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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 So 01.04.2007 | | Autor: | setine |
| Aufgabe | Zeige, dass folgendes uneigentliches Integral konvergiert:
[mm] $\integral_{1}^{\infty}{\frac{cos(x)}{\wurzel(x)} dx}$ [/mm] |
Ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht weiter. Als Tip wurde die partielle Integration empfohlen, doch sehe ich nicht was das bringen sollte.
Bin für jede Hilfe dankbar ;)
Gruss, Setine
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Hallo setine,
ich glaube, das klappt mit 2facher partieller Integration:
[mm] \int{\frac{\cos(x)}{\sqrt{x}}dx}=\int{\cos(x)\cdot{}x^{-\frac{1}{2}}dx}
[/mm]
Mit [mm] \cos(x)=f(x) [/mm] und [mm] x^{-\frac{1}{2}}=g'(x) [/mm] gilt:
[mm] \int{\cos(x)\cdot{}x^{-\frac{1}{2}}dx}=\cos(x)\cdot{}2\sqrt{x}-\int{-\sin(x)\cdot{}2\sqrt{x}dx}
[/mm]
[mm] =\cos(x)\cdot{}2\sqrt{x}+\int{\sin(x)\cdot{}2\sqrt{x}dx}
[/mm]
Das hintere Integral nun nochmal mit partieller Integration mit [mm] h(x)=2\sqrt{x} [/mm] und [mm] i'(x)=\sin(x)
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 So 01.04.2007 | | Autor: | setine |
Hi! Danke für deine schnelle Antwort!
Ich glaube aber es hat sich ein Fehler eingeschlichen, den ich bekomme:
$ [mm] \int{\cos(x)\cdot{}x^{-\frac{1}{2}}dx}=\cos(x)\cdot{}2\wurzel(x)-\int{-\sin(x)\cdot{}2\sqrt{x}dx} [/mm] $
Hab mal so weitergerechnet, sehe aber nicht worauf du hinaus wolltest. Kannst du deine Idee etwas erläutern? Ich sehe nicht wie eines der beiden Terme verschwinden sollte durch die partielle Integration.
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Hallo,
hab mich 10mal verschrieben hier ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
Aber ich habe eben gemerkt, dass dieser Ansatz nichts bringt, weil sich nachher alles weghebt zu 0=0
Ich wollte eigentlich darauf hinaus, eine Gleichung der Form [mm] 2\int{\frac{\cos(x)}{\sqrt{x}}dx}=" [/mm] irgendwas" zu bekommen.
Aber das klappt irgendwie nicht
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:10 So 01.04.2007 | | Autor: | setine |
Genau auf das 0=0 bin ich auch gekommen ;)
Danke trotzdem, der Gedanke zählt ja ;P
Schönen Abend noch.
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[mm]\integral_{1}^{\infty}{\frac{cos(x)}{\wurzel(x)} dx}[/mm]
=[mm]\integral_{1}^{1,5*\pi}{\frac{cos(x)}{\wurzel(x)} dx}[/mm]+[mm]\integral_{1,5*\pi}^{2,5*\pi}{\frac{cos(x)}{\wurzel(x)} dx}[/mm]+[mm]\integral_{2,5*\pi}^{3,5*\pi}{\frac{cos(x)}{\wurzel(x)} dx}[/mm]+[mm]\integral_{3,5*\pi}^{4,5*\pi}{\frac{cos(x)}{\wurzel(x)} dx}[/mm]+...
Bezeichnet man die einzelnen Integrale mit [mm] a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}..., [/mm] so gilt:
[mm] a_{0}=[/mm] [mm]\integral_{1}^{1,5*\pi}{\frac{cos(x)}{\wurzel(x)} dx}[/mm] ist endlich;
[mm] |a_{1}|=[/mm] [mm]|\integral_{1,5*\pi}^{2,5*\pi}{\frac{cos(x)}{\wurzel(x)} dx}[/mm]|<[mm]|\integral_{1,5*\pi}^{2,5*\pi}{\frac{cos(x)}{\wurzel(2,5*\pi)} dx}|[/mm]=[mm]|\frac{1}{\wurzel(2,5*\pi)}\integral_{1,5*\pi}^{2,5*\pi}{cos(x) dx}|[/mm]=[mm][mm] \frac{2}{\wurzel(2,5*\pi)}
[/mm]
[mm] |a_{2}|=[/mm] [mm]|\integral_{2,5*\pi}^{3,5*\pi}{\frac{cos(x)}{\wurzel(x)} dx}[/mm]|<[mm]|\integral_{2,5*\pi}^{3,5*\pi}{\frac{cos(x)}{\wurzel(3,5*\pi)} dx}|[/mm]=[mm]|\frac{1}{\wurzel(3,5*\pi)}\integral_{1,5*\pi}^{2,5*\pi}{cos(x) dx}|[/mm]=[mm][mm] \frac{2}{\wurzel(3,5*\pi)}
[/mm]
usw..
Das bedeutet:
die [mm] a_{i} [/mm] (i=1, 2, 3...) bilden eine alternierende Nullfolge, wobei die Beträge monoton fallen. Damit konvergiert die Reihe nach dem Leibniz-Kriterium. Somit ist das Ausgangsintegral endlich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mo 02.04.2007 | | Autor: | setine |
Vielen Dank! Auf diese geniale Idee bin ich leider nicht selbst gekommen ;)
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Wie kommt man überhaupt darauf?
Bei solchen Aufgaben sehe ich immer die Kurve vor mir: Eine unendlche sin-Kurve, deren Berge und Täler immer kleiner werden. Das Integral ist die Summe aller Flächenstücke zwischen Graph und x-Achse, wobei die Flächen unterhalb der x-Achse negativ zählen. Also addiert und subtrahiert man immer kleiner werdende Flächenstücke. Die Integrationsgrenzen sind gerade die Durchgänge des Graphen durch die x-Achse.
Erste Wahl bei allen Aufgaben ist eine visuelle Vorstellung des Graphen. Leider hilft das nicht immer. Mir fallen Analysis-Aufgaben daher besonders leicht, Algebra-Aufgaben kann ich nur auf Grund meiner langen Übung und leider nicht "intuitiv" lösen. Vielleicht hilft dir diese Darlegung zusätzlich bei weiteren Aufgaben.
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