigen: [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n\bruch{(x^{2n})}{(2n)!}[/mm] konvergiert absolut für jedes $x [mm] \in \IR$ [/mm] |
Hallo, kurze Frage zur Herangehensweise:
reicht es, wenn ich zeige, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left| \bruch{(b_{n+1})}{b_n} \right| < 1[/mm] mit [mm]b_n= (-1)^n\bruch{(x^{2n})}{(2n)!}[/mm]?
Oder muss ich das Leibnizkriterium anwenden und zeigen, dass [mm] $b_n$ [/mm] eine positive monoton fallende Nullfolge ist?
Vielen Dank!
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> Zu Zeigen: [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n\bruch{(x^{2n})}{(2n)!}[/mm]
> konvergiert absolut für jedes [mm]x \in \IR[/mm]
>
> Hallo, kurze Frage zur Herangehensweise:
>
> reicht es, wenn ich zeige, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left| \bruch{(b_{n+1})}{b_n} \right| < 1[/mm]
nein, du musst ein q finden, so dass gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left| \bruch{(b_{n+1})}{b_n} \right| \le [/mm] q<1
> mit [mm]b_n= (-1)^n\bruch{(x^{2n})}{(2n)!}[/mm]?
>
> Oder muss ich das Leibnizkriterium anwenden und zeigen,
> dass [mm]b_n[/mm] eine positive monoton fallende Nullfolge ist?
also für mich ist [mm] b_n [/mm] nicht positiv
>
> Vielen Dank!
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 So 28.11.2010 | | Autor: | BarneyS |
> > Zu Zeigen: [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n\bruch{(x^{2n})}{(2n)!}[/mm]
> > konvergiert absolut für jedes [mm]x \in \IR[/mm]
> >
> > Hallo, kurze Frage zur Herangehensweise:
> >
> > reicht es, wenn ich zeige, dass
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left| \bruch{(b_{n+1})}{b_n} \right| < 1[/mm]
> nein, du musst ein q finden, so dass gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left| \bruch{(b_{n+1})}{b_n} \right| \le[/mm]
> q<1
> > mit [mm]b_n= (-1)^n\bruch{x^{2n}}{(2n)!}[/mm]?
> >
Danke erstmal für die Antwort.
Aber was bringt mir denn hier das q? Bzw. wo ist der Unterschied zu dem, was ich vorgeschlagen habe.
Wenn ich es ausrechne, komme ich auf folgendes:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left| \bruch{(b_{n+1})}{b_n} \right|=\limes_{n\rightarrow\infty}\left| -\bruch{x^2}{4n^2+6n+2} \right|=0<1[/mm]. Also konvergent.
> > Oder muss ich das Leibnizkriterium anwenden und zeigen,
> > dass [mm]b_n[/mm] eine positive monoton fallende Nullfolge ist?
> also für mich ist [mm]b_n[/mm] nicht positiv
Ich habe das mit dem Leibnizkriterium falsch dargestellt.
Wenn, dann muss man zeigen, dass [mm]a_n= \bruch{x^{2n}}{(2n)!}[/mm] eine positive, monoton fallende Nullfolge ist und nicht [mm] $b_n$.
[/mm]
Würde das ein richtiger Lösungsweg sein?
Grüße,
Barney
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Hallo BarneyS,
> > > Zu Zeigen: [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n\bruch{(x^{2n})}{(2n)!}[/mm]
> > > konvergiert absolut für jedes [mm]x \in \IR[/mm]
> > >
> > > Hallo, kurze Frage zur Herangehensweise:
> > >
> > > reicht es, wenn ich zeige, dass
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left| \bruch{(b_{n+1})}{b_n} \right| < 1[/mm]
> > nein, du musst ein q finden, so dass gilt:
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left| \bruch{(b_{n+1})}{b_n} \right| \le[/mm]
> > q<1
> > > mit [mm]b_n= (-1)^n\bruch{x^{2n}}{(2n)!}[/mm]?
> > >
> Danke erstmal für die Antwort.
>
> Aber was bringt mir denn hier das q? Bzw. wo ist der
> Unterschied zu dem, was ich vorgeschlagen habe.
>
> Wenn ich es ausrechne, komme ich auf folgendes:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left| \bruch{(b_{n+1})}{b_n} \right|=\limes_{n\rightarrow\infty}\left| -\bruch{x^2}{4n^2+6n+2} \right|=0<1[/mm].
> Also konvergent.
>
>
> > > Oder muss ich das Leibnizkriterium anwenden und zeigen,
> > > dass [mm]b_n[/mm] eine positive monoton fallende Nullfolge ist?
> > also für mich ist [mm]b_n[/mm] nicht positiv
>
> Ich habe das mit dem Leibnizkriterium falsch dargestellt.
> Wenn, dann muss man zeigen, dass [mm]a_n= \bruch{x^{2n}}{(2n)!}[/mm]
> eine positive, monoton fallende Nullfolge ist und nicht
> [mm]b_n[/mm].
Kannst du zeigen, dass das für alle [mm]x\in\IR[/mm] gilt??
Das Quotientenkriterium ist doch hier ganz einfach.
Du hast [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n[/mm] mit [mm]a_n=(-1)^n\cdot{}\frac{x^{2n}}{(2n)!}[/mm]
Nach QK ist zu berechnen:
[mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|[/mm]
Für [mm]x\neq 0[/mm] ist [mm]\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!}\cdot{}\frac{(2n)!}{x^{2n}}\right|=|x^2|\cdot{}\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}[/mm]
Und wogegen strebt das für [mm]n\to\infty[/mm] und was sagt das QK dazu?
Ist das von x abh.?
Für [mm]x=0[/mm] gilt was?
>
> Würde das ein richtiger Lösungsweg sein?
Ja, aber das must du erstmal zeigen ...
>
> Grüße,
> Barney
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 So 28.11.2010 | | Autor: | BarneyS |
> Hallo BarneyS,
>
>
> > > > Zu Zeigen: [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n\bruch{(x^{2n})}{(2n)!}[/mm]
> > > > konvergiert absolut für jedes [mm]x \in \IR[/mm]
> > > >
> > > > Hallo, kurze Frage zur Herangehensweise:
> > > >
> > > > reicht es, wenn ich zeige, dass
> > > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left| \bruch{(b_{n+1})}{b_n} \right| < 1[/mm]
> > > nein, du musst ein q finden, so dass gilt:
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left| \bruch{(b_{n+1})}{b_n} \right| \le[/mm]
> > > q<1
> > > > mit [mm]b_n= (-1)^n\bruch{x^{2n}}{(2n)!}[/mm]?
> > > >
> > Danke erstmal für die Antwort.
> >
> > Aber was bringt mir denn hier das q? Bzw. wo ist der
> > Unterschied zu dem, was ich vorgeschlagen habe.
> >
> > Wenn ich es ausrechne, komme ich auf folgendes:
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left| \bruch{(b_{n+1})}{b_n} \right|=\limes_{n\rightarrow\infty}\left| -\bruch{x^2}{4n^2+6n+2} \right|=0<1[/mm].
> > Also konvergent.
> >
> >
> > > > Oder muss ich das Leibnizkriterium anwenden und zeigen,
> > > > dass [mm]b_n[/mm] eine positive monoton fallende Nullfolge ist?
> > > also für mich ist [mm]b_n[/mm] nicht positiv
> >
> > Ich habe das mit dem Leibnizkriterium falsch dargestellt.
> > Wenn, dann muss man zeigen, dass [mm]a_n= \bruch{x^{2n}}{(2n)!}[/mm]
> > eine positive, monoton fallende Nullfolge ist und nicht
> > [mm]b_n[/mm].
>
> Kannst du zeigen, dass das für alle [mm]x\in\IR[/mm] gilt??
>
> Das Quotientenkriterium ist doch hier ganz einfach.
>
> Du hast [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n[/mm] mit
> [mm]a_n=(-1)^n\cdot{}\frac{x^{2n}}{(2n)!}[/mm]
>
> Nach QK ist zu berechnen:
>
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|[/mm]
>
> Für [mm]x\neq 0[/mm] ist
> [mm]\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!}\cdot{}\frac{(2n)!}{x^{2n}}\right|=|x^2|\cdot{}\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}[/mm]
>
> Und wogegen strebt das für [mm]n\to\infty[/mm] und was sagt das QK
> dazu?
>
> Ist das von x abh.?
>
> Für [mm]x=0[/mm] gilt was?
Es strebt gegen 0, egal wie groß x ist. Das QK sagt dazu konvergent.
Für x = 0 ist die ganze Summe = 0 und damit auch konvergent.
richtig?
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Hallo nochmal,
> Es strebt gegen 0, egal wie groß x ist. Das QK sagt dazu
> konvergent. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Für x = 0 ist die ganze Summe = 0 und damit auch
> konvergent.
> richtig?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:55 So 28.11.2010 | | Autor: | BarneyS |
Ok, danke für die Hilfe.
Allerdings hätte doch ein einfaches "Ja" auf die erste Frage in meinem Ursprungspost gereicht, womit sich dann ja auch die zweite Frage erübrigt hätte.
Ist nicht böse gemeint, aber die Antwort war etwas umständlich.
Ich verstehe immer noch nicht, warum fencheltee schreibt, dass mein Ansatz nicht richtig sei??
Naja, egal...
Grüße,
Barney
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