Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:30 Do 27.04.2006 | | Autor: | dsan |
| Aufgabe | | Ist [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{n!}{n^{n}} [/mm] konvergent ? |
Hallo,
komme einfach nicht weiter :
Nach Äbschätzung konvergiert diese Reihe gegen 2,9 (2,88) - ich kanns aber nicht begründen.
Habe das Problem im zwei Teile zerlegt :
$ [mm] \summe_{i=0}^{1} \bruch{n!}{n^{n}}=2 [/mm] $ und $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=2}^{n} \bruch{n!}{n^{n}} [/mm] $ = 0,88
Jetzt weis ich aber nicht weiter, da ich kein Bildungsgesetz finden
kann, und nicht weiss wie ich zu einer geeigneten Vergleichsreihe komme.
Gibt es vieleicht noch einen ganz einfachen Weg ?
Wo liegt denn mein Fehler ?
vorab vielen Dank für eure Mühe
mfg
dsan
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Hallo dsan!
Meines Erachtens ist der Grenzwert doch gar nicht gefragt, sondern lediglich nach der Konvergenz dieser Reihe (sprich: ob diese Reihe überhaupt konvergiert).
Und das kannst Du mit Hilfe des ![[]](/images/popup.gif) Quotientenkriteriums ziemlich schnell nachweisen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:47 Do 27.04.2006 | | Autor: | dsan |
Hallo Roadrunner,
vielen Dank für Deine schnelle Antwort,
mit dem Quotientenkriterium erhalte ich dann
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{ a_{n+1}}{a_{n}}=(1+ \bruch{1}{n})^-n [/mm] = [mm] \bruch{1}{e} [/mm] < 1,
und kann so begründen dass die Reihe konvergiert.
Nochma Danke - jetz raff ich auch wie das funktioniert.
Viele Grüsse
dsan
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