Konvergenz einer Folgensumme < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Konvergiert diese Folge?
[mm] $a_n [/mm] = 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n)$ |
Ich hätte mir gerne die Tatsache zu Nutze gemacht, dass eine
a) monotone Folge
b) beschränkte Folge
eine konvergierende Folge ist.
Daher zeige ich
a) die Folge [mm] $a_n$ [/mm] ist monoton steigend, da [mm] $a_{n+1} [/mm] - [mm] a_n [/mm] = 1/(2n+2) > 0$
b) die Folge [mm] $a_n$ [/mm] ist beschränkt, weil.. joah. Hier endet dann der (unvollständige) Beweis.
Natürlich bin ich davon ausgegangen, dass die Folge konvergiert. Sie könnte aber genau so gut divergieren.
Man sieht: Ich brauche Hilfe :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:34 Mi 01.05.2013 | | Autor: | hippias |
Mein Tipp: schaetze ganz grob mit Hilfe des groessten Summanden der Summe ab. Dadurch sollte sich die Konvergenz ergeben.
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Hallo,
ich wollte das mal kurz demonstrieren:
1.) Die Folge ist nach unten beschränkt, und zwar mit einer unteren Schranke = 0.
D.h. ich muss zeigen: 0 < [mm] $c_n$
[/mm]
Ich dachte, hier böte sich Vollständige Induktion an:
IA: 0 < [mm] $c_1$ [/mm] = 1/2
IS: 0 < [mm] $c_{n+1}$ [/mm]
Beim Induktionsschritt habe ich ein paar Schwierigkeiten.
[mm] $c_{n+1} [/mm] = 1/(n+2) + 1/(n+3) + ... + 1/2n + 1/(2n+1) + 1/(2n+2) = [mm] c_{n} [/mm] - 1/(n+1) + 1/(2n+1) + 1/(2n+2) $
Und dann muss ich zeigen:
[mm] $c_{n} [/mm] - 1/(n+1) + 1/(2n+1) + 1/(2n+2) > 0$
wobei
[mm] $c_{n} [/mm] - 1/(n+1) + 1/(2n+1) + 1/(2n+2) > - 1/(n+1) + 1/(2n+1) + 1/(2n+2)$
Durch Umformung erhalte ich
$2n+1 > 0$ womit die Behauptung als bewiesen gilt.
Soweit dazu?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Do 02.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich wollte das mal kurz demonstrieren:
>
> 1.) Die Folge ist nach unten beschränkt, und zwar mit
> einer unteren Schranke = 0.
>
> D.h. ich muss zeigen: 0 < [mm]c_n[/mm]
> Ich dachte, hier böte sich Vollständige Induktion an:
>
> IA: 0 < [mm]c_1[/mm] = 1/2
> IS: 0 < [mm]c_{n+1}[/mm]
>
> Beim Induktionsschritt habe ich ein paar Schwierigkeiten.
>
> [mm]c_{n+1} = 1/(n+2) + 1/(n+3) + ... + 1/2n + 1/(2n+1) + 1/(2n+2) = c_{n} - 1/(n+1) + 1/(2n+1) + 1/(2n+2)[/mm]
>
> Und dann muss ich zeigen:
>
> [mm]c_{n} - 1/(n+1) + 1/(2n+1) + 1/(2n+2) > 0[/mm]
> wobei
> [mm]c_{n} - 1/(n+1) + 1/(2n+1) + 1/(2n+2) > - 1/(n+1) + 1/(2n+1) + 1/(2n+2)[/mm]
>
> Durch Umformung erhalte ich
> [mm]2n+1 > 0[/mm] womit die Behauptung als bewiesen gilt.
>
> Soweit dazu?
Ist [mm] c_n [/mm] = [mm] a_n [/mm] und
$ [mm] a_n [/mm] = 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n) $ ????
Wenn ja, so sieht doch ein Blinder, dass [mm] a_n [/mm] >0 ist für jedes n.
Was Du noch zeigen mußt, ist dass [mm] a_n [/mm] nach oben beschränkt ist.
Dazu benutze, dass [mm] \bruch{1}{n+j} \le \bruch{1}{n} [/mm] für j [mm] \ge [/mm] 1.
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 Do 02.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> D.h. ich muss zeigen: 0 < [mm]c_n[/mm]
[mm] $a_n\,,$ [/mm] oder?
> Ich dachte, hier böte sich Vollständige Induktion an:
Siehe Freds Hinweis: Alle Summanden sind $> [mm] 0\,.$
[/mm]
Das geht auch per Induktion:
[mm] $$a_n:=\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k+1}\,.$$
[/mm]
Es ist [mm] $a_1=1/2 [/mm] > 0$ und
[mm] $$\sum_{k=n+2}^{2(n+1)}\frac{1}{k+1}=(\sum_{k=n+1}^{2n+2}\frac{1}{k+1})\;-\;\frac{1}{n+2}=(\sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k+1})+\frac{1}{2n+3}+\frac{1}{2n+2}\;-\;\frac{1}{n+2}\,.$$
[/mm]
Zeige:
[mm] $$\frac{1}{2n+3}+\frac{1}{2n+2}\;-\;\frac{1}{n+2} \ge 0\,.$$
[/mm]
Das ist aber hier echt umständlich, und ich würde, wenn ich hier einen
Induktionsbeweis machen wollte, einen in folgender Art machen - denn
dann hat man das bewiesen, worauf Fred hingewiesen hat:
Wenn man $n [mm] \in \IN$ [/mm] Zahlen [mm] $x_1,...,x_n$ [/mm] mit [mm] $x_k [/mm] > 0$ für $k=1,...,n$ hat, dann ist stets [mm] $\sum_{k=1}^n x_k [/mm] > [mm] 0\,.$
[/mm]
Dann ist der Induktionsbeweis nämlich trivial:
Es ist $r > [mm] 0\,$ [/mm] für jedes $r > [mm] 0\,.$
[/mm]
Sei nun [mm] $\sum_{k=1}^m r_k [/mm] > 0$ für alle [mm] $r_1,...,r_m [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] mit [mm] $1\le [/mm] m [mm] \le n\,.$
[/mm]
$n [mm] \to [/mm] n+1$: Es sollen uns nun [mm] $n+1\,$ [/mm] Zahlen [mm] ${r_1}',...,{r_n}', {r_{n+1}}' [/mm] > 0$ vorliegen. Wegen
[mm] $$\sum_{k=1}^{n+1} {r_k}'=(\sum_{k=1}^n {r_k}')+r_{n+1}'$$
[/mm]
folgt dann nach Induktionsvoraussetzung die Behauptung.
Damit ist die erwähnte Trivialität bewiesen, und bei Dir: Jedes [mm] $a_n$ [/mm] wird
als Summe von [mm] $n\;$ [/mm] echt positiven Zahlen dann stets echt positiv sein!
So, und jetzt beweisen wir, dass [mm] $1+1=2\,$ [/mm] für $1,2 [mm] \in \IR$:
[/mm]
Wegen [mm] $1=\cos(0)$ [/mm] und [mm] $1=\sin(\pi/2)$ [/mm] folgt wegen
[mm] $$\sin(x)=\sum^{\infty}_{\ell=0} (-1)^\ell \frac{x^{2\ell+1}}{(2\ell+1)!}$$
[/mm]
...
Oh, tut mir leid: ![[mussweg]](/images/smileys/mussweg.gif "[mussweg]")
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]")
P.S. Obiger (erster) Induktionsbeweis zeigt übrigens, dass Induktion nicht
immer die beste Wahl ist...
Gruß,
Marcel
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