Konvergenz einer Summenreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Allerseits,
ich komme leider bei meinen Hausaufgaben nicht weiter. Hab schon gaaaaanz lange rumprobiert. kann mir vielleicht einer von euch schlauen Burschen helfen?
Hier meine Aufgabe:
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Ich denke, dsas in der allgemeinen Form für die Summe
[mm] c_{n} - c_{0} mit c_{n}=c [/mm] rauskommt.
Bin für jede Hilfe supidankbar!
Tschüssi MC
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Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> Hallo Allerseits,
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> ich komme leider bei meinen Hausaufgaben nicht weiter. Hab
> schon gaaaaanz lange rumprobiert. kann mir vielleicht einer
> von euch schlauen Burschen helfen?
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> Hier meine Aufgabe:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> Ich denke, dsas in der allgemeinen Form für die Summe
> [mm]c_{n} - c_{0} mit c_{n}=c[/mm] rauskommt.
Wie ist [mm] $c_0$ [/mm] überhaupt definiert? Der Summationsindex $n$ läuft ja nur von $1$ bis [mm] $\infty$.
[/mm]
Wegen [mm] $a_n=c_n-c_{n-1}$ [/mm] ist
[mm]\sum_{n=1}^N a_n=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_{N-1}+a_N=a_1+(\red{c_2}-c_1)+(\red{c_3}-\red{c_2})+\cdots +(\red{c_{N-1}}-\red{c_{N-2}})+(c_N-\red{c_{N-1}})=a_1-c_1+c_N[/mm]
weil die rot markierten [mm] $c_2, c_3, \ldots, c_{N-1}$ [/mm] aus der Summe herausfallen.
Also ist [mm] $\sum_{n=1}a_n=\lim_{N\rightarrow \infty}\sum_{n=1}^N a_n=\lim_{N\rightarrow \infty}(a_1-c_1+c_N)=a_1-c_1+c$.
[/mm]
Nachtrag (Revision 1): Wenn also [mm] $a_1=c_1-c_0$ [/mm] ist, dann folgt [mm] $a_1-c_1=-c_0$. [/mm] Damit ergibt die obige Umformungskette den von Dir angegebenen Wert der Reihe: [mm] $\sum_{n=1}^\infty a_n=a_1-c_1+c=-c_0+c$. [/mm] In einem ersten Anlauf litt ich offenbar unter einer schon beinahe irrational anmutenden Hemmung, für die Folge der [mm] $c_n$ [/mm] den Index $n$ auch den Wert $0$ annehmen zu lassen...
Beim ersten Beispiel a) ist etwa [mm] $c_n [/mm] = [mm] -\frac{1}{n+1}$ [/mm] und $c=0$ und daher [mm] $\sum_{n=1}^\infty a_n=\frac{1}{1\cdot 2}-\left(-\frac{1}{1+1}\right)+0 [/mm] = 1$ bzw. [mm] $\sum_{n=1}^\infty a_n=-\left(-\frac{1}{0+1}\right)+0=1$
[/mm]
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