Konvergenz einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Konvergiert die Folge (an)n mit an = [mm] \summe_{k=n+1}^{2n} [/mm] 1/k |
Hallo,
ich wollte die o.g. Aufgabe lösen. Hier ist nicht nach dem genauen Grenzwert gefragt.
Meine Idee. Man zeigt Beschränktheit und Monotonie.
Beschränktheit kann man mit dem Sandwich-Lemma zeigen und kommt dann dazu, dass die Folge durch 0 und 1 Beschränkt ist.
Ich habe aber ein Problem bei der Monotonie.
Ich wollte
[mm] \summe_{k=n+1}^{2n} [/mm] 1/k >= [mm] \summe_{k=n+2}^{2n+2} [/mm] 1/k
zeigen.
Ist das soweit richtig? Jedes n durch n+1 ersetzen?
Wenn man dann anfängt, kommt man zu:
[mm] \summe_{k=n+1}^{2n} [/mm] 1/k >= [mm] \summe_{k=n+1}^{2n} [/mm] 1/k + [mm] \bruch{1}{2n+2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2n+1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n+1}
[/mm]
Wenn man nun den Hauptnenner bildet, bekommt man leider einen positiven Quotienten raus, das heißt ja, dass auf der rechten Seite ein kleines bisschen mehr als Links in der Ungleichung steht, sprich es scheint nicht monoton fallend zu sein, was sie aber eigentlich sein müsste...
kann mir jemand helfen?
Viele Grüße und Dankeschön :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:36 Di 04.08.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Folge ist monoton wachsend , nicht fallend! also kannst du nicht beweisen, was da steht.
was da steht ist doch sehr falsch
[mm] \summe_{k=n+1}^{2n}1/k>\summe_{k=n+1}^{2n} [/mm] 1/k+ noch weitere Summanden??
du musst zeigen
[mm] \summe_{k=n+2}^{2n+2}=\summe_{k=n+1}^{2n}1/k [/mm] -1/(n+1)+1/(2n+1)+/(2n+2) [mm] >\summe_{k=n+1}^{2n}1/k
[/mm]
also -1/(n+1)+1/(2n+1)+/(2n+2) >0
Gruss leduart
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Hi,
jo dankeschön. Hab mich da "vom Gefühl" etwas trügen lassen. Mein 1. Eindruck war, dass die Folge fällt.
Aber ansonsten hab ich quasi da schon die Summanden aus der Summe rausgeholt um die Summen vergleichen zu können - und dabei fällt ja auf, dass sie nicht fällt...
Dankeschön!
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