Konvergenz einer Reihe < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Sa 28.01.2006 | | Autor: | scratchy |
| Aufgabe | | Reihe auf Konergenz untersuchen: [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k+2}{300*k+250} [/mm] |
Hi,
wenn ich das Quotientenkriterium auf diese Reihe anwende, kommt als Grenzwert 1 heraus. Das sagt ja nun nichts über Konvergenz oder Divergenz dieser Reihe aus. Meine Vermutung ist aber, dass sie divergent ist.
Meine Frage ist nun, was habe ich für Möglichkeiten wenn das Quotientenkriterium/Wurzelkriterium versagt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 Sa 28.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo scratchy!
Versuche es mal mit dem Minrantenkriterium, indem Du z.B. gegen die harmonische Reihe [mm] $\summe\bruch{1}{k}$ [/mm] abschätzt.
[mm] $\bruch{k+2}{300*k+250} [/mm] \ > \ [mm] \bruch{2}{300*k+250} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{150*\left(k+\bruch{5}{6}\right)} [/mm] \ > \ ...$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Sa 28.01.2006 | | Autor: | scratchy |
Hallo Loddar
das Minorantenkriterium ist mir jetzt gar bekannt, so dass ich erst mal mit Hilfe meiner Formalsammlung die Bedeutung entschlüsslen muss.
Kann es sein, dass die Reihe (ich nenne sie mal [mm] b_{k}) [/mm] divergent ist, da [mm] a_{k} [/mm] (Hamonische Reihe) divergent ist und [mm] b_{k} [/mm] <= [mm] a_{k} [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:30 Sa 28.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo scratchy!
Genau umgekehrt! Aus [mm] $\summe a_n [/mm] \ [mm] \text{divergent}$ [/mm] und [mm] $b_n [/mm] \ [mm] \red{\ge} [/mm] \ [mm] a_n$ [/mm] folgt auch die Divergenz von [mm] $\summe b_n$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Sa 28.01.2006 | | Autor: | scratchy |
hmm, da aber [mm] b_{k} [/mm] < [mm] a_{k}, [/mm] folgt dann daraus, dass [mm] b_{k} [/mm] konvergent ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Sa 28.01.2006 | | Autor: | Ursus |
Hallo!
Nach deiner Abschätzung ist
$ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k+2}{300\cdot{}k+250} [/mm] $ > $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k} [/mm] $
Da die harmonische Reihe $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k} [/mm] $ divergent ist, hast du also eine divergente Minorante gefunden und deshalb divergiert auch $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k+2}{300\cdot{}k+250} [/mm] $ !
Lg URSUS
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Sa 28.01.2006 | | Autor: | scratchy |
> Hallo!
> Nach deiner Abschätzung ist
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k+2}{300\cdot{}k+250}[/mm] >
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k}[/mm]
ich bin eigentlich der Meinung dass [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k+2}{300\cdot{}k+250} [/mm] < [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:23 Sa 28.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo scratchy!
Da [mm] $a_k [/mm] \ = \ [mm] \bruch{k+2}{300*k+250}$ [/mm] keine Nullfolge ist (siehe unten), hat sich diese Frage von selbst erübrigt (schließlich ist [mm] $\bruch{1}{k}$ [/mm] eine Nullfolge).
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 Sa 28.01.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Scratchy,
es gibt noch eine andere Möglichkeit, die Divergenz einer Reihe zu zeigen.
Eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe [mm] $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}$ [/mm] ist, dass die Folge [mm] $(a_{n})$ [/mm] eine Nullfolge ist, d.h. $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0$.
[/mm]
Du kannst aber leicht zeigen, dass das hier nicht der Fall ist!
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Sa 28.01.2006 | | Autor: | scratchy |
> Eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}[/mm] ist, dass die Folge [mm](a_{n})[/mm] eine
> Nullfolge ist, d.h. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0[/mm].
>
> Du kannst aber leicht zeigen, dass das hier nicht der Fall
> ist!
Berichtige mich wenn ich da falsch liege, aber ich bin eigentlich der Meinung dass das eine Nullfolge ist da der Nenner "schneller" größer wird als der Zähler und daher gegen 0 geht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Sa 28.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo scratchy!
[mm] $a_k [/mm] \ = \ [mm] \bruch{k+2}{300*k+250} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1+\bruch{2}{k}}{300+\bruch{250}{k}}$
[/mm]
Wie lautet also der Grenzwert der Folge?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:29 Sa 28.01.2006 | | Autor: | scratchy |
> [mm]a_k \ = \ \bruch{k+2}{300*k+250} \ = \ \bruch{1+\bruch{2}{k}}{300+\bruch{250}{k}}[/mm]
>
> Wie lautet also der Grenzwert der Folge?
[mm] \bruch{1}{300}
[/mm]
edit:
Ok, keine Nullfolge, alles klar! Um diesen Thread "grün zu machen" (habe ausversehen vorschnell wieder eine Frage daraus gemacht), kann wer will, eine leere Antwort erstellen.
Danke an alle!
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