Konvergenz und Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:33 Do 17.11.2011 | | Autor: | enes.g |
| Aufgabe | Beweisen Sie die Konvergenz und berechnen Sie den Grenzwert der Folgen
(a) [mm] (\wurzel{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{n})_{n\in\IN}
[/mm]
(b) [mm] (\wurzel[n]{q})_{n\ge2} [/mm] |
wobei q [mm] \in \IR [/mm] , q>1
So zu Aufgabe (a) habe ich folgendes geschrieben:
Sei [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{n}) [/mm] = a
Also:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{n}) [/mm] = ... [mm] =\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{(\wurzel{n+1} + \wurzel{n})} [/mm] = 0
Hierauf komme ich mit Umformung durch 3. Binomische Formel.
Dann habe ich folgendes gezeigt:
[mm] \forall \varepsilon \ge [/mm] 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN \forall n\ge [/mm] N : | [mm] \bruch{1}{(\wurzel{n+1} + \wurzel{n})} [/mm] - 0 |
Wähle N > [mm] \bruch{1}{\varepsilon}
[/mm]
| [mm] \bruch{1}{(\wurzel{n+1} + \wurzel{n})} [/mm] - 0 | = [mm] \bruch{1}{(\wurzel{n+1} + \wurzel{n})} \le \bruch{1}{(\wurzel{n+1})} \le \bruch{1}{n+1} \le \bruch{1}{n} \le \bruch{1}{N} [/mm] < [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{\varepsilon}} [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
Ist das so richtig?
Und bei (b) habe ich nur folgenden Ansatz:
[mm] \wurzel[n]{q}=1+a_n [/mm] , [mm] q=(1+a_n)^n \ge 1+n*a_n
[/mm]
und weiss hier nicht mehr weiter..
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Enes,
> Beweisen Sie die Konvergenz und berechnen Sie den Grenzwert
> der Folgen
> (a) [mm](\wurzel{n+1}[/mm] - [mm]\wurzel{n})_{n\in\IN}[/mm]
> (b) [mm](\wurzel[n]{q})_{n\ge2}[/mm]
> wobei q [mm]\in \IR[/mm] , q>1
>
> So zu Aufgabe (a) habe ich folgendes geschrieben:
> Sei [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel{n+1}[/mm] - [mm]\wurzel{n})[/mm] = a
> Also:
Wieso "also"? Dein Ansatz ist gut, aber er folgt doch nicht aus der Annahme der Existenz eines Grenzwerts a. Das Umgekehrte ist richtig.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel{n+1}[/mm] - [mm]\wurzel{n})[/mm] =
> ... [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{(\wurzel{n+1} + \wurzel{n})}[/mm] = 0
> Hierauf komme ich mit Umformung durch 3. Binomische
> Formel.
Völlig richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann habe ich folgendes gezeigt:
> [mm]\forall \varepsilon \ge[/mm] 0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN \forall n\ge[/mm] N : | [mm]\bruch{1}{(\wurzel{n+1} + \wurzel{n})}[/mm] - 0 |
> Wähle N > [mm]\bruch{1}{\varepsilon}[/mm]
> | [mm]\bruch{1}{(\wurzel{n+1} + \wurzel{n})}[/mm] - 0 | =
> [mm]\bruch{1}{(\wurzel{n+1} + \wurzel{n})} \le \bruch{1}{(\wurzel{n+1})} \le \bruch{1}{n+1} \le \bruch{1}{n} \le \bruch{1}{N}[/mm] < [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{\varepsilon}}[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Ist das so richtig?
Ja, ganz wunderbar.
> Und bei (b) habe ich nur folgenden Ansatz:
> [mm]\wurzel[n]{q}=1+a_n[/mm] , [mm]q=(1+a_n)^n \ge 1+n*a_n[/mm]
> und weiss
> hier nicht mehr weiter..
Diese Abschätzung ist zwar korrekt, geht aber in die falsche Richtung.
Du brauchst eine Aussage der Form [mm] \wurzel[n]{q}\le{1+x}.
[/mm]
Versuch mal eine Abschätzung gegen [mm] b_n=1+\bruch{q}{n}, [/mm] also Majorantenkriterium.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:36 Do 17.11.2011 | | Autor: | enes.g |
Cool dann habe ich ja zumindestens für Aufgabe (a) nicht umsonst geackert und habe es dazu noch recht gut verstanden..
aber bei (b) wäre super nett, wenn du mir bisschen mehr erklären würdest. Ich bin da überhaupt nicht drin und weiss nicht weiter.
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Hallo,
> aber bei (b) wäre super nett, wenn du mir bisschen mehr
> erklären würdest. Ich bin da überhaupt nicht drin und
> weiss nicht weiter.
Du willst zeigen:
[mm] \sqrt[n]{q}\leq1+\frac{q}{n}.
[/mm]
Dies ist äquivalent zu
[mm] q\leq\left(1+\frac{q}{n}\right)^n.
[/mm]
Schau dir die rechte Seite genau an.
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:03 Fr 18.11.2011 | | Autor: | Helbig |
> | [mm]\bruch{1}{(\wurzel{n+1} + \wurzel{n})}[/mm] - 0 | =
> [mm]\bruch{1}{(\wurzel{n+1} + \wurzel{n})} \le \bruch{1}{(\wurzel{n+1})} \le \bruch{1}{n+1} \le \bruch{1}{n} \le \bruch{1}{N}[/mm]
> < [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{\varepsilon}}[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Ist das so richtig?
Nein, denn es ist nicht [mm] $\bruch [/mm] 1 [mm] {\sqrt{n+1}} \le \bruch [/mm] 1 {n+1}$.
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