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| Aufgabe | Weisen Sie die Konvergenz nach der Folge { [mm] a_{n} [/mm] } n=1 bis [mm] \infty, [/mm] wobei [mm] a_{n} [/mm] := [mm] \bruch{4n²+12n+1}{7n²+n-20} [/mm] , n [mm] \in \IN.
[/mm]
Bestimmen Sie für [mm] \varepsilon_{1}=1/100, \varepsilon_{2}=1/1000 [/mm] bzw. [mm] \varepsilon_{3}=10^{-27} [/mm] jeweils ein [mm] n_{0}, [/mm] so dass für alle n [mm] \ge n_{0} [/mm] der Abstand von [mm] a_{n} [/mm] zum Grenzwert echt kleiner ist als [mm] \varepsilon. [/mm] |
Hey!
Kann mir vielleicht jemand bei dieser Aufgabe helfen?
Ich komme damit absolut nicht zurecht...
Vielen Danke schonmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Jenny
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Hallo!
Ich saß auch gerade an dieser Aufgabe...Habe die Konvergenz so bestimmt:
[mm] \bruch{n²(4+\bruch{12n}{n²}+\bruch{1}{n²}}{n²(7+\bruch{n}{n²}-\bruch{20}{n²}} [/mm] (die Klammern im Zähler und Nenner natürlich wieder zu aber hat irgenwie nicht funktoniert).
Dann komme ich halt auf:
[mm] \bruch{4+\bruch{12}{n}+\bruch{1}{n²}}{7+\bruch{1}{n}-\bruch{20}{n²}} [/mm] .
Die [mm] \bruch{...}{n} [/mm] sind ja Nullfolgen. Also [mm] \to \bruch{4}{7} [/mm] .
Stimmt und reichts das so?
Mit dem 2. Aufgabenteil kann ich allerdings leider auch nichts anfangen...
Hoffe, dass und da noch jemand nen Tipp geben kann...
DANKE schonmal!!!
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Hallo,
na ja, wenn ihr das schin gezeigt habt, dass das alles Nullfolgen sind, dann ist das in Ordnung, ansonsten müsste hier korrekterweise noch der Nachweis geführt werden. Gerade, weil ihr ja noch im 1. Semester seit.
VG Daniel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 Sa 13.05.2006 | | Autor: | dormant |
Hi!
Ich finde auch, dass der Grenzwert der Folge [mm] \bruch{4}{7} [/mm] beträgt. Bei der zweiten Teilaufgabe hast du eine quadratische Ungleichung zu lösen:
[mm] \bruch{4n^{2}+12n+1}{7n^{2}+n-20}-\bruch{4}{7}\le\bruch{1}{a},
[/mm]
wobei [mm] \bruch{1}{a} [/mm] dein [mm] \epsilon [/mm] darstellt. Auf der linken Seite der Ungleichung darf man auf die Betragstriche verzichten, da ab einem bestimmten n, die Folge gegen den Grenzwert monoton fällt, also auf jeden Fall größer als der Grenzwert selbst ist. Das solltest du allerdings selber zeigen.
Gruß,
dormant
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Danke für die Antwort zur Bestimmung der Konvergenz! Wieso nennt man das eigentlich Konverenz bestimmen, wenn nur der Grenzwert gesucht ist?
Zu dem 2. Teil habe ich nochmal eine Frage...
wenn [mm] \bruch{1}{a}= \varepsilon [/mm] ist und ich dafür nun das [mm] \varepsilon_{1} [/mm] einsetze ist die Ungleichung doch dann:
[mm] \bruch{4n²+12n+1}{7n²+n-20}-\bruch{4}{7} \le \bruch{1}{100} [/mm] ...
Aber wir komme ich nun auf das n?
Ich würde jetzt rechts + [mm] \bruch{4}{7} [/mm] rechnen. Dann würde stehen:
[mm] \bruch{4n²+12n+1}{7n²+n-20} \le \bruch{407}{700} [/mm] .
Und dann?
Jenny
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Sa 13.05.2006 | | Autor: | dormant |
Hallo!
> Danke für die Antwort zur Bestimmung der Konvergenz! Wieso
> nennt man das eigentlich Konverenz bestimmen, wenn nur der
> Grenzwert gesucht ist?
Gute Frage! Der Unterschied ist wesentlich. Es kann sein, dass die Folge nicht konvergiert. Deswegen untersucht man ZUERST die Folge auf Konvergenz. Wenn man bewiesen hat, dass sie konvergiert, DANN erst macht es überhaupt Sinn zu versuchen den Grenzwert zu bestimmen.
> Zu dem 2. Teil habe ich nochmal eine Frage...
> wenn [mm]\bruch{1}{a}= \varepsilon[/mm] ist und ich dafür nun das
> [mm]\varepsilon_{1}[/mm] einsetze ist die Ungleichung doch dann:
> [mm]\bruch{4n²+12n+1}{7n²+n-20}-\bruch{4}{7} \le \bruch{1}{100}[/mm]
> ...
Genau.
> Aber wir komme ich nun auf das n?
> Ich würde jetzt rechts + [mm]\bruch{4}{7}[/mm] rechnen. Dann würde
> stehen:
> [mm]\bruch{4n²+12n+1}{7n²+n-20} \le \bruch{407}{700}[/mm] .
Das ist der Falsche Ansatz. Du musst alles auf die eine Seite der Ungleichung bringen bis auf der anderen null steht. Dann machst du eine Fallunterscheidung. Z.B. so:
[mm] \bruch{A}{B}\le0 \gdw
[/mm]
[mm] \gdw \begin{cases} A\ge0 \\ B<0 \end{cases}
[/mm]
ODER [mm] \gdw \begin{cases} A\le0 \\ B>0 \end{cases} [/mm] .
Gruß,
dormant
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Ich habe nun alles auf die linke Seite gebracht, damit rechts Null steht. Hab das auf den Hauptnenner gebracht und habe nun bekommen:
[mm] \bruch{-49n²+7993n+8840}{4900n²+700n-14000} \le [/mm] 0
Nun müste ich ja die n´s errechnen indem ich den Zähler [mm] \le [/mm] 0 setze und den Nenner > 0. Aber wie soll ich denn mit diesen riesigen Zahlen rechnen? Müsste ja mein Zähler erstmal alles durch -49 teilen aber das geht ja auch nicht wirklich...?
Jenny
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 Di 16.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Jenny
Zum Glück ist ja nicht nach dem kleinst möglichen [mm] n_{0} [/mm] gefragr, sondern nur nach einem! Damit hast du eigentlich alle Teilaufgaben gelöst, wenn du die letzte gelöst hast.
Du kannst vor dem Rechnen durch Abschätzen verkleinern: z. Bsp:
[mm][mm] \bruch{4n²+12n+1}{7n²+n-20}-4/7<\bruch{4n²+12n}{7n²+n}-4/7=[/mm] [mm]\bruch{4n+12}{7n+1}-4/7<1/100[/mm]
und jetzt erst rechnen!
Gruss leduart.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Mi 17.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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