Konvergenz unendlicher Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden unendlichen Reihen auf Konvergenz !
a) $ [mm] \sum^\infty_{n=1} 2^{-n+(-1)^n} [/mm] $
b) $ [mm] \sum^\infty_{n=1} (-n+\sqrt{n^2+1}) [/mm] $
c) $ [mm] \sum^\infty_{n=1} \frac [/mm] {(2n+1)!} {(3n)!} $ |
Mit welchem Konvergenzkriterium muss ich da rangehen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:07 Sa 06.01.2007 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
der 3. Teil geht mit Quotientenkriterium. Ist eigentlich ganz easy:
[mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{(2(n+1)+1)!}{(3(n+1))!}}{\frac{(2n+1)!}{(3n)!}}=\frac{(2n+3)!\cdot (3n)!}{(2n+1)!\cdot (3n+3)!}=\frac{(2n+2)\cdot (2n+3)}{(3n+1)\cdot (3n+2)\cdot (3n+3)}=$
[/mm]
So und im folgenden ist (setze $N=2$) jeder Faktor streng kleiner 1 [mm] $\forall\,n\geqslant{N}$:
[/mm]
[mm] $=\underbrace{\frac{1}{(3n+1)}}_{<1\;\forall\,n\geqslant{N=2}}\cdot\underbrace{\frac{(2n+2)}{(3n+2)}}_{<1\;\forall\,n\geqslant{N=2}}\cdot\underbrace{\frac{(2n+3)}{(3n+3)}}_{<1\;\forall\,n\geqslant{N=2}}<1\quad\forall\,n\geqslant{N=2}$
[/mm]
Damit ist die Reihe nach Quotientenkriterium konvergent.
Gruß Denny
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| Aufgabe | | $ [mm] \frac{(2n+3)!\cdot (3n)!}{(2n+1)!\cdot (3n+3)!}=\frac{(2n+2)\cdot (2n+3)}{(3n+1)\cdot (3n+2)\cdot (3n+3)} [/mm] $ |
wie kommst du dadrauf?
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Guten Abend!
Also um von der linken Seite der Gleichung auf die rechte Seite zu kommen musst du nur kürzen.
also z.B.
[mm] \bruch{(3n+3)!}{(3n+1)!} [/mm] = [mm] \bruch{(3n+3)(3n+2)(3n+1)!}{(3n+1)!} [/mm] = (3n+3)(3n+2)
mfg Ersti
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Sa 13.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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