Konvergenz im metrischen Raum < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Lasst M die Menge von nicht-negativen, reellen Funktionen sein, d.h.
[mm] M=\{f:\IR\to\IR |f(x)\ge0 \mbox{ für alle } x \in \IR\}
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass
[mm] d(f,g)=sup\{|e^{-f(x)}-e^{-g(x)}| | x \in \IR\}
[/mm]
eine Metrik, d, auf M definiert.
b) Lasst, für [mm] n\in\IN, [/mm] die Funktionen [mm] f_{n}, g_{n} \in [/mm] M dabei definiert sein;
[mm] f_{n}(x)=\begin{cases} x^{2}, & \mbox{für } |x|\le n \\ n^{2}, & \mbox{für }|x|\ge n \end{cases} [/mm] und [mm] g_{n}(x)=\begin{cases} x^{2}, & \mbox{für } |x|\le n \\ 0, & \mbox{für } |x|\ge n \end{cases}
[/mm]
Erklären Sie, warum die Funktionsfolgen nicht gleichmäßig konvergent sind auf [mm] \IR.
[/mm]
Entscheide für jede Folge, ob sie konvergent in dem metrischen Raum (d, M) ist.
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Hallo Alle, kann jemand bitte mit dieser Aufgabe helfen?
a) hab ich schon gemacht, auch das erste Teil von b) so ungefähr, hab ich den Eindruck. Das Problem ist das zweite Teil von b).
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> Lasst M die Menge von nicht-negativen, reellen Funktionen
> sein, d.h.
> [mm]M=\{f:\IR\to\IR |f(x)\ge0 \mbox{ für alle } x \in \IR\}[/mm]
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> a) Zeigen Sie, dass
> [mm]d(f,g)=sup\{|e^{-f(x)}-e^{-g(x)}| | x \in \IR\}[/mm]
> eine
> Metrik, d, auf M definiert.
>
> b) Lasst, für [mm]n\in\IN,[/mm] die Funktionen [mm]f_{n}, g_{n} \in[/mm] M
> dabei definiert sein;
> [mm]f_{n}(x)=\begin{cases} x^{2}, & \mbox{für } |x|\le n \\ n^{2}, & \mbox{für }|x|\ge n \end{cases}[/mm]
> und [mm]g_{n}(x)=\begin{cases} x^{2}, & \mbox{für } |x|\le n \\ 0, & \mbox{für } |x|\ge n \end{cases}[/mm]
Nachtrag (1. Revision): Erst nachträglich fällt mir auf, dass sich die Fallunterscheidungen bei der Definition der [mm] $f_n$ [/mm] bzw. [mm] $g_n$ [/mm] überlappen. Dies ist im Falle der [mm] $f_n$ [/mm] noch harmlos, aber bei den [mm] $g_n$ [/mm] definitiv nicht zulässig, weil für $|x|=n$ widersprüchlich.
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> Erklären Sie, warum die Funktionsfolgen nicht gleichmäßig
> konvergent sind auf [mm]\IR.[/mm]
> Entscheide für jede Folge, ob sie konvergent in dem
> metrischen Raum (d, M) ist.
>
> Hallo Alle, kann jemand bitte mit dieser Aufgabe helfen?
>
> a) hab ich schon gemacht, auch das erste Teil von b) so
> ungefähr, hab ich den Eindruck. Das Problem ist das zweite
> Teil von b).
Zum zweiten Teil von b): Es ist doch
[mm]d(f,f_n)=\sup\{|e^{-x^2}-e^{-n^2}|\;\mid\; |x|\geq n\}\leq e^{-n^2}[/mm]
Also, mittels geeigneter Wahl von [mm] $n_0$, [/mm] lässt sich dieser Abstand von $f$ und [mm] $f_n$ [/mm] für alle [mm] $n\geq n_0$ [/mm] kleiner als ein beliebig kleines vorgegebenes [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] machen: d.h. [mm] $f_n\rightarrow [/mm] f$ in diesem metrischen Raum (d,M).
Für $g$ und [mm] $g_n$ [/mm] erhalten wir, andererseits,
[mm]d(g,g_n)=\sup\{|e^{-x^2}-e^{-0}|\;\mid\; |x|\geq n\}\geq 1-e^{-n^2}[/mm]
und das sieht, für Konvergenz, ganz schlecht aus.
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Hallo Somebody
Ok, vielen Dank. Das mit der Fallunterscheidung war mein Schreibfehler, richtig wäre gewesen [mm] |x|\le [/mm] n bzw. [mm] |x|^{}>n
[/mm]
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