Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie die Reihe auf Kovergenz!
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (1-i)^{n}\*n!/n^{n} [/mm] |
Ich habe versucht das Bsp folgendermaßen zu lösen:
zuerst Quotientenkriterium => kein Erfolg
dann Wurzelkriterium => kein Erfolg
Ist das so richtig, wenn wir die Summen aufteilen?!:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (1-i)^{n} \* \summe_{n=1}^{\infty}n!/n^{n}
[/mm]
dann für die erste Summe Wurzelkr. und für die zweite Summe Quotientenkr.
dann Summen wieder zusammenfügen und anschließend durch die höchste Potenz dividieren => Grenzwert: [mm] \wurzel{2}
[/mm]
danke...
PS: Allgemein: Darf man Konvergenzkriterien nacheinander bei einer Reihen anwenden?!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Mo 10.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib die mal die ersten 3 glieder der Summe hin und die des produkts deiner summen. Dann siehst du, dass das falsch ist.
ist i die imaginaere Einheit? dann ueberleg mal erst, was [mm] (1+i)^n [/mm] ist. oder wenigstens was [mm] |1-i|^n [/mm] ist.
Zu der zweiten Frage, die hier aber keine Rolle spielt:
WENN [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] konvergiern, dann auch [mm] a_n*b_n
[/mm]
wenn eines von beiden divergent ist, weiss man noch nichts!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Matthias!
Heri sollten aber beide genannten Kriterien zum Ziel führen; und davon das Quotientenkriterium etwas schneller / einfacher.
Poste doch mal Deine Rechnung ...
Gruß
Loddar
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Also wir sind so weit mit dem QK gekommen...
[mm] (\wurzel{2}^{n+1}*(n+1)!)/(n+1)^{n+1} \* n^{n}/(\wurzel{2}^{n}\*n!)
[/mm]
gekürzt:
[mm] \wurzel{2}\*n^{n}/(n+1)^{n}
[/mm]
und dann wissen wir nicht weiter...
thx
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> [mm]\wurzel{2}\*n^{n}/(n+1)^{n}[/mm]
Hallo,
[mm] ...=\wurzel{2}*(\red{(\bruch{n+1}{n})^n})^{-1}.
[/mm]
Das Rote kommt Euch vielleicht bekannt vor.
Gruß v. Angela
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Das wir das jetzt richtig verstehen.
Wir gehn tiefer in den Term hinein und suchen nach einem Ausdruck bei dem wir den Grenzwert direkt bestimmen könnten wie (n+1)/n welcher 1 ist und somit der gesamte Grenzwert des Ausdrucks gleich [mm] \wurzel{2} [/mm] somit > 1 und dadurch divergent?
is das so richtig gedacht :P
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 Di 11.11.2008 | | Autor: | iks |
Hallo matthias!
> Das wir das jetzt richtig verstehen.
>
> Wir gehn tiefer in den Term hinein und suchen nach einem
> Ausdruck bei dem wir den Grenzwert direkt bestimmen könnten
> wie (n+1)/n welcher 1 ist und somit der gesamte Grenzwert
> des Ausdrucks gleich [mm]\wurzel{2}[/mm] somit > 1 und dadurch
> divergent?
>
> is das so richtig gedacht :P
Der Term der dir bekannt vorkommen sollte ist
[mm] $\left(\frac{n+1}{n}\right)^n$
[/mm]
Für das sollte der Grenzwert [mm] n\to\infty [/mm] bekannt sein denke ich (und der ist nicht 1).
mFg iks
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Wir haben uns gedacht zuerst den GW von (n+1)/n auszurechnen = 1
und dann [mm] 1^{n} [/mm] ist der GW widerum = 1
mathcad spuckt aber für den GW von:
[mm] (((n+1)/n)^{n})^{-1} [/mm] = [mm] e^{-1} [/mm] aus
ist somit der gesamte GW [mm] \wurzel{2} \* e^{-1} [/mm] ?
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> Wir haben uns gedacht zuerst den GW von (n+1)/n
> auszurechnen = 1
> und dann [mm]1^{n}[/mm] ist der GW widerum = 1
Au wacka! Das darf man nicht machen.
>
> mathcad spuckt aber für den GW von:
>
> [mm](((n+1)/n)^{n})^{-1}[/mm] = [mm]e^{-1}[/mm] aus
mathcad hat mal wieder recht.
Ihr könnt das natürlich nur verwenden, wenn Ihr bereits hattet, daß e der Grenzwert von [mm] ((n+1)/n)^{n}=(1+\bruch{1}{n})^n [/mm] ist.
Das müßt Ihr überprüfen anhand Eurer unterlagen.
>
> ist somit der gesamte GW [mm]\wurzel{2} \* e^{-1}[/mm] ?
Ja, und den müßtest ihr abschätzen so daß man sieht, daß der kleiner als 1 ist.
Gruß v. Angela
>
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Ah ok
den Beweis das [mm] (\bruch{n+1}{n})^{n} [/mm] = [mm] e^{1} [/mm] können wir momentan leider nich in unsren unterlagen finden aber können wir jetzt davon ausgehn das der GW [mm] \wurzel{2}\*e^{-1} [/mm] ist, welcher < 1 ist und somit die Reihe Konvergent ist
mfg Matthias und danke für die prompten Antworten
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:17 Di 11.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was ist denn eure Definition der Zahl e?
Gruss leduart
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hmm e ist doch die eulersche Identität und [mm] e^{1} [/mm] = 2.718
oder irre ich mich jetzt hier gewaltig ?
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Hallo,
> hmm e ist doch die eulersche Identität und [mm]e^{1}[/mm] = 2.718
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> oder irre ich mich jetzt hier gewaltig ?
Nein, nein, das stimmt schon, aber diese Zahl wird üblicherweise als Grenzwert eben dieser Folge [mm] $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ [/mm] (für [mm] $n\to\infty$) [/mm] eigeführt
Alternativ auch im Themenkomplex "Potenzreihen" als Exponentialreihe [mm] $e^x=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}$
[/mm]
Also [mm] $e=e^1=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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