Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:51 Sa 17.05.2008 | | Autor: | vju |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^n n^{\bruch{3}{4}}}{n + 1} [/mm] |
Hallo Leute,
Ich hänge bei dieser Aufgabe hier fest. Wegen der [mm] (-1)^n [/mm] möchte ich das Leibniz-Kriterium darauf anwenden.
Ich muss also zeigen: [mm] \bruch{ n^{\bruch{3}{4}}}{n + 1} [/mm] ist eine monoton fallende Nullfolge.
Kann ich hier schon direkt behaupten, dass das eine Nullfolge ist?
[mm] n^{3/4} [/mm] wächst auf jeden Fall langsamer wie n+1.
Bei der Monotonie bin ich noch am grübeln. Ich habe Testweise einige Werte eingesetzt.
n = 0: 0
n = 1: 1/2
n = 2: 0,56059
n = 3: 0,56956
n = 4: 0,56568
n = 5: 0,55728
Jetzt weiß ich eigentlich nicht so genau wie das Kriterium funktioniert.
Muss die Folge monoton fallend sein oder reicht es, wenn die Folge wie hier ab einer Stelle (n=3) monoton fallend ist (was man dann auch noch zeigen müsste)?
Liebe Grüße
~ Vju
Diese Frage habe ich in keinem anderem Forum gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:10 Sa 17.05.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
jepp, Leibniz hätte ich auch gesagt.
i) Nullfolge:
[mm] \bruch{ n^{\bruch{3}{4}}}{n + 1}=\bruch{ \bruch{n^{\bruch{3}{4}}}{n}}{\bruch{n}{n} + \bruch{1}{n}}=\bruch{ n^{\bruch{3}{4}-1}}{1 + \bruch{1}{n}}=\bruch{n^{-\bruch{1}{4}}}{1 + \bruch{1}{n}}=\bruch{\bruch{1}{n^{\bruch{1}{4}}}}{1 + \bruch{1}{n}}=\bruch{1}{n^{\bruch{1}{4}}*(1+\bruch{1}{n})}
[/mm]
(Evtl. noch ein wenig umformen und) dann [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] berechnen.
Zahlen einsetzen ganz schnell abgewöhnen  - Habe ich anfangs auch gemacht.
ii) Monotonie: [mm] n\in\IN, [/mm] also prüfe doch einmal, ob für [mm] \red{n<{n+1}} [/mm]
[mm] \bruch{ n^{\bruch{3}{4}}}{n + 1}\ge\bruch{ (n+1)^{\bruch{3}{4}}}{(n+1)+1} [/mm] gilt. Evtl. bringt dich hier die Umformung aus i) weiter.
MfG barsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 Sa 17.05.2008 | | Autor: | vju |
Vielen Dank für den Hinweis Barsch,
Ich habe erstmal [mm] a_{n+1} [/mm] umgeformt. Also:
[mm] \bruch{ (n+1)^{\bruch{3}{4}}}{(n+1) + 1} [/mm] = [mm] \bruch{ \bruch{(n+1)^{\bruch{3}{4}}}{n+1}}{\bruch{n+1}{n+1} + \bruch{1}{n+1}} =\bruch{ (n+1)^{\bruch{3}{4}-1}}{1 + \bruch{1}{n+1}}=\bruch{(n+1)^{-\bruch{1}{4}}}{1 + \bruch{1}{n+1}}= \bruch{\bruch{1}{(n+1)^{\bruch{1}{4}}}}{1 + \bruch{1}{n+1}}=\bruch{1}{(n+1)^{\bruch{1}{4}}\cdot{}(1+\bruch{1}{n+1})} [/mm]
Dann möchte ich zeigen [mm] a_n \le a_{n+1}, [/mm] also [mm] \bruch{a_n}{a_{n+1}} \le [/mm] 1
Eingesetzt ergibt es:
[mm] \bruch{\bruch{1} {(n)^{\bruch{1}{4}}\cdot{}(1+\bruch{1}{n})} }{\bruch{1} {(n+1)^{\bruch{1} {4}}\cdot{}(1+\bruch{1}{n+1})} }= \bruch{{(n+1)^{\bruch{1} {4}}\cdot{}(1+\bruch{1}{n+1})}}{{(n)^{\bruch{1}{4}}\cdot{}(1+\bruch{1}{n})} }
[/mm]
Jetzt habe ich versucht das ganze aus zu multiplizieren, also:
[mm] \bruch{(n+1)^{1/4} + \bruch{(n+1)^{1/4}}{n+1}} {n^{1/4} + \bruch{(n)^{1/4}}{n}} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{(n+1)^{1\bruch{1}{4}} + {(n+1)^{1/4}}}{n+1}}{\bruch{n^{1\bruch{1}{4}} + {n^{1/4}}}{n}}
[/mm]
Dabei drehe mich aber im Kreis. Wie muss ich bei dem Term den vorgehen?
Liebe Grüße
~ Vju
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:38 Sa 17.05.2008 | | Autor: | abakus |
> Vielen Dank für den Hinweis Barsch,
>
> Ich habe erstmal [mm]a_{n+1}[/mm] umgeformt. Also:
>
> [mm]\bruch{ (n+1)^{\bruch{3}{4}}}{(n+1) + 1}[/mm] = [mm]\bruch{ \bruch{(n+1)^{\bruch{3}{4}}}{n+1}}{\bruch{n+1}{n+1} + \bruch{1}{n+1}} =\bruch{ (n+1)^{\bruch{3}{4}-1}}{1 + \bruch{1}{n+1}}=\bruch{(n+1)^{-\bruch{1}{4}}}{1 + \bruch{1}{n+1}}= \bruch{\bruch{1}{(n+1)^{\bruch{1}{4}}}}{1 + \bruch{1}{n+1}}=\bruch{1}{(n+1)^{\bruch{1}{4}}\cdot{}(1+\bruch{1}{n+1})}[/mm]
>
Hallo,
der Zähler ist konstant, und der Nenner geht gegen Unendlich. Was willst du mehr?
Viele Grüße
Abakus
> Dann möchte ich zeigen [mm]a_n \le a_{n+1},[/mm] also
> [mm]\bruch{a_n}{a_{n+1}} \le[/mm] 1
>
> Eingesetzt ergibt es:
> [mm]\bruch{\bruch{1} {(n)^{\bruch{1}{4}}\cdot{}(1+\bruch{1}{n})} }{\bruch{1} {(n+1)^{\bruch{1} {4}}\cdot{}(1+\bruch{1}{n+1})} }= \bruch{{(n+1)^{\bruch{1} {4}}\cdot{}(1+\bruch{1}{n+1})}}{{(n)^{\bruch{1}{4}}\cdot{}(1+\bruch{1}{n})} }[/mm]
>
> Jetzt habe ich versucht das ganze aus zu multiplizieren,
> also:
>
> [mm]\bruch{(n+1)^{1/4} + \bruch{(n+1)^{1/4}}{n+1}} {n^{1/4} + \bruch{(n)^{1/4}}{n}}[/mm]
> = [mm]\bruch{\bruch{(n+1)^{1\bruch{1}{4}} + {(n+1)^{1/4}}}{n+1}}{\bruch{n^{1\bruch{1}{4}} + {n^{1/4}}}{n}}[/mm]
>
>
> Dabei drehe mich aber im Kreis. Wie muss ich bei dem Term
> den vorgehen?
>
>
> Liebe Grüße
>
> ~ Vju
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Sa 17.05.2008 | | Autor: | vju |
Ich muss doch zeigen dass die Folge monoton ist.
Also [mm] a_n \le a_{n+1}. [/mm]
Dass der Zähler konstant ist, und der Nenner gegen Unendlichgeht sagt doch nur aus, dass es eine Nullfolge ist?
Liebe Grüße
~ Vju
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 Sa 17.05.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Ich muss doch zeigen dass die Folge monoton ist.
> Also [mm]a_n \le a_{n+1}.[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Siehe noch einmal:
ii) Monotonie: $ [mm] n\in\IN, [/mm] $ also prüfe doch einmal, ob für $ [mm] \red{n
$ [mm] \bruch{ n^{\bruch{3}{4}}}{n + 1}\ge\bruch{ (n+1)^{\bruch{3}{4}}}{(n+1)+1} [/mm] $ (also [mm] \red{a_n\ge{a_{n+1}}}) [/mm] gilt. Evtl. bringt dich hier die Umformung aus i) weiter.
Was du mit [mm]a_n \le a_{n+1}[/mm] zeigen willst, ist monoton wachsend. Verdeutliche dir das einmal. Hierzu siehe auch kleine Änderung meinerseits in der 1. Anwtort!
Ansonsten:
$ [mm] \bruch{ n^{\bruch{3}{4}}}{n + 1}=\bruch{ \bruch{n^{\bruch{3}{4}}}{n}}{\bruch{n}{n} + \bruch{1}{n}}=\bruch{ n^{\bruch{3}{4}-1}}{1 + \bruch{1}{n}}=\bruch{n^{-\bruch{1}{4}}}{1 + \bruch{1}{n}}=\bruch{\bruch{1}{n^{\bruch{1}{4}}}}{1 + \bruch{1}{n}}=\bruch{1}{n^{\bruch{1}{4}}\cdot{}(1+\bruch{1}{n})} [/mm] $
> $ [mm] \bruch{ (n+1)^{\bruch{3}{4}}}{(n+1) + 1} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{ \bruch{(n+1)^{\bruch{3}{4}}}{n+1}}{\bruch{n+1}{n+1} + \bruch{1}{n+1}} =\bruch{ (n+1)^{\bruch{3}{4}-1}}{1 + \bruch{1}{n+1}}=\bruch{(n+1)^{-\bruch{1}{4}}}{1 + \bruch{1}{n+1}}= \bruch{\bruch{1}{(n+1)^{\bruch{1}{4}}}}{1 + \bruch{1}{n+1}}=\bruch{1}{(n+1)^{\bruch{1}{4}}\cdot{}(1+\bruch{1}{n+1})} [/mm] $
Bei monoton fallenden Folgen nimmt der Folgenwert mit zunehmendem Wert n ab. Also müssen wir in diesem Fall prüfen, ob
[mm] a_n\ge{a_{n+1}}: \bruch{1}{n^{\bruch{1}{4}}\cdot{}(1+\bruch{1}{n})}\ge{\bruch{1}{(n+1)^{\bruch{1}{4}}\cdot{}(1+\bruch{1}{n+1})}}
[/mm]
Das ist ja offensichtlich der Fall, wenn du bedenkst, dass [mm] a_{n+1} [/mm] einen größeren Nenner hat als [mm] a_n. [/mm]
MfG barsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:45 Sa 17.05.2008 | | Autor: | vju |
Hallo,
Also bei uns in der Übung wurde einfach immer [mm] a_n \le [/mm] (mit einem Fragezeichen) [mm] a_{n+1} [/mm] gesetzt. Bei monoton wachsend kriegt man halt nach der Division einen Wert raus, der kleiner 1 ist und bei monoton fallend einen Wert der größer 1 ist.
Wir haben sonst auch noch das Verfahren mit der Subtraktion benutzt.
Darf man jetzt einfach behaupten:
[mm] a_n\ge{a_{n+1}}: \bruch{1}{n^{\bruch{1}{4}}\cdot{}(1+\bruch{1}{n})}\ge{\bruch{1}{(n+1)^{\bruch{1}{4}}\cdot{}(1+\bruch{1}{n+1})}}?
[/mm]
Bei dem Schritt war ich eigentlich schon. Nur dachte ich, dass man das noch zeigen muss. Weil [mm] n^{\bruch{1}{4}} [/mm] ist zwar < [mm] (n+1)^{\bruch{1}{4}} [/mm] aber [mm] \bruch{1}{n} [/mm] > [mm] \bruch{1}{n+1}...
[/mm]
Vielen Dank nochmal für die sehr ausführliche Erklärung.
Liebe Grüße
~Vju
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:06 So 18.05.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Bei dem Schritt war ich eigentlich schon. Nur dachte ich,
> dass man das noch zeigen muss. Weil [mm]n^{\bruch{1}{4}}[/mm] ist
> zwar < [mm](n+1)^{\bruch{1}{4}}[/mm] aber [mm]\bruch{1}{n}[/mm] > [mm]\bruch{1}{n+1}...[/mm]
Das ist doch aber kein Widerspruch.
Genauso kannst du doch argumentieren:
da [mm] n^{\bruch{1}{4}}<(n+1)^{\bruch{1}{4}}, [/mm] ist [mm] \bruch{1}{n^{\bruch{1}{4}}}>\bruch{1}{(n+1)^{\bruch{1}{4}}}
[/mm]
> Vielen Dank nochmal für die sehr ausführliche Erklärung.
Kein Problem, wenn es dir hilft.
> Liebe Grüße
MfG barsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Mo 19.05.2008 | | Autor: | vju |
Also ich komme bei der Aufgabe trotz der vielen Hinweise nicht weiter. Den Ansatz mit der Division hatte ich schon verworfen, weil ich mich nur im Kreis gedreht hatte. Aber auch hier komme ich nicht weiter. Ich muss zeigen: [mm] a_n \ge a_{n+1}.
[/mm]
Also: [mm] a_n\ge{a_{n+1}}: \bruch{1}{n^{\bruch{1}{4}}\cdot{}(1+\bruch{1}{n})}\ge{\bruch{1}{(n+1)^{\bruch{1}{4}}\cdot{}(1+\bruch{1}{n+1})}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{n^{\bruch{1}{4}}\cdot{}(1+\bruch{1}{n})} [/mm] - [mm] {\bruch{1}{(n+1)^{\bruch{1}{4}}\cdot{} (1+\bruch{1}{n+1})}}
[/mm]
= [mm] \bruch{(n+1)^{\bruch{1}{4}}\cdot{}(1+\bruch{1}{n+1})} {(n+1)^{\bruch{1}{4}}\cdot{}(1+\bruch{1}{n+1}) (n^{\bruch{1}{4}}\cdot{}(1+\bruch{1}{n})} [/mm] - [mm] \bruch{(n^{\bruch{1}{4}}\cdot{}(1+\bruch{1}{n})} {(n+1)^{\bruch{1}{4}}\cdot{}(1+\bruch{1}{n+1}) (n^{\bruch{1}{4}}\cdot{}(1+\bruch{1}{n})}
[/mm]
Der Nenner ist auf jeden Fall positiv, also muss ich noch zeigen, dass der Zähler: [mm] (n+1)^{\bruch{1}{4}}\cdot{}(1+\bruch{1}{n+1}) [/mm] - [mm] (n^{\bruch{1}{4}}\cdot{}(1+\bruch{1}{n}) [/mm] > 0
Ausmultipliziert:
[mm] (n+1)^{\bruch{1}{4}} [/mm] + [mm] \bruch{(n+1)^{\bruch{1}{4}}}{(n+1)} [/mm] - [mm] n^{\bruch{1}{4}} [/mm] - [mm] \bruch{n^{\bruch{1}{4}}}{n}
[/mm]
Hier habe ich noch die Brüche ausgerechnet, aber mit [mm] n+1^{- \bruch {3}{4}} [/mm] bzw. [mm] n^{- \bruch {3}{4}} [/mm] kam ich nicht weiter.
Würde mich wirklich freuen, wenn mir das jemand erklären kann.
Liebe Grüße
~ Vju
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
[mm] \bruch{a_n}{a_{n+1}}=\bruch{\bruch{1} {(n)^{\bruch{1}{4}}\cdot{}(1+\bruch{1}{n})} }{\bruch{1} {(n+1)^{\bruch{1}{4}}\cdot{}(1+\bruch{1}{n+1})} }= \bruch{{(n+1)^{\bruch{1}{4}}\cdot{}(1+\bruch{1}{n+1})}}{{(n)^{\bruch{1}{4}}\cdot{}(1+\bruch{1}{n})} }=\bruch{{(n+1)^{\bruch{1}{4}}\cdot{}(\bruch{n+2}{n+1})}}{{(n)^{\bruch{1}{4}}\cdot{}(\bruch{n+1}{n})} }=\bruch{(n+1)^{\bruch{1}{4}}*(((n+2)n)^4)^{\bruch{1}{4}}}{n^{\bruch{1}{4}}*(((n+1)^2)^4)^{\bruch{1}{4}}}= (\bruch{((n+1)(n+2)^4n^4)}{n(n+1)^8})^{\bruch{1}{4}}
[/mm]
Betrachten wir nun die Funktion [mm] f:\IR\to\IR, f(n)=\bruch{(n+2)^4n^3}{(n+1)^7}, [/mm] dann stellen wir fest, dass sie ab n=3 größer 1 ist (hier muss man ne Kurvendiskussion machen).
Das ganze ist ziemlich brutal, aber mir fällt grad keine elegante Lösung ein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:48 Mo 19.05.2008 | | Autor: | vju |
Hallo,
Wir haben noch keine Funktionen durchgenommen. Gibt es da nicht eine andere Möglichkeit?
Liebe Grüße
~ Vju
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:52 Mo 19.05.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
stimmt, so offensichtlich scheint das doch nicht zu sein ![[scheisskram]](/images/smileys/scheisskram.gif "[scheisskram]")
Wir wissen, dass es für alle [mm] n\ge{4} [/mm] gilt. Ich habe es mal kurz mit Induktion versucht, ohne großen Erfolg, aber vielleicht bekommst du es ja mit Induktion hin - Wollte dir diese Möglichkeit zumindest nicht vorenthalten.
MfG barsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Fr 23.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 17:04 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> [mm]a_n\ge{a_{n+1}}: \bruch{1}{n^{\bruch{1}{4}}\cdot{}(1+\bruch{1}{n})}\ge{\bruch{1}{(n+1)^{\bruch{1}{4}}\cdot{}(1+\bruch{1}{n+1})}}[/mm]
>
> Das ist ja offensichtlich der Fall, wenn du bedenkst, dass
> [mm]a_{n+1}[/mm] einen größeren Nenner hat als [mm]a_n.[/mm]
>
Offensichtlich ist das nicht, denn [mm] (n+1)^{\bruch{1}{4}} [/mm] ist zwar größer als [mm] n^{\bruch{1}{4}}, [/mm] aber [mm] 1+\bruch{1}{n+1} [/mm] ist kleiner als [mm] 1+\bruch{1}{n}.
[/mm]
|
|
|
|
