Konvergenz von Folgen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 Di 15.11.2005 | | Autor: | Totobi |
Kann mir bitte jemand bei der folgenden Aufgabe helfen. Bekomme die einfach nicht hin.
Mit einer beliebigen positiven Zahl ainIR definiert man die drei Folgen (an), (bn) und (cn) durch:
[mm] an=\wurzel{n+a}-\wurzel{n}, bn=\wurzel{n+\wurzel{n}}-\wurzel{n},
[/mm]
[mm] cn=\wurzel{n+ \bruch{n}{a}}- \wurzel{n}
[/mm]
Zeigen Sie, dass für alle [mm] n
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> Kann mir bitte jemand bei der folgenden Aufgabe helfen.
> Bekomme die einfach nicht hin.
Hallo,
schade, daß Du nicht zeigst, bis wo Du gekommen bist.
Dann könnte ich Dir konkret helfen.
So kann ich leider nur recht allgemein etwas sagen.
>
> Mit einer beliebigen positiven Zahl a [mm] \in \IR [/mm] definiert man die
> drei Folgen [mm] (a_n), (b_n) [/mm] und [mm] (c_n) [/mm] durch:
> [mm]a_n=\wurzel{n+a}-\wurzel{n}, b_n=\wurzel{n+\wurzel{n}}-\wurzel{n},[/mm]
>
> [mm]c_n=\wurzel{n+ \bruch{n}{a}}- \wurzel{n}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass für alle [mm]n
> [mm] a_n>b_n>c_n [/mm] gilt, jedoch [mm] a_n[/mm] [mm]\to0,[/mm] [mm] b_n[/mm] [mm]\to \bruch{1}{2}[/mm] und [mm] c_n [/mm]
> [mm]\to \infty.[/mm]
Dies ist ein Spiel mit der Bedingung n < [mm] a^2. [/mm] Es ist deswegen [mm] \wurzel{n} [/mm] < a (a ist ja positiv), und daher kriegt man
[mm] a_n=\wurzel{n+a}-\wurzel{n}> \wurzel{n+\wurzel{n}}-\wurzel{n}=b_n [/mm] ...
>jedoch [mm] a_n[/mm] [mm]\to0,[/mm] [mm] b_n[/mm] [mm]\to \bruch{1}{2}[/mm] und [mm] c_n [/mm]
> [mm]\to \infty.[/mm]
Hier lohnt es sich, daß Du kurz innehältst und Dich fragst: muß ich mich wundern?
Zuerst die Abschätzung da oben, und die Grenzwerte sollen plötzlich "andersrum" sein?
Wenn Dir klar geworden ist, warum das kein Widerspruch und kein Grund zum Wundern ist, fang an.
Was mußt Du zeigen, wenn Du z.B. zeigen willst, daß [mm] a_n [/mm] gegen 0 konvergiert?
Daß Du zu vorgegebenem [mm] \varepsilon [/mm] >0 ein N [mm] \in \IN [/mm] findest mit
[mm] |a_n-0| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N.
So, nachdem geklärt ist, was zu tun ist, kannst Du ja anfangen.
Wenn Du nicht weiterkommst, melde Dich nochmal.
Gruß v. Angela
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