Konvergenz uneigent. Integrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:32 Do 28.02.2008 | | Autor: | MrFair |
| Aufgabe | Untersuchen sie, ob folgende uneigentlichen Integrale konvergieren oder divergieren:
a) [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-t}*log(1+t)dt}
[/mm]
Anmerkung: log ist bei uns der natürliche Logarithmus, also log = ln |
Hallo!
Ich schaffe es einfach nicht, diese Aufgabe zu lösen. Ich sitze jetzt garantiert schon 3 Stunden daran, aber ich kann sie einfach nicht lösen.
Bisher habe ich folgendes:
Da man die Funktion ja nicht so einfach integrieren kann, wollte ich das Cauchykriterium anwenden. Also:
Seien 0 [mm] \le [/mm] u [mm] \le [/mm] v:
[mm] \left| \integral_{u}^{v}{e^{-t}*log(1+t)dt} \right| [/mm] = [mm] \left| \left[ -\bruch{log(1+t)}{e^t} \right]_{u}^{v} - \integral_{u}^{v}{-\bruch{1}{(t+1)*e^t}dt} \right| [/mm] = [mm] \left| -\bruch{log(1+v)}{e^v} + \bruch{log(1+u)}{e^u} + \integral_{u}^{v}{\bruch{1}{(t+1)*e^t}dt} \right|
[/mm]
So, da das partielle Integrieren jetzt keinen weiteren Sinn macht, wollte ich jetzt mit dem Abschätzen anfangen. Dummerweise bekomme ich die Funktion aber nie so abgeschätzt, wie ich es für das Cauchykriterium brauchen würde.
Folgende Abschätzungen hab ich bisher gemacht:
1.)
[mm] \left| -\bruch{log(1+v)}{e^v} + \bruch{log(1+u)}{e^u} + \integral_{u}^{v}{\bruch{1}{(t+1)*e^t}dt} \right| \le \left| -log(1+v) + log(1+u) + \integral_{u}^{v}{1 dt} \right| [/mm] = [mm] \left| -log(1+v) + log(1+u) + v - u \right| \le \left| -(1 + v) + 1 + u + v - u \right| [/mm] = 0
Das bringt mir also nichts. Und ich bin mir ziemlich sicher, dass das Integral nicht für alle angegebenen u und v den Wert 0 besitzt!
2.)
Ich dachte mir dann, dass ich eventuell das Integral zu großzügig abgeschätzt hatte und bin dann noch auf folgende Abschätzung gekommen:
[mm] \left| -\bruch{log(1+v)}{e^v} + \bruch{log(1+u)}{e^u} + \integral_{u}^{v}{\bruch{1}{(t+1)*e^t}dt} \right| \le \left| -log(1+v) + log(1+u) + \integral_{u}^{v}{\bruch{1}{1+t} dt} \right| [/mm] = [mm] \left| -log(1+v) + log(1+u) + log(1+v) - log(1+u) \right| [/mm] = 0
Das selbe Spiel wie oben. Das kann doch nicht stimmen?!
Ich hätte auch noch eine 3. Abschätzung anzubieten, bei der ich auf
[mm] \left| -\bruch{log(1+v)}{e^v} + \bruch{log(1+u)}{e^u} + \integral_{u}^{v}{\bruch{1}{(t+1)*e^t}dt} \right| \le [/mm] v
gekommen bin. Das bringt mir dann fürs Cauchy-Kriterium auch wieder überhaupt nichts. Ich muss ja irgendwie gegen u abschätzen.
Ich wäre wirklich für jede Hilfe dankbar, denn ich finde meinen Fehler einfach nicht.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 Do 28.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Untersuchen sie, ob folgende uneigentlichen Integrale
> konvergieren oder divergieren:
>
> a) [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-t}*log(1+t)dt}[/mm]
>
> Anmerkung: log ist bei uns der natürliche Logarithmus, also
> log = ln
> Hallo!
>
> Ich schaffe es einfach nicht, diese Aufgabe zu lösen. Ich
> sitze jetzt garantiert schon 3 Stunden daran, aber ich kann
> sie einfach nicht lösen.
>
> Bisher habe ich folgendes:
> Da man die Funktion ja nicht so einfach integrieren kann,
> wollte ich das Cauchykriterium anwenden. Also:
>
> Seien 0 [mm]\le[/mm] u [mm]\le[/mm] v:
>
> [mm]\left| \integral_{u}^{v}{e^{-t}*log(1+t)dt} \right|[/mm] =
> [mm]\left| \left[ -\bruch{log(1+t)}{e^t} \right]_{u}^{v} - \integral_{u}^{v}{-\bruch{1}{(t+1)*e^t}dt} \right|[/mm]
> = [mm]\left| -\bruch{log(1+v)}{e^v} + \bruch{log(1+u)}{e^u} + \integral_{u}^{v}{\bruch{1}{(t+1)*e^t}dt}\right|[/mm]
>
> So, da das partielle Integrieren jetzt keinen weiteren Sinn
> macht, wollte ich jetzt mit dem Abschätzen anfangen.
> Dummerweise bekomme ich die Funktion aber nie so
> abgeschätzt, wie ich es für das Cauchykriterium brauchen
> würde.
>
> Folgende Abschätzungen hab ich bisher gemacht:
>
> 1.)
>
> [mm]\left| -\bruch{log(1+v)}{e^v} + \bruch{log(1+u)}{e^u} + \integral_{u}^{v}{\bruch{1}{(t+1)*e^t}dt} \right| \le \left| -log(1+v) + log(1+u) + \integral_{u}^{v}{1 dt} \right|[/mm]
> = [mm]\left| -log(1+v) + log(1+u) + v - u \right| \le \left| -(1 + v) + 1 + u + v - u \right|[/mm]
> = 0
Deine Abschätzungen sind falsch. Der erste der drei Summanden ist negativ, die anderen beiden positiv. Daher kannst du sie nicht einfach getrennt abschätzen. Ich würde an deiner Stelle die Dreiecksungleichung benutzen, um das Integral getrennt von den ersten beiden Termen abzuschätzen. Dazu benutze
$ 0 [mm] \le \bruch{e^{-t}}{t+1} \le e^{-t} [/mm] $ für [mm] $t\ge [/mm] 0$.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:49 Do 28.02.2008 | | Autor: | MrFair |
Hallo Rainer,
schonmal danke für deine Tipps. Deine Tipp am Ende war mir soweit bewusst, aber ich habe nicht versucht damit abzuschätzen, da ich es schon ein paarmal (erfolglos) damit probiert habe. An die Dreiecksungleichung habe ich aber nicht gedacht, mir ist aber auch grade nicht ganz klar, wieso ich die Summanden nicht einzeln abschätzen darf. Wäre nett, wenn du das kurz erläutern könntest.
Ansonsten muss ich aber leider auch sagen, dass deine Tips mich immer noch nicht zum Erfolg gebracht haben. Ich bin jetzt zu folgendem gekommen:
[mm] \left| -\bruch{log(1+v)}{e^v} + \bruch{log(1+u)}{e^u} + \integral_{u}^{v}{\bruch{1}{(t+1)*e^t}dt} \right| \le \left| -\bruch{log(1+v)}{e^v} \right| [/mm] + [mm] \left| \bruch{log(1+u)}{e^u} \right| [/mm] + [mm] \left| \integral_{u}^{v}{\bruch{1}{(t+1)*e^t}dt} \right| \le \left| -\bruch{log(1+v)}{e^v} \right| [/mm] + [mm] \left| \bruch{log(1+u)}{e^u} \right| [/mm] + [mm] \left| \integral_{u}^{v}{\bruch{1}{(e^t}dt} \right| \le \bruch{log(1+v)}{e^v} [/mm] + [mm] bruch{log(1+u)}{e^u} [/mm] + [mm] \left| -\bruch{1}{e^v} + \bruch{1}{e^u}\right| \le \bruch{log(1+v)}{e^v} [/mm] + [mm] bruch{log(1+u)}{e^u} [/mm] + [mm] \left| -\bruch{1}{e^v} \right| [/mm] + [mm] \left| \bruch{1}{e^u}\right| \le[/mm] [mm]log(1+v) + log(2+u) + 2 \le 1 + v + 1 + u + 2 = v + u + 4[/mm]
Leider habe ich also immer noch ein v im Ergebnis stehen und kann das Cauchy-Kriterium immer noch nicht anwenden.
Wahrscheinlich hab ich jetzt einfach schon zu lange an dieser Funktion rumgedoktort, denn ich sehe einfach keine anderen Abschätzmöglichkeiten mehr.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:05 Fr 29.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Rainer,
>
> schonmal danke für deine Tipps. Deine Tipp am Ende war mir
> soweit bewusst, aber ich habe nicht versucht damit
> abzuschätzen, da ich es schon ein paarmal (erfolglos) damit
> probiert habe. An die Dreiecksungleichung habe ich aber
> nicht gedacht, mir ist aber auch grade nicht ganz klar,
> wieso ich die Summanden nicht einzeln abschätzen darf. Wäre
> nett, wenn du das kurz erläutern könntest.
Du hast eine Summe aus Termen mit unterschiedlichem Vorzeichen. Deine Abschätzung ging etwa so:
[mm] $5\le [/mm] 7 $ und [mm] $7\le [/mm] 8$, daher ist [mm] $|-5+7|\le|-7 [/mm] + 8| $.
> Ansonsten muss ich aber leider auch sagen, dass deine Tips
> mich immer noch nicht zum Erfolg gebracht haben. Ich bin
> jetzt zu folgendem gekommen:
>
> [mm]\left| -\bruch{log(1+v)}{e^v} + \bruch{log(1+u)}{e^u} + \integral_{u}^{v}{\bruch{1}{(t+1)*e^t}dt} \right| \le \left| -\bruch{log(1+v)}{e^v} \right|+\left| \bruch{log(1+u)}{e^u} \right|[/mm] + [mm]\left| \integral_{u}^{v}{\bruch{1}{(t+1)*e^t}dt} \right|[/mm]
> [mm] \le \left| -\bruch{log(1+v)}{e^v} \right| +\left| \bruch{log(1+u)}{e^u} \right|[/mm] + [mm]\left| \integral_{u}^{v}{\bruch{1}{(e^t}dt} \right| [/mm]
> [mm]\le \bruch{log(1+v)}{e^v}+\bruch{log(1+u)}{e^u}[/mm] + [mm]\left| -\bruch{1}{e^v} + \bruch{1}{e^u}\right|[/mm]
> [mm] \le \bruch{log(1+v)}{e^v}+\bruch{log(1+u)}{e^u}[/mm] + [mm]\left| -\bruch{1}{e^v} \right| + \left| \bruch{1}{e^u}\right|[/mm]
Bis hierher ist es ok, aber dann schätzt du viel zu großzügig ab:
> [mm] \le[/mm] [mm]log(1+v) + log(2+u) + 2 \le 1 + v + 1 + u + 2 = v + u + 4[/mm]
Besser: [mm] $\log(1+x) [/mm] < [mm] e^x$ [/mm] für [mm] $x\ge [/mm] 0$, also kannst du alle Summanden durch 1 abschätzen.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:15 Fr 29.02.2008 | | Autor: | Zaed |
Hallo, ich würde wie folgt vorgehen:
es gilt offensichtlich [mm] 0 \le \integral_{0}^{\infty}{e^{-t}\cdot{}log(1+t)dt} [/mm] und außerdem gilt für alle positiven x, dass [mm] log(x) \le x [/mm]
nun haben wir: [mm] 0 \le \integral_{0}^{\infty}{e^{-t}\cdot{}log(1+t)dt} \le \integral_{0}^{\infty}{e^{-t}\cdot{}(1+t)dt} [/mm]
Wenn du nun zeigen kannst, dass diese Majorante konvergent ist, dann impliziert das die Konvergenz deines Intergrals. Das dürfte jetzt allerdings kein Problem mehr darstellen :D
Gruß, Zaed
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:40 Fr 29.02.2008 | | Autor: | MrFair |
Hallo Zaed,
ja, dass macht Sinn. Mit dem Majorantenkriterium dürfte das wirklich recht einfach zu lösen sein. Ich werde das gleich morgen mal so probieren.
Ich dachte die ganze Zeit, dass wäre in meiner Vorlesung noch nicht eingeführt, da ich es einfach nicht in meinen Unterlagen finden konnte. Das hätte für mich bedeutet, dass ich es nicht anwenden darf.
Ich habe grade eben nochmal nachgesehen und gemerkt, dass es doch eingeführt wurde, aber nur am Rande, so dass ich es vorhin einfach übersehen habe. Da hätte ich mir wohl viel Mühe sparen können...
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