Konvergenz von Folge zeigen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:10 So 12.12.2004 | | Autor: | michael7 |
Hallo,
gibt es einen einfachen Weg zu zeigen, dass
[mm]\sqrt[n]{n} \to 1[/mm]?
Ich finde keinen Ansatz, der irgendwie halbwegs erfolgsversprechend aussieht.
Bin fuer jeden Tipp dankbar!
Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 So 12.12.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo Michael,
ich nehme an, Du suchst den Grenzwert [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} a_n$.
[/mm]
Schreib' Deine Folge doch mal folgendermaßen um:
[mm] $a_n [/mm] = [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] = [mm] n^{\bruch{1}{n}} [/mm] = [mm] e^{\bruch{1}{n}*ln(n)}$
[/mm]
Genügt das als Ansatz bzw. kommst Du nun alleine klar?
Grüße Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 So 12.12.2004 | | Autor: | michael7 |
Hallo Loddar,
> ich nehme an, Du suchst den Grenzwert
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm].
ja, genau.
> Schreib' Deine Folge doch mal folgendermaßen um:
>
> [mm]a_n = \wurzel[n]{n} = n^{\bruch{1}{n}} = e^{\bruch{1}{n}*ln(n)}[/mm]
>
> Genügt das als Ansatz bzw. kommst Du nun alleine klar?
Der Exponent ist nun ein Bruch [mm]b := \frac{ln(n)}{n}[/mm], der gegen 0 konvergiert. Von daher muss [mm]e^b[/mm] gegen 1 konvergieren. Richtig?
Falls ja, wie kann ich dann aber zeigen, dass [mm]b[/mm] auch wirklich gegen 0 geht, also [mm]n[/mm] viel schneller waechst als [mm]ln(n)[/mm]?
Danke, Michael
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 So 12.12.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo Michael,
> Der Exponent ist nun ein Bruch [mm]b := \frac{ln(n)}{n}[/mm], der
> gegen 0 konvergiert. Von daher muss [mm]e^b[/mm] gegen 1
> konvergieren. Richtig?
Genau!!
> Falls ja, wie kann ich dann aber zeigen, dass [mm]b[/mm] auch
> wirklich gegen 0 geht, also [mm]n[/mm] viel schneller waechst als
> [mm]ln(n)[/mm]?
Wenn Du Dir nun den Ausdruck [mm] $\bruch{ln(n)}{n}$ [/mm] ansiehst für [mm] $n\rightarrow\infty$, [/mm] entsteht doch ein Ausdruck: [mm] $\bruch{\infty}{\infty}$.
[/mm]
In diesem Fall darfst Du doch die Regel nach de l'Hospital anwenden, die da lautet (ich hoffe, diese Regel ist Dir bekannt bzw. Du "darfst" sie verwenden):
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{f(n)}{g(n)} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{f'(n)}{g'(n)}$.
[/mm]
Nun alle Klarheiten beseitigt und die weiteren Schritte klar??
LG Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 So 12.12.2004 | | Autor: | michael7 |
Hallo Loddar,
> Wenn Du Dir nun den Ausdruck [mm]\bruch{ln(n)}{n}[/mm] ansiehst für
> [mm]n\rightarrow\infty[/mm], entsteht doch ein Ausdruck:
> [mm]\bruch{\infty}{\infty}[/mm].
>
> In diesem Fall darfst Du doch die Regel nach de l'Hospital
> anwenden, die da lautet (ich hoffe, diese Regel ist Dir
> bekannt bzw. Du "darfst" sie verwenden):
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{f(n)}{g(n)} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{f'(n)}{g'(n)}[/mm].
oh, nett. Dann waere die Sache natuerlich klar. Leider hatten wir die Regel in der Vorlesung noch nicht, da wir auch noch keine Differentialrechnung hatten. Gibt es noch einen anderen ("direkten") Weg?
Michael
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:12 So 12.12.2004 | | Autor: | Loddar |
Das hatte ich ja fast befürchtet, daß die Regel nach de l'Hospital (vorerst) nicht angewandt werden darf.
Aber spontan fällt mir kein "direkter" Weg ein ... ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
LG Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 So 12.12.2004 | | Autor: | Nilez |
Hallo!
Hab mir folgendes zusammengereimt:
[mm] n=(1+(\wurzel[n]{n}- 1))^{n} [/mm] = (Binomischer Lehrsatz)
[mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}* (\wurzel[n]{n}- 1)^{k}* 1^{n-k}
[/mm]
[mm] \ge\vektor{n \\ 2}*(\wurzel[n]{n}- 1)^{2} [/mm]
... also einfach für k=2 eingesetzt (das muss für eine Abschätzung nach unten einfach passen)
= [mm] \bruch{n(n-1)}{2}*(\wurzel[n]{n}- 1)^{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow n\ge \bruch{n(n-1)}{2}*(\wurzel[n]{n}- 1)^{2}
[/mm]
(n wird gekürzt...)
[mm] \bruch{2}{n-1} \ge(\wurzel[n]{n}- 1)^{2} \ge0
[/mm]
...Einschließungskriterium, wobei die Abschätzung nach oben gegen 0 geht.
[mm] \Rightarrow (\wurzel[n]{n}-1)^{2} \to0
[/mm]
[mm] \Rightarrow (\wurzel[n]{n}-1) \to0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \wurzel[n]{n} \to1
[/mm]
Hilft dir das was?
Liebe Grüße,
Nilez
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:45 Mi 15.12.2004 | | Autor: | michael7 |
Hallo Nilez,
etwas spaete Antwort...
> = [mm]\bruch{n(n+1)}{2}*(\wurzel[n]{n}- 1)^{2}
[/mm]
Muesste das nicht [mm]\frac{n(n-1)}{2}*\ldots[/mm] heissen?
> Hilft dir das was?
ja, vielen Dank!
Michael
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