Konvergenz und Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Aufgabenstellung wie oben.
[mm] b_{n}= b_{n}= \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k*(k+1)} [/mm] |
Ist das Ergebnis hier nicht einfach:
[mm] b_{n}= \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k*(k+1)}= \bruch{1}{2}*n [/mm] ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:19 Fr 19.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) es ist nicht 1/2 , das ist ja nur der erste Summand, dann kommen noch viele!
b) wenn es 1/2 wäre müsstest du das beweisen.
c) mach ne Partialbruchzerlegung, d.h. schreib das als A/k+B/(k+1) und bestimme A und B
Dann sieht man das Ergebnis -mit Beweis- schnell
Gruss leduart
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Ich bin mir gerade unsicher, aber der bruch ist doch konstant oder? Und dann summiert man die konst. n-mal.
[mm] \summe_{k=1}^{n}= \bruch{1}{k*(k+1)}= \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{2}= \bruch{1}{2}*n
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Ich bin mir gerade unsicher, aber der bruch ist doch
> konstant oder? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Was bewegt dich zu dieser absurden Annahme?
Für [mm]k=1[/mm] erhältst du [mm]\frac{1}{2}[/mm], für [mm]k=2[/mm] erhältst du [mm]\frac{1}{2\cdot{}3}=\frac{1}{6}[/mm]
Und das wird alles summiert ...
> Und dann summiert man die konst. n-mal.
>
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}= \bruch{1}{k*(k+1)}= \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{2}= \bruch{1}{2}*n[/mm]
Grober Unfug.
Beherzige leduarts Tipp!
LG
schachuzipus
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Neuer Versuch.
Ich komme dann auf:
1=(k+1)*A+k*B=k(A+B)+A
[mm] \Rightarrow [/mm] A+B=0 [mm] \wedge [/mm] A=0 [mm] \Rightarrow [/mm] B=-1
also:
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k*(k+1)}=\summe_{k=1}^{n}( \bruch{1}{k}- \bruch{1}{k+1})
[/mm]
Ich habe die ersten acht Folgenglieder bestimmt und vermute als GW 0,7, weiss aber nicht, wie ich das jetzt zeigen kann.
Ein kleiner Hinweis würde mir bestimmt helfen.
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Hallo nochmal,
> Neuer Versuch.
>
> Ich komme dann auf:
>
> 1=(k+1)*A+k*B=k(A+B)+A
> [mm]\Rightarrow[/mm] A+B=0 [mm]\wedge[/mm] A=0 [mm]\Rightarrow[/mm] B=-1
kleiner Verschreiber: [mm]A=\red{1}[/mm]
>
> also:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k*(k+1)}=\summe_{k=1}^{n}( \bruch{1}{k}- \bruch{1}{k+1})[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Ich habe die ersten acht Folgenglieder bestimmt und vermute
> als GW 0,7, weiss aber nicht, wie ich das jetzt zeigen
> kann.
Der GW ist 1!
Es ist [mm]\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}a_k[/mm]
Hier ziehe die Summe auseinender:
[mm]\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right) \ = \ \sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k} \ - \ \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k+1}[/mm]
Nun eine Indexverschiebung an der hinteren Summe, so dass auch der Summand [mm]\frac{1}{k}[/mm] dasteht.
Erhöhen wir den Laufindex an der Summe um 1 und erniedrigen ihn als Ausgleich in der Summe um 1:
[mm]= \ \sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k} \ - \ \sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k}[/mm]
Nun kürzen sich fast alle Summanden weg, dies ist eine nette Teleskopsumme.
Was bleibt? Und wogegen strebt es für [mm]n\to\infty[/mm]?
> Ein kleiner Hinweis würde mir bestimmt helfen.
Gruß
schachuzipus
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Ausrechnen bringt mich zu:
[mm] \bruch{1}{1}+ \bruch{1}{2}+ \bruch{1}{3}+...+ \bruch{1}{n}-( \bruch{1}{2}+ \bruch{1}{3}+...+ \bruch{1}{n}+ \bruch{1}{n+1})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{1}- \bruch{1}{n+1}
[/mm]
Also:
[mm] \sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}a_k= \limes_{n\rightarrow\infty}( \bruch{1}{1}- \bruch{1}{n+1})=1
[/mm]
So richtig?
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Hallo,
> Ausrechnen bringt mich zu:
>
> [mm]\bruch{1}{1}+ \bruch{1}{2}+ \bruch{1}{3}+...+ \bruch{1}{n}-( \bruch{1}{2}+ \bruch{1}{3}+...+ \bruch{1}{n}+ \bruch{1}{n+1})[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{1}- \bruch{1}{n+1}[/mm]
>
> Also:
>
> [mm]\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}a_k= \limes_{n\rightarrow\infty}( \bruch{1}{1}- \bruch{1}{n+1})=1[/mm]
>
> So richtig?
Ja!
Gruß
schachuzipus
>
>
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| Aufgabe | Aufgabenstellung bleibt.
[mm] c_{n}= \bruch{n^3}{2^n}
[/mm]
Hinweis: [mm] 2^n [/mm] > [mm] n^4 [/mm] für n [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \ge16 [/mm] |
meine Idee:
[mm] \bruch{n^3}{2^n}= \bruch{n^4}{n*2^n}= \bruch{n^4}{2^n}* \bruch{1}{n}
[/mm]
für n [mm] \ge16 [/mm] gilt:
[mm] \bruch{n^4}{2^n} \le1 \Rightarrow \bruch{1}{n}* \bruch{n^4}{2^n} \le1* \bruch{1}{n}= \bruch{1}{n}
[/mm]
also:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^3}{2^n}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^4}{n*2^n}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}=0
[/mm]
Richtig so?
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Hallo,
bitte für neue Aufgaben neue threads erstellen.
> Aufgabenstellung bleibt.
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> [mm]c_{n}= \bruch{n^3}{2^n}[/mm]
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> Hinweis: [mm]2^n[/mm] > [mm]n^4[/mm] für n [mm]\in \IN,[/mm] n [mm]\ge16[/mm]
> meine Idee:
>
> [mm]\bruch{n^3}{2^n}= \bruch{n^4}{n*2^n}= \bruch{n^4}{2^n}* \bruch{1}{n}[/mm]
>
> für n [mm]\ge16[/mm] gilt:
> [mm]\bruch{n^4}{2^n} \le1 \Rightarrow \bruch{1}{n}* \bruch{n^4}{2^n} \le1* \bruch{1}{n}= \bruch{1}{n}[/mm]
>
> also:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^3}{2^n}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^4}{n*2^n}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}=0[/mm]
>
> Richtig so?
Erstmal nur [mm]\le 0[/mm]
Andererseits ist offensichtlich [mm]0\le\frac{n^3}{2^n}[/mm]
Also [mm]0 \ \le \ \frac{n^3}{2^n} \ \le \ \frac{1}{n}[/mm]
Damit nach Sandwich-Lemma ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:57 Sa 20.11.2010 | | Autor: | MontBlanc |
hallo,
hilft es denn mit einer divergenten majorante abzuschätzen oder sprechen wir von folgen ?
lg
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Hallo,
> hallo,
>
> hilft es denn mit einer divergenten majorante abzuschätzen
Nee, hilft nix ...
> oder sprechen wir von folgen ?
k.A.
Wenn es um die KOnvergenz/Divergenz der Reihe [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{2^n}[/mm] geht, würde ich den Tipp vergessen und das Wurzelkriterium hernehmen ...
Gruß
schachuzipus
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