Konvergenz gegen Nullstelle < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:53 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Pollux |
Hi,
gegeben sei die Funktion [mm] f(x)=x^5+x-1, [/mm] die genau eine reelle Nullstelle z besitzt, sowie zwei rekursiv definierte Folgen:
[mm] a_1 [/mm] = [mm] \bruch{3}{4}, a_{n+1}=1-a_n^5
[/mm]
[mm] b_1 [/mm] = 1, [mm] b_{n+1}=\bruch{4*b_n^5 + 1}{5*b_n^4 + 1}
[/mm]
Zu prüfen ist, ob [mm] a_n [/mm] bzw. [mm] b_n [/mm] gegen die Nullstelle z konvergiert. Anschließend soll der Fehler zwischen [mm] a_n [/mm] bzw. [mm] b_n [/mm] und z abgeschätzt werden (Im Fall der Konvergenz).
Als Hinweis ist noch gegeben, dass man die Folgen als [mm] a_{n+1}=g(a_n) [/mm] bzw. [mm] b_{n+1} [/mm] = [mm] h(b_n) [/mm] auffassen kann, mit diffbaren Funktionen f und g. Dann lässt sich der Mittelwertsatz anwenden.
So, ich hab mal ein Programm geschrieben, und demnach scheint die Folge [mm] a_n [/mm] zu divergieren, d.h. ab einem n schwankt die Folge zwischen 0 und 1, während [mm] b_n [/mm] konvergiert, und zwar gegen 0.754877.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:47 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Pollux |
Hi,
es kann gut sein, dass man den Banachschen Fixpunktsatz hier anwendet. Denn damit ist eine Fehlerabschätzung möglich. Außerdem hat der Fixpunktsatz auch etwas mit dem Mittelwertsatz gemeinsam. Glaubt ihr man kommt so auf diei Lösung?
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Hallo Pollux,
Kurz und knapp ja. Denn [mm] a_{n+1}=g(a_n) [/mm] ist ja eine Fixpunktiteration.
viele grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Pollux |
Hi,
mit dem Banach-Satz hab ich jedoch noch so meine Probleme, insbesondere bei der Bestimmung der Kontraktionskonstante r < 1.
Ich hab mir mal folgendes überlegt:
Es soll ja, mit dem Mittelpunktsatz, folgendes gelten:
[mm] \bruch{|T(x)-T(y)|}{x-y}=f'(t)<=r<1!
[/mm]
So, ich suche also das Maximum über einem bestimmten Intervall von f'(t).
Da hab ich schon das erste Problem. Welches Intervall soll ich am besten wählen. Ich hab da an [0,1] gedacht, da hier die Nullstelle drin liegt.
Dann gehts um r selbst:
Könnt ihr mir einen Vorschlag machen, wie ich r wählen soll bzw. mit welchen Methoden ich r bestimmen soll?
Mit diesen Überlegungen wird sich wohl zu meiner zweiten aufgelisteten Folge eine Abschätzung angeben lassen (gemäß dem Banachsatz).
Wie geh ich aber bei der anderen Folge vor?
Diese konvergiert nicht! Soll ich hier auch Banach verwenden? Wie würdet ihr die Divergenz nachweisen?
mfg,
Pollux
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Hallo Pollux,
> mit dem Banach-Satz hab ich jedoch noch so meine Probleme,
> insbesondere bei der Bestimmung der Kontraktionskonstante r
> < 1.
> Ich hab mir mal folgendes überlegt:
> Es soll ja, mit dem Mittelpunktsatz, folgendes gelten:
> [mm]\bruch{|T(x)-T(y)|}{x-y}=f'(t)<=r<1![/mm]
> So, ich suche also das Maximum über einem bestimmten
> Intervall von f'(t).
> Da hab ich schon das erste Problem. Welches Intervall soll
> ich am besten wählen. Ich hab da an [0,1] gedacht, da hier
> die Nullstelle drin liegt.
> Dann gehts um r selbst:
> Könnt ihr mir einen Vorschlag machen, wie ich r wählen
> soll bzw. mit welchen Methoden ich r bestimmen soll?
>
> Mit diesen Überlegungen wird sich wohl zu meiner zweiten
> aufgelisteten Folge eine Abschätzung angeben lassen (gemäß
> dem Banachsatz).
Hier kannst Du versuchen die Ableitung abzuschätzen oder direkt in die Definition [mm] \bruch{|T(x)-T(y)|}{x-y}<=r<1 [/mm] beim Intervall würd ich aber nicht zu großzügig sein. f(3/4)<0 f(1)=1 damit liegt in [3/4,1] die Nullstelle.
> Wie geh ich aber bei der anderen Folge vor?
> Diese konvergiert nicht! Soll ich hier auch Banach
> verwenden? Wie würdet ihr die Divergenz nachweisen?
Analog zur Konvergenz
Falls gilt:
[mm] \bruch{|T(x)-T(y)|}{x-y}=f'(t)>=r>1
[/mm]
Dann ist das ein abstoßender Fixpunkt. Egal wie nah man an der Nst. ist die nächste Iterierte ist weiter weg.
viele Grüße
mathemaduenn
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