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Hi! Ich habe folgenden Aufgabe vor mir liegen: Bestimmen Sie , welche der unendlichen Reihen konvergent sind. Hierzu liegt mir folgende Reihe vor:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \wurzel{2n} [/mm] .
Ich habe nun folgendes gemacht, um herauszubekommen, ob diese konvergent ist oder nicht. Ich habe zunächst die Partialsumme herausbekommen, die bei mir lautet:
( [mm] \wurzel{2} [/mm] + [mm] \wurzel{2n+1} [/mm] ) / 1- [mm] \wurzel{2}. [/mm] Diese hab ich dann gegen n-> [mm] \infty [/mm] laufen lassen und herausbekommen, dass sie gegen - [mm] \infty [/mm] unendlich konvergiert. Bzw., dass sie dann ja nicht konvergiert, sondern divergiert. Habe ich damit also nun bewiesen, dass meine Folge nicht konvergent, sondern divergent ist oder ist das ein absolut falscher Ansatz?
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Hallo Mathefragen,
ich weiß nicht, wie du auf diesen Ausdruck für die Partialsumme gekommen bist. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Vllt. kannst du das mal etwas näher erläutern 
Aber einen Tipp habe ich doch:
Ein notwendiges Kriterium für die Konvergenz einer Reihe [mm] $\sum_na_n$ [/mm] ist, dass die Folge der Reihenglieder, also [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Nullfolge ist.
Das heißt, dass du sofort weißt, dass eine Reihe [mm] $\sum_na_n$ [/mm] divergent ist, wenn die Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] keine Nullfolge ist !
Das Kriterium ist aber NICHT hinreichend, dh. es gibt Reihen, wo die Folge der Reihenglieder zwar eine Nullfolge ist, die Reihe aber divergiert, zB die harmonische Reihe [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ [/mm] ist divergent.
Wenn du eine solche Reihe [mm] $\sum\limits_na_n$ [/mm] hast, wo die Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Nullfolge ist, kannst du dann mit den üblichen Konvergenzkriterien ansetzen, also Quotientenkriterium, Wurzelkriterium, Vergleichskriterium usw.
Wie sieht's also mit deiner Reihe [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sqrt{2n}$ [/mm] aus?
...
Gruß
schachuzipus
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Hi! Danke erstmal für die Antwort.. also brauch ich nichts mit Partialsummen usw. zu machen? Meine Reihe ist doch keine Nullfolge oder? Ich habe Nullfolgen so verstanden, dass diese gegen null gehen, und [mm] \wurzel{2n} [/mm] geht nicht gegen null? Wenn ich mir die Folge aufschreibe, also: [mm] {\wurzel{2} , 2, ..., \wurzel{2n} }, [/mm] dann wächst diese doch? Bin ich auf dem falschen Pfad und hab die Definition der Nullfolge falsch verstanden?
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Hallo nochmal,
> Hi! Danke erstmal für die Antwort.. also brauch ich nichts
> mit Partialsummen usw. zu machen? nö
> Meine Reihe [mm] \red{\text{die FOLGE der Reihenglieder !!}} [/mm] ist doch
> keine Nullfolge oder? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ich habe Nullfolgen so verstanden,
> dass diese gegen null gehen
Jo, der Wortlaut "Nullfolge" legt das nahe
> , und [mm]\wurzel{2n}[/mm] geht nicht
> gegen null? Wenn ich mir die Folge aufschreibe, also:
> [mm]{\wurzel{2} , 2, ..., \wurzel{2n} },[/mm] dann wächst diese
> doch? Bin ich auf dem falschen Pfad und hab die Definition
> der Nullfolge falsch verstanden?
Weder noch, du hast (fast) alles richtig verstanden ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Die Reihe [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sqrt{2n}$ [/mm] divergiert, weil [mm] $(\sqrt{2n})_{n\in\IN}$ [/mm] keine Nullfolge ist (es ist sogar eine divergente Folge)
LG
schachuzipus
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Vielen Dank! Also, nur um das zu verstehen, wäre dann [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (1/\wurzel{2n}) [/mm] eine Nullfolge, oder? Und das müsste ich dann mit einem Kriterium beweisen? Noch eine andere blöde allgemeine Frage, wie bekommt man bei euch die Bruchstriche hin, kann die in der Symbolleiste nicht finden :-(.
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Hi nochmal,
bitte versuche, sauberer zu argumentieren, ich hab's in Fettschrift, in Rot und unterstrichen versucht zu verdeutlichen ...
Bei der Reihe [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{2n}}$ [/mm] ist die FOLGE der ReihenGLIEDER, also [mm] $\left(\bruch{1}{\wurzel{2n}}\right)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Nullfolge.
Dann hast du richtig gesagt, dass du eines der Konvergenzkriterien verwenden musst.
Diese Reihe ist übrigens divergent, du kannst mal versuchen, das mit dem Vergleichskriterium zu zeigen.
Finde zu deiner Reihe eine divergente Minorante (Tipp: dazu bietet sich die harmonische Reihe als Vergleichsreihe oftmals an)
Ach ja, klicke mal auf meine Formeln, dann siehst du, wie sie eingegeben werden.
Alternativ ist unter dem Eingabefenster für Fragen/Antworten/Mitteilungen eine Formelbox. Wenn du da was anklickst, erscheint der einzutippende code in dem kleinen Fensterchen...
Gruß
schachuzipus
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Ersteinmal sorry, mit den Begriffen bin ich noch nicht so vertraut und komm deswegen oft durcheinander.. :-/
D.h. dann also, wenn ich deine oben genannte Beispielreihe für harmonische Reihen nehme, dann ist die unendliche Reihe divergent, da gilt 1 < [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}, [/mm] ist gezeigt, dass die Reihe divergent ist. Muss ich dafür allerdings nicht ersteinmal beweisen, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n} [/mm] divergent ist?
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Hallo Mathefragen,
es ist doch sicherlich [mm] $2\cdot{}n
Damit ist auch - da die wurzelfkt. monoton ist - [mm] $\sqrt{2n}<\sqrt{n^2}=n$
[/mm]
Damit also [mm] $\frac{1}{\sqrt{2n}}\blue{>}\frac{1}{n}$
[/mm]
Und schließlich [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2n}}\blue{>}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$
[/mm]
Und [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ [/mm] divergiert gegen unendlich.
Das habt ihr bestimmt in der VL gezeigt, sonst - da hast du natürlich recht - musst du es zeigen.
Den Beweis kannst du in jedem AnaI Lehrbuch nachsehen
Da deine Reihe GRÖßER ist als [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$, [/mm] was schon gegen [mm] $\infty$ [/mm] divergiert, bleibt deiner Reihe nix anderes übrig, als ebenfalls gegen [mm] $\infty$ [/mm] zu divergieren.
Die (harmonische) Reihe [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ [/mm] ist also eine divergente Minorante (kleinere Reihe) zu deiner Reihe
Gruß
schachuzipus
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Super! Dankeschön :-D! Jetzt, sitze ich an einem anderen Fall und soll zeigen, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n³}{3^{n}} [/mm] konvergent ist. Man sieht ja zunächst, dass es keine Nullfolge ist. Und dies gilt es jetzt zu beweisen. Wenn ich das mit dem Quotientenkriterium mache, dann soll ja mein limeswert entweder größer oder kleiner 1 sein, aber das funktioniert nicht.. Ich habe da wild gerechnet und komme einfach zu keinem Punkt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:17 Di 27.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathefragen!
[mm] $\bruch{n^3}{3^n}$ [/mm] ist aber eine wunderschöne Nullfolge. Und die Konvergenz der Reihe kannst Du hier mittels Quotientenkriterium zeigen.
Gruß
Loddar
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Hey, ups, ja, meinte ja, dass es eine Nullfolge ist.. sorry, aber mit der quotientenregel komm ich gerad halt nicht so klar... :-/ soll ich mein bisheriges Ergebnis aufschreiben? Es ist aber ziemlich wüst und ich glaub nicht, dass das richtig ist..
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Hallo,
> Hey, ups, ja, meinte ja, dass es eine Nullfolge ist..
> sorry, aber mit der quotientenregel komm ich gerad halt
> nicht so klar... :-/ soll ich mein bisheriges Ergebnis
> aufschreiben?
Logo, her damit
> Es ist aber ziemlich wüst und ich glaub
> nicht, dass das richtig ist..
So richtig wüst ist es eigentlich nicht...
Zur Sicherheit: du hast doch [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ [/mm] angesetzt ?
Aber zeig mal her...
Gruß
schachuzipus
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ok, also bei mir steht dann da jetzt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n³+2n²+3n+1)3^n}{3^{n+1}+n²}.. [/mm] aber daraus kann ich beim besten willen nicht erkennen, ob der limes davon jetzt größer oder kleiner gleich eins ist...:-/
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Uii,
bloß nie nimmer nicht ausmultiplizieren. Es lässt sich so schön vereinfachen, wenn du die Potenzgesetze benutzt
> ok, also bei mir steht dann da jetzt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n³+\red{3}n²+3n+1)3^n}{3^{n+1}\red{\cdot{}}n^{\red{3}}..[/mm]
> aber daraus kann ich beim besten willen nicht erkennen, ob
> der limes davon jetzt größer oder kleiner gleich eins
> ist...:-/
[mm] $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{\frac{(n+1)^3}{3^{n+1}}}{\frac{n^3}{3^n}}=\frac{\green{(n+1)^3}}{3\cdot{}\blue{3^n}}\cdot{}\frac{\blue{3^n}}{\green{n^3}}=\frac{1}{3}\cdot{}\left(\frac{n+1}{n}\right)^3$
[/mm]
Und das strebt nun für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen....
LG
schachuzipus
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Guten Morgen! Dankeschön, also strebt es gegen [mm] \bruch{1}{3} [/mm] und ist damit <1 und somit konvergent. Ist natürlich schlauer, dass so umzustellen ! Aber mir ist noch zu der Aufgabe mit dem Vergleichskriterium aufgefallen, dass es sich widerspricht. Du hast die Begründung ja mit 2n<n² begonnen, aber dies gilt doch nicht für n =1, denn da würde dann stehen, 2<1 und das stimmt ja nicht. Wenn man das für die Folge ausprobiert so funktioniert das dort auch nicht und immer das Glied mit n =1 fällt aus der Reihe. Da bei dem Vergleichskriterium aber doch die Reihe nur divergiert, wenn jedes Glied größer oder gleich dem entsprechenden Glied einer bekannten divergenten Reihe ist, ist das doch ein Widerspruch, oder? Habe ich damit denn dann wirklcih die Divergenz bewiesen?
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Hallo,
> Guten Morgen! Dankeschön, also strebt es gegen [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> und ist damit <1 und somit konvergent. Ist natürlich
> schlauer, dass so umzustellen ! Aber mir ist noch zu der
> Aufgabe mit dem Vergleichskriterium aufgefallen, dass es
> sich widerspricht. Du hast die Begründung ja mit 2n<n²
> begonnen, aber dies gilt doch nicht für n =1, denn da würde
> dann stehen, 2<1 und das stimmt ja nicht.
gut aufgepasst !
> Wenn man das für
> die Folge ausprobiert so funktioniert das dort auch nicht
> und immer das Glied mit n =1 fällt aus der Reihe. Da bei
> dem Vergleichskriterium aber doch die Reihe nur divergiert,
> wenn jedes Glied größer oder gleich dem entsprechenden
> Glied einer bekannten divergenten Reihe ist, ist das doch
> ein Widerspruch, oder? Habe ich damit denn dann wirklcih
> die Divergenz bewiesen?
Du kannst immer endlich viele Summanden aus einer Reihe rausnehmen, das ändert am Konvergenzverhalten nichts, denn eine Summe mit endlich vielen Summanden ist immer endlich, du nimmst also nur einen endlichen Teil aus der Reihe weg.
Die obige Abschätzung gilt in der Tat nur für $n>2$
Also schreib für beide Summen nicht [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}...$ [/mm] sondern [mm] $\sum\limits_{n=3}^{\infty}...$
[/mm]
LG
schachuzipus
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Also, m uss nicht jedes Glied größer oder gleich sein? Aber so besagt es doch dann die Regel'*verwirrtsei* Wenn ich einfach [mm] \summe_{n=3}^{\infty} [/mm] ... nehme, ist dann wirklich auch noch bewiesen dass die summe mit n = 1 divergent ist? Wenn ich jetzt deine Definition verstanden habe, so gilt es für Konvergenz, dass jedes Glied kleiner oder gleich ist, aber nicht für Divergenz?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 Mi 28.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
divergent heisst doch dass die Summe gegen unendlich geht.
Wenn du 2 Reihen hast, die in den ersten 20000000 Summanden NICHT vergleichbar sind, dann ist aber die Summe dieser 2000000 Summanden garantiert ne endliche Zahl! Um die muss man sich also nicht kümmern!
Nur das hintere Ende der Reihe ist für die Konvergenz interessant!
Also musst du auch nur das hintere Ende vergleichen! ob das bei 3 oder [mm] 3*10^{777} [/mm] anfängt ist völlig uninteressant für die Konvergenz.
Nur wenn du nicht nur die Konvergenz beweisen willst, sondern auch die Summe wirklich bestimmen musst kommt es auf die ersten Summanden natürlich auch an.
Gruss leduart
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