Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:31 Do 10.07.2014 | | Autor: | Gina2013 |
| Aufgabe | Sei [mm] (a_{n}) [/mm] eine nach oben beschränkte Folge reeller Zahlen und [mm] b_{n}:=sup\{a_{1}, a_{2}, ....., a_{n}}).
[/mm]
a) zeigen Sie, dass die Folge [mm] (b_{n}) [/mm] konvergiert
b) zeigen Sie, dass gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}=sup \{a_{n} | n \in \IN\} [/mm] |
Einen schönen guten Abend,
wollte nur gerne wissen, ob ich auf dem richtigen Weg bin.
a) da die Folge [mm] (a_{n}) [/mm] eine Cauchy-Folge ist, was aus der Vollständigkeitsaxiom folgt, dann ist sie konvergent.
Sei [mm] (b_{n})=(b_{1},......., b_{n}) [/mm] eine Folge mit [mm] b_{n}=sup \{b_{n} | n \in \IN\}, [/mm] d.h. [mm] (b_{n}) [/mm] ist nach oben beschränkt [mm] \Rightarrow [/mm] ist eine Cauchy Folge [mm] \Rightarrow [/mm] konvergiert.
Bin am zweifeln, dass es so stimmt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:01 Fr 11.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm](a_{n})[/mm] eine nach oben beschränkte Folge reeller
> Zahlen und [mm]b_{n}:=sup\{a_{1}, a_{2}, ....., a_{n}}).[/mm]
> a)
> zeigen Sie, dass die Folge [mm](b_{n})[/mm] konvergiert
> b) zeigen Sie, dass gilt
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}b_{n}=sup \{a_{n} | n \in \IN\}[/mm]
>
> Einen schönen guten Abend,
> wollte nur gerne wissen, ob ich auf dem richtigen Weg
> bin.
> a) da die Folge [mm](a_{n})[/mm] eine Cauchy-Folge ist,
Das ist i.a. falsch ! Z.B. ist [mm] a_n=(-1)^n [/mm] nach oben beschränkt, aber keine Cauchyfolge, also auch nicht konvergent .
was aus der
> Vollständigkeitsaxiom folgt, dann ist sie konvergent.
Nein.
> Sei [mm](b_{n})=(b_{1},......., b_{n})[/mm] eine Folge mit
> [mm]b_{n}=sup \{b_{n} | n \in \IN\},[/mm]
Was Du da schreibst ist völlig sinnlos !
> d.h. [mm](b_{n})[/mm] ist nach oben
> beschränkt [mm]\Rightarrow[/mm] ist eine Cauchy Folge [mm]\Rightarrow[/mm]
> konvergiert.
> Bin am zweifeln, dass es so stimmt.
Du zweifelst zu recht.
[mm] (b_n) [/mm] ist so definiert:
$ [mm] b_{n}:=sup\{a_{1}, a_{2}, ....., a_{n}}). [/mm] $
Zeige: [mm] (b_n) [/mm] ist nach oben beschränkt und mon. wachsend.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Fr 11.07.2014 | | Autor: | Gina2013 |
[mm] (b_{n}) [/mm] ist nach oben beschränkt, wenn es ein c gibt aus [mm] \IR [/mm] mit [mm] b_{n}\le [/mm] c und monoton steigend, falls [mm] b_{n} \le b_{n+1}, [/mm] aber [mm] b_{n} [/mm] ist ja Supremum von [mm] (a_{n}). [/mm] Heißt das, dass [mm] (b_{n}) \le [/mm] dem selben c ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 Fr 11.07.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] a_n [/mm] ist beschränkt. wie groß ist dann [mm] b_n [/mm] maximal?
was meinst du mit "demselben c" wenn du das c mit [mm] a_n\less=c [/mm] meinst ist das richtig, aber du musst sagen warum.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Fr 11.07.2014 | | Autor: | Gina2013 |
n-te Glied von der Folge [mm] (a_{n}) [/mm] ist ja die kleinste obere Schranke, da die Folge nach oben beschränkt ist und ist gleich [mm] b_{n}. [/mm] Da [mm] b_{n}=Supremum, [/mm] und c=obere Schranke.
Ich nehme an, dass in der Aufgabe, [mm] b_{n} [/mm] ist keine Folge sondern nur n-te Folgenglied. Und [mm] (b_{n}) [/mm] ist eine Folge.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:59 Sa 12.07.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Niemand hat gesagt, dass die Folge monoton ist! nur wenn sie monoton steigend ist, ist [mm] a_n [/mm] das [mm] sup/a_1,...a_n)
[/mm]
aber wenn die Folge { [mm] a_n} [/mm] beschränkt durch c ist ist [mm] sup(a_1...a_k)\leq [/mm] c für alle [mm] k\in \IN
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 Sa 12.07.2014 | | Autor: | Gina2013 |
Ich weiß wirklich nicht, wie ich zeigen soll, dass [mm] (b_{n}) [/mm] konvergent ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:59 Sa 12.07.2014 | | Autor: | hippias |
Du hast genau die richtige Idee gehabt: 1. Zeige, dass die Folge $b:= [mm] (b_{n})_{n\in \IN}$ [/mm] beschraenkt ist. 2. Zeige, dass $b$ monoton wachsend ist. Dann ist $b$ konvergent, wie Du richtig gesagt hast.
Die Beschraenktheit von $b$ ergibt sich aus der von $a$. Die Monotonie folgt aus der Definition von $sup$, denn wenn man eine Menge vergroessert, kann sich das Maximum ueber der Menge nicht verkleinern.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 Sa 12.07.2014 | | Autor: | Gina2013 |
DAnke Hippias,
b ist ja beschränkte Folge, aber warum sollte sie monoton sein?
Sie hat nach Bolzano-Weierstraß einen Häufungswert.
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Mach doch einfach einmal ein Beispiel: Betrachte die Folge [mm]\left( a_n \right)_{n \geq 1}[/mm] mit [mm]a_n = (-1)^n - \frac{1}{n}[/mm]. Das wäre also
[mm]\left( a_n \right) = \left( -2, \frac{1}{2}, -\frac{4}{3}, \frac{3}{4}, -\frac{6}{5}, \frac{5}{6}, -\frac{8}{7}, \ldots \right)[/mm]
Diese Folge ist offenbar beschränkt.
Und jetzt bilden wir daraus die Folge [mm]\left( b_n \right)_{n \geq 1}[/mm] gemäß der angegebenen Vorschrift. Man erhält
[mm]\left( b_n \right) = \left( -2, \frac{1}{2} , \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{3}{4}, \frac{5}{6}, \frac{5}{6}, \ldots \right)[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:55 Sa 12.07.2014 | | Autor: | Gina2013 |
Die Folge [mm] a_{n} [/mm] ist sowohl nach unten als auch nach oben beschränkt. dann wäre [mm] b_{n}=1, [/mm] da 1 ist die obere Schranke.
In diesem Beispiel [mm] (a_{n}) [/mm] ist nicht monoton, aber [mm] (b_{n}) [/mm] ist monoton fallende Folge und auch beschränkt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:22 Sa 12.07.2014 | | Autor: | hippias |
> Die Folge [mm]a_{n}[/mm] ist sowohl nach unten als auch nach oben
> beschränkt.
Ja.
> dann wäre [mm]b_{n}=1,[/mm] da 1 ist die obere
> Schranke.
Das ist falsch und ich kann mir auch nicht denken, worauf Du damit hinaus willst.
> In diesem Beispiel [mm](a_{n})[/mm] ist nicht monoton, aber [mm](b_{n})[/mm]
> ist monoton fallende Folge
Das ist doch falsch und nicht das, was Du zeigen willst.
> und auch beschränkt.
Ja.
Bleiben wir bei dem Beispiel [mm] $a_{n}= (-1)^{n}-\frac{1}{n}$:
[/mm]
[mm] $b_{1}= \sup\{-2\}= [/mm] -2$, [mm] $b_{2}= \sup\{-2, \frac{1}{2}\}= \frac{1}{2}$, $b_{3}= \sup\{-2, \frac{1}{2}, -\frac{4}{3}\}= \frac{1}{2}$, $b_{4}= \sup\{-2, \frac{1}{2}, -\frac{4}{3}, \frac{3}{4}\}= \frac{3}{4}$...
[/mm]
Wieso also waechst die Folge $b$? Warum ist [mm] $\sup\{a_{1},\ldots, a_{n}\}\leq \sup\{a_{1}, \ldots,a_{n}, a_{n+1}\}$ [/mm] fuer beliebige Folge $a$?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 Sa 12.07.2014 | | Autor: | Gina2013 |
Die Folge b wächst, weil es nur positive Folgenglieder hat und alle werden größer, als vorherige. Und sup von [mm] a_{n} \le a_{n+1} [/mm] folgt daraus, dass [mm] a_{n} [/mm] steigend ist?
aber [mm] (a_{n}) [/mm] ist ja nicht monoton oder warum ist dass falsch?
da -2 [mm] \le [/mm] 0,5; 0,5 > -1,3 usw folgt keine Monotonie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 Sa 12.07.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Folge {a–n} ist beschränkt, d.h. alle [mm] a_n
wenn man nun [mm] b_n=sup(a_1....a:n) [/mm] mit [mm] b_{n+1}=supa_1...a_n,a_{n+1} [/mm] vergleicht ist [mm] b_{n+1}\ge b_n [/mm] denn wenn [mm] a_{n+1}
damit hast du [mm] b_{n+1}\ge b_n [/mm] und [mm] b_n
Was du verwenden musst ist dass sup über mehr Elemente nicht kleiner werden kann,
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Sa 12.07.2014 | | Autor: | Gina2013 |
Hallo Leduard,
sup wird ja in dem Beispiel von Hippias nicht kleiner, aber wie zeige ich im Allgemeinen?
Gruß Gina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Sa 12.07.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ist eine EigesNchaft von sup, sup such IMMER den größten Wert raus!
Gruß leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Sa 12.07.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du willst Konvergenz und nicht nur einen HP
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:29 Sa 12.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Leduart,
> Hallo
> [mm]a_n[/mm] ist beschränkt. wie groß ist dann [mm]b_n[/mm] maximal?
> was meinst du mit "demselben c" wenn du das c mit
> [mm]a_n\less=c[/mm]
ich wollte nur drauf aufmerksam machen, dass man zwar
[mm] $a_n [/mm] = c$
liest, Du aber eigentlich (siehe Quelltext: [mm] [nomm]$a_n\less=c$[/nomm]) [/mm]
[mm] $a_n$ $\le$ $c\,$
[/mm]
geschrieben hast.
Gruß,
Marcel
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