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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz unendlicher Reihen
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Konvergenz unendlicher Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:50 Fr 25.04.2008
Autor: Reicheinstein

Aufgabe
Entscheiden Sie, welche der folgenden Reihen konvergieren.

Hallo,

eigentlich gehts nur zweitrangig um konvergenz. Ich soll folgende Reihe auf Konvergenz überprüfen:

[Dateianhang nicht öffentlich]

So, meine frage: was haben die komischen punkte im nenner zu bedeuten?? sowas hab ich noch nie gesehen...



Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Konvergenz unendlicher Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:04 Fr 25.04.2008
Autor: MathePower

Hallo Reicheinstein,

> Entscheiden Sie, welche der folgenden Reihen konvergieren.
>  Hallo,
>  
> eigentlich gehts nur zweitrangig um konvergenz. Ich soll
> folgende Reihe auf Konvergenz überprüfen:
>  
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  
> So, meine frage: was haben die komischen punkte im nenner
> zu bedeuten?? sowas hab ich noch nie gesehen...
>
>  

Da ist nicht anderes  als das Produkt der ersten k ungeraden Zahlen zu bilden.

Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Konvergenz unendlicher Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:18 Fr 25.04.2008
Autor: Reicheinstein

hm, danke erstma für die schnelle antwort. aber was sollen die ersten k ungeraden zahlen sein? nur 1 und 3? das sieht doch na ner fakultät aller ungeraden zahlen aus... (2k-1)! für k=1 -> [mm] \infty [/mm] vllt?

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz unendlicher Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:32 Fr 25.04.2008
Autor: Hugo_Sanchez-Vicario

Hallo Reicheinstein,

> hm, danke erstma für die schnelle antwort. aber was sollen
> die ersten k ungeraden zahlen sein? nur 1 und 3?

Aber nein, 1 und 3 sind nur die ersten beiden (also die ersten zwei) ungeraden Zahlen.

Die ersten drei ungeraden Zahlen sind dann 1, 3, 5.

Die ersten 8 ungeraden Zahlen sind 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15.

Die erste (1-te) ungerade Zahl ist 1,
die zweite (2-te) ungerade Zahl ist 3,
die dritte (3-te) ungerade Zahl ist 5,
die 4-te ungerade Zahl ist 7,
die 5-te ungerade Zahl ist 9 und so weiter...

Wie du sicher feststellst, ist
die 5 um genau 1 weniger als das Doppelte von 3,
die 7 um genau 1 weniger als das Doppelte von 4,
die 9 um genau 1 weniger als das Doppelte von 5.

Deswegen kann man sagen, dass die k-te ungerade Zahl (sehr wahrscheinlich) dann auch um 1 kleiner ist als das Doppelte von k. In Formeln ist die k-te ungerade Zahl also gleich $2k-1$. Die ersten k ungeraden Zahlen sind also 1, 3, 5, blablabla, 2k-1.

> doch na ner fakultät aller ungeraden zahlen aus... (2k-1)!

$(2k-1)!$ ist das Produkt aller Zahlen von 1 bis (2k-1). Du willst jedoch nur die ungeraden. Man kann das zwar als Ausdruck mit Fakultäten schreiben, aber nicht so leicht wie du. Aber mal langsam.

Das Produkt der ersten 5 ungeraden Zahlen ist [mm] $1\cdot3\cdot5\cdot7\cdot9$. [/mm]
Das Produkt der ersten 8 ungeraden Zahlen ist [mm] $1\cdot3\cdot\dots\cdot15.$ [/mm]
Ich habe hier (wie die meisten anderen) keine Lust, alle Zahlen hinzuschreiben. Daher die Punkte. Der Sprung von 1 nach 3 am Anfang zeigt an, dass nur ungerade Zahlen im Produkt vorkommen sollen.

Jetzt noch zu den Fakultäten:
Man kann
[mm] $1\cdot3\cdot5\cdot7\cdot9\cdot11=\frac{11!}{2^5\cdot5!}$ [/mm]
oder allgemein
[mm] $1\cdot3\cdot(2k-1)=\frac{(2k-1)!}{2^k\cdot k!}$ [/mm]
schreiben. Es ist aber nicht erforderlich, dass du das jetzt nachvollziehen kannst.

Hugo


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Konvergenz unendlicher Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:52 Fr 25.04.2008
Autor: Reicheinstein

danke für deine ausführliche antwort.

also ich hab immer noch n denkfehler bei den fakultäten, aber das is nich so wichtig. meine frage is ja beantwortet. ich nehme dann also an, dass die 1*3 irgendwie überflüssig is? also bleibt dann im nenner nur (2k-1) stehen?

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Konvergenz unendlicher Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:58 Fr 25.04.2008
Autor: abakus


> danke für deine ausführliche antwort.
>
> also ich hab immer noch n denkfehler bei den fakultäten,
> aber das is nich so wichtig. meine frage is ja beantwortet.
> ich nehme dann also an, dass die 1*3 irgendwie überflüssig
> is? also bleibt dann im nenner nur (2k-1) stehen?  

Wieso denn?
Der Nenner heißt  1*3*5*7*9*  (und so weiter, dafür stehen die 3 Punkte...) bis zu dem letzten ungeraden Faktor. Insgesamt sind es k solcher ungeraden Faktoren.
Wenn z.B. k=10 wäre, hättest du das Produkt aller ungeraden Zahlen von 1 bis 19.
Gruß Abakus


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Konvergenz unendlicher Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:16 Fr 25.04.2008
Autor: Reicheinstein

dann versteh ich aber immernoch nich, wie ich das dann rechnen soll! wie soll ich denn mit 1*3*...*(2k-1) rechnen?

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Konvergenz unendlicher Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:22 Fr 25.04.2008
Autor: Marcel

Hallo,

> dann versteh ich aber immernoch nich, wie ich das dann
> rechnen soll! wie soll ich denn mit 1*3*...*(2k-1) rechnen?

hast Du den Link mit dem Produktzeichen unten verstanden? Hier kannst Du z.B., wie bereits unten angedeutet, über das Quotientenkriterium gehen, die Rechnung mit "Pünktchen" sähe dann so aus:  

[mm] $\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\frac{(k+1)!}{\blue{1*3*...*(2k-1)}*(2(k+1)-1)}*\frac{\blue{1*3*...*(2k-1)}}{k!}=\frac{(k+1)!}{k!}*\frac{1}{2(k+1)-1}=\frac{k+1}{2k+1}$ [/mm]

Gruß,
Marcel

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Konvergenz unendlicher Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:32 Fr 25.04.2008
Autor: Reicheinstein

hm, werd mich dann mal durch die aufgabe wurschteln

vielen dank

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Konvergenz unendlicher Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:03 Fr 25.04.2008
Autor: Marcel

Hallo,

guck' auch mal hier rein:

https://matheraum.de/read?i=397747

Deine Reihe ist

[mm] $\sum_{k=1}^\infty a_k$, [/mm] wobei

[mm] $a_k=\frac{(-1)^k\cdot{}k!}{\produkt_{j=1}^{k}(2j-1)}$ [/mm]

D.h.:

[mm] $a_1=\frac{(-1)\cdot{}1!}{1}$ [/mm]

[mm] $a_2=\frac{(-1)^2\cdot{}2!}{1*3}$ [/mm]

[mm] $a_3=\frac{(-1)^3\cdot{}3!}{1*3*5}$ [/mm]

[mm] $a_4=\frac{(-1)^4\cdot{}4!}{1*3*5*7}$ [/mm]

[mm] $a_5=\frac{(-1)^5\cdot{}5!}{1*3*5*7*9}$ [/mm]
.
.
.

D.h., es geht um die Frage, ob der Grenzwert

[mm] $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+...=\frac{(-1)\cdot{}1!}{1}+\frac{(-1)^2\cdot{}2!}{1*3}+\frac{(-1)^3\cdot{}3!}{1*3*5}+\frac{(-1)^4\cdot{}4!}{1*3*5*7}+\frac{(-1)^5\cdot{}5!}{1*3*5*7*9}+...$ [/mm]

existiert (als Grenzwert der Folge der Partialsummen [mm] $(s_n)_n$, [/mm] wobei [mm] $s_n:=\sum_{k=1}^n a_k$ [/mm] mit den [mm] $a_k$ [/mm] von oben).

Gruß,
Marcel

Bezug
        
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Konvergenz unendlicher Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:42 Fr 25.04.2008
Autor: Marcel

Hallo,

> Entscheiden Sie, welche der folgenden Reihen konvergieren.
>  Hallo,
>  
> eigentlich gehts nur zweitrangig um konvergenz. Ich soll
> folgende Reihe auf Konvergenz überprüfen:
>  
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  
> So, meine frage: was haben die komischen punkte im nenner
> zu bedeuten?? sowas hab ich noch nie gesehen...

kennst Du denn das Produktzeichen? Damit läßt sich Deine Reihe so schreiben:

[mm] $\sum_{k=1}^\infty \left(\frac{(-1)^k*k!}{\produkt_{j=1}^{k}(2j-1)}\right)$ [/mm]

Ggf. schau mal hier in Definition 2.6 nach

[]http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdfEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)



P.S.:
Als Tipp zur Aufgabe:
$\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\frac{(k+1)!}{\produkt_{j=1}^{k+1}(2j-1)}}*\frac{\produkt_{j=1}^{k}(2j-1)}{k!}=\frac{k+1}{2k+1}$

Was will ich Dir damit wohl sagen? ;-)

Gruß,
Marcel

Bezug
                
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Konvergenz unendlicher Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:06 Fr 25.04.2008
Autor: Reicheinstein

in bearbeitung...moment bitte
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Konvergenz unendlicher Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:12 Fr 25.04.2008
Autor: Marcel

Hallo,

ja, ich wollte Dir eigentlich sogar sagen, dass die Reihe nach dem Quotientenkriterium sogar absolut konvergiert und damit insbesondere auch konvergent ist.

Allerdings solltest Du dazu beachten:
Wegen [mm] $\lim_{k \to \infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\frac{1}{2}$ [/mm] ist insbesondere auch [mm] $\limsup_{k \to \infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\frac{1}{2} [/mm] < 1$, und damit folgt die (absolute) Konvergenz nach dem Quotientenkriterium (Version mit [mm] $\limsup...$, [/mm] sollte sie Dir nicht geläufig sein, frage bitte nochmal nach).

P.S.:
Die Konvergenz der Reihe kann man auch alleine mit Leibnizkriterium zeigen, wenn man die [mm] $|a_k|$ [/mm] geeignet nach oben abschätzt und damit zeigt, dass [mm] $(|a_k|)_k$ [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist...

Gruß,
Marcel

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Konvergenz unendlicher Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:15 Fr 25.04.2008
Autor: Reicheinstein

sry, hab hier irgendwie mist gebaut. meine alte frage war schon richtig... sry

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Konvergenz unendlicher Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:18 Fr 25.04.2008
Autor: Reicheinstein

also was limsup is...ka, hatten wir noch nich. und was du mit geeignet nach oben abschätzen meinst auch nich. aber musst du mir auch nich erklären. wie du willst ;) bekommen wir vllt noch, also das mit limsup bestimmt...

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Konvergenz unendlicher Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:26 Fr 25.04.2008
Autor: Marcel

Hallo,

wenn das mit dem [mm] $\limsup$ [/mm] nicht bekannt ist:
Wegen [mm] $\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| \to \frac{1}{2}$ [/mm] gibt es zu [mm] $\varepsilon=\frac{1}{4}$ [/mm] ein [mm] $K=K_\varepsilon$, [/mm] so dass

[mm] $\frac{1}{2}-\varepsilon [/mm] < [mm] \left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| <\frac{1}{2}+\varepsilon=\frac{3}{4}$ [/mm] für alle $k [mm] \ge [/mm] K$.

Also:
Wegen [mm] $\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| <\frac{3}{4}$ [/mm] für alle $k [mm] \ge [/mm] K$

folgt die (sogar absolute) Konvergenz der Reihe nach dem Quotientenkriterium.

Gruß,
Marcel

Bezug
                                                
Bezug
Konvergenz unendlicher Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:30 Fr 25.04.2008
Autor: Reicheinstein

hm ok, danke. ich werds mir mal in ruhe anschaun, vllt versteh ichs dann...sonst meld ich mich wieder :)

nochmals vielen dank

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