Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Rated-R |
| Aufgabe | Zeigen Sie das die folgende Reihe konvergiert und berrechnen Sie den Grenzwert.
[mm] a_n=\summe_{k=1}^{n} \bruch{k+1}{k^2-k(k^2+2+k)} [/mm] |
hi,
ich verzweifle an dieser Aufgabe, zunächst zur Konvergenz.
Folge umgeschrieben
[mm] a_n=-\summe_{k=1}^{n} \bruch{k+1}{k^3+2k}
[/mm]
Die Folge ist beschränkt durch 0 > [mm] a_n [/mm] > - 10 (irgendeinwert) und monton fallend => konvergent. Aber wie kann ich hier den genauen Grenzwert berrechnen? Mein CAS gibt irgendwas von -1,38 aus.
Vielen Dank für Tipps!
Gruß Tom
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Hallo,
bist du dir mit der Reihe wirklich auch so sicher? Denn da kommt wirklich kein schöner Grenzwert heraus. Von daher würde ich die Aufgabenstellung erst einmal anzweifeln.
Schmückst du deine Argumente am Ende auf dem Übungszettel noch aus? Denn so allein würde das nicht ausreichen.... Mir zumindest. 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Rated-R |
Danke für deine Antwort!
Aufgabe ist so von nem Blatt übernommen, ich hab mich selbst gewundert.
Wie würde man denn allgemein eine Berrechnung angehen?
Selbstverständlich, geht mir nur um die Berrechnung des Grenzwertes. :)
Gruß Tom
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Hi,
du kannst das ganze sehr unterschiedlich berechnen.
Zum einen hilft oft eine Partialbruchzerlegung, da man dann auf die Idee von Teleskopsummen zurückgreifen kann.
Weiter hilft es manchmal auf geometrische Reihe zurückzugreifen.
Das ist so der Standard.
Hier in diesen Fall ist das alles aber nicht sehr hilfreich.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:58 Sa 30.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
> Zeigen Sie das die folgende Reihe konvergiert und
> berrechnen Sie den Grenzwert.
>
> [mm]a_n=\summe_{k=1}^{n} \bruch{k+1}{k^2-k(k^2+2+k)}[/mm]
> hi,
>
>
> ich verzweifle an dieser Aufgabe, zunächst zur
> Konvergenz.
>
> Folge umgeschrieben
>
> [mm]a_n=-\summe_{k=1}^{n} \bruch{k+1}{k^3+2k}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Die Folge ist beschränkt durch 0 > [mm]a_n[/mm] > - 10
> (irgendeinwert) und monton fallend => konvergent.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") "irgendeinen Wert"
[mm] a_n=-\summe_{k=1}^{n} \bruch{k+1}{k^3+2k}=-(\frac{2}{3}+\ldots+\frac{k+1}{k^3+2k})=-\frac{2}{3}-\ldots-\frac{k+1}{k^3+2k}
[/mm]
[mm] 0>a_n [/mm] kann man so gelten lassen, obwohl man hier auch sofort die kleinste obere Schranke [mm] O:=-\frac{2}{3} [/mm] angeben könnte, sodass [mm] O\ge a_n [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt.
Kommen wir nun zu deiner unteren Schranke und deinem sogenannten "irgendein" Wert.
Sei nun $U$ irgendein Wert, oder um dir entgegen zu kommen, sei $U$ irgendein negativer Wert, dann muss für alle [mm] U\in\IR^{-} [/mm] gelten: [mm] a_n>U [/mm] für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
Setze $U:=-1$ und $n=3$, dann gilt [mm] a_3
Selbst wenn du $U:=-10$ setzt, fehlt die Argumentation.
Okay, ich lese gerade, dass es dir nur um die Berechnung des Grenzwertes geht, aber dennoch ist das wichtig!
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:35 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo dieAcht,
> > Zeigen Sie das die folgende Reihe konvergiert und
> > berrechnen Sie den Grenzwert.
> >
> > [mm]a_n=\summe_{k=1}^{n} \bruch{k+1}{k^2-k(k^2+2+k)}[/mm]
> > hi,
> >
> >
> > ich verzweifle an dieser Aufgabe, zunächst zur
> > Konvergenz.
> >
> > Folge umgeschrieben
> >
> > [mm]a_n=-\summe_{k=1}^{n} \bruch{k+1}{k^3+2k}[/mm]
>
>
>
> >
> > Die Folge ist beschränkt durch 0 > [mm]a_n[/mm] > - 10
> > (irgendeinwert) und monton fallend => konvergent.
>
> "irgendeinen Wert"
>
> [mm]a_n=-\summe_{k=1}^{n} \bruch{k+1}{k^3+2k}=-(\frac{2}{3}+\ldots+\frac{k+1}{k^3+2k})=-\frac{2}{3}-\ldots-\frac{k+1}{k^3+2k}[/mm]
>
> [mm]0>a_n[/mm] kann man so gelten lassen, obwohl man hier auch
> sofort die kleinste obere Schranke [mm]O:=-\frac{2}{3}[/mm] angeben
> könnte, sodass [mm]O\ge a_n[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm] gilt.
> Kommen wir nun zu deiner unteren Schranke und deinem
> sogenannten "irgendein" Wert.
> Sei nun [mm]U[/mm] irgendein Wert, oder um dir entgegen zu kommen,
> sei [mm]U[/mm] irgendein negativer Wert, dann muss für alle
> [mm]U\in\IR^{-}[/mm] gelten: [mm]a_n>U[/mm] für alle [mm]n\in\IN.[/mm]
> Setze [mm]U:=-1[/mm] und [mm]n=3[/mm], dann gilt [mm]a_3
> Selbst wenn du [mm]U:=-10[/mm] setzt, fehlt die Argumentation. Da
> die Reihe endlich ist, könntest du doch sofort die
> größte untere Schranke angeben.
Ist die Reihe wirklich endlich? Genau das wollen wir ja herausfinden.
> Für die Beschränktheit musst du das nicht, aber das ist
> doch besser als "irgendein" Wert.
>
> Ein Satz zur Monotonie solltest du auch einfügen!
>
> Okay, ich lese gerade, dass es dir nur um die Berechnung
> des Grenzwertes geht, aber dennoch ist das wichtig!
>
> DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:58 Sa 30.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Kommt darauf an was für dich genau [mm] a_n [/mm] ist.
Betrachte die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] mit [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] und [mm] a_n\in\IC.
[/mm]
[mm] S_1=a_1
[/mm]
[mm] S_2=a_2+a_2
[/mm]
[mm] \ldots
[/mm]
[mm] S_N=\sum_{n=1}^{N}a_n
[/mm]
Die Reihe heißt konvergent, falls die Partialsummenfolge [mm] (S_N)_{N\in\IN} [/mm] konvergiert.
Bei Konvergenz gilt: [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n=\limes_{N\rightarrow\infty}s_N=\limes_{N\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{N}a_n
[/mm]
Hilft dir das weiter?
Bei dir ist das [mm] a_n [/mm] nicht eindeutig, jedenfalls kenne ich das nicht so.
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:08 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Richie1401 |
Hi,
wo ist der Zusammenhang?
Bei der Reihe aus der Aufgabe wissen wir nicht, ob die Reihe überhaupt konvergiert. Wieso soll man da sofort eine obere/untere Schranke angeben können?
Man muss das ganze noch begründen, waurm es wirklich eine ober/untere Schranke ist. Aber mit "sofort angeben", wie du es formuliert hast, ist es nicht getan.
Übrigens hat er den Satz zur Montonie durchaus angefügt. Die fallende Folge der Partialsummen ist durch die Umschreibung sofort ersichtlich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:58 Sa 30.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
du hast Recht, ich habe seine Notation nicht als Partialsumme verstanden, sondern als endliche Summe.
Danke für's Aufpassen!
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:45 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> Kommt darauf an was für dich genau [mm]a_n[/mm] ist.
[mm] $a_n$ [/mm] steht ganz deutlich da. Ich fand die Notation "ungewöhnlich" (das
schreibt selten einer so), aber sie ist sauber.
Im Prinzip kann man schreiben, dass [mm] ${(a_n)}_{n=1}^\infty=\summe_{k=1}^{\red{\infty}} \bruch{k+1}{k^2-k(k^2+2+k)}$ [/mm] ist.
Also ist [mm] $(a_n)_n$ [/mm] (Kurznotation für obige Folge) nichts anderes als die Partialsummenfolge
[mm] $\left(\sum_{k=1}^n \bruch{k+1}{k^2-k(k^2+2+k)}\right)_{n=1}^\infty\,.$
[/mm]
Die Folge der Summanden ist hier etwa [mm] ${(b_k)}_{k=1}^\infty$ [/mm] definiert durch
[mm] $b_k:=\bruch{k+1}{k^2-k(k^2+2+k)}\,.$
[/mm]
Normalerweise "ist man es gewohnt", dass die Summanden, die hier [mm] $b_k$
[/mm]
heißen, [mm] $a_k$ [/mm] heißen, und das, was hier [mm] $a_n$ [/mm] heißt, heißt [mm] $s_n\,,$ [/mm] so im Hinblick
auf "(Partial-)Summe".
Strenggenommen sollte die Aufgabenformulierung so heißen:
Zeigen Sie das die folgende Reihe [mm] ${(a_n)}_{n=1}^\infty$ [/mm] konvergiert und berrechnen Sie den Grenzwert.
$ [mm] a_n=\summe_{k=1}^{n} \bruch{k+1}{k^2-k(k^2+2+k)}\,.$
[/mm]
Und wie gesagt: Ja, die Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] ist die Reihe [mm] $\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k+1}{k^2-k(k^2+2+k)}\,.$
[/mm]
Dass, weil diese Folge konvergiert, der Grenzwert dieser Reihe auch
nochmal mit
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k+1}{k^2-k(k^2+2+k)}$
[/mm]
bezeichnet wird, das ist eine "altbekannte Geschichte"...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:56 Sa 30.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Marcel,
Das hat mir geholfen die Aufgabe zu verstehen, danke!
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:24 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie das die folgende Reihe konvergiert und
> berrechnen Sie den Grenzwert.
>
> [mm]a_n=\summe_{k=1}^{n} \bruch{k+1}{k^2-k(k^2+2+k)}[/mm]
die Grenzwertberechnung dieser Reihe (Folge der Partialsummen) kann
anstrengend sein/werden, da wurde sicher schon der Hinwei auf
Partialbruchzerlegung (und evtl.  Teleskopreihe) gegeben.
"Leicht" ist es eigentlich, festzustellen, dass die Reihe konvergiert:
Was ich mal nahelegen will, ist, sich das sogenannte Vergleichskriterium
(siehe auch hier (klick!)) zu benutzen; wenn es bis dato unbekannt war,
dann schlag's im Heuser nach, das ist nicht schwer zu verstehen, auch der
Beweis nicht. (Strenggenommen sollte man bei der Formulierung des
Satzes, wie er im Heuser steht, hier auch am Besten erstmal bspw.
[mm] $a_n=\;-\;\summe_{k=1}^{n} \bruch{k+1}{k(k^2+2+k)-k^2}$
[/mm]
umschreiben...)
Damit wirst Du sehen, dass sich obige Reihe "im Wesentlichen" wie
[mm] $\sum \frac{k}{k^3}=\sum \frac{1}{k^2}$
[/mm]
verhält - letztere ist konvergent (dafür kann ich Dir, falls das unbekannt
sein soll, auch zwei Beweise liefern - der erste ist einfach eine Anwendung
des Cauchyschen Verdichtungssatzes).
P.S. Achja, hast Du auch schon gesehen, dass der Aufgabensteller hier
"etwas" witzig war:
[mm] $\frac{k+1}{k^2-k(k^2+2+k)}=\frac{k+1}{k^2-k^3-2k-k^2}=\frac{k+1}{-k(k^2+2)}$
[/mm]
Die Reihe hätte er auch direkt so hinschreiben können [mm] ($k^2-k^2=0$ [/mm] ausnutzen
und [mm] $k\,$ [/mm] vorklammern; sowas ist jetzt nicht so schwer...). Aber das
hattest Du auch schon selber mal umgeformt...
Gruß,
Marcel
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