Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:41 So 02.07.2006 | | Autor: | xsara |
| Aufgabe | | Es sei [mm] (a_n)_n_ \ge_0 [/mm] eine monoton fallende relle Nullfolge in [mm] \IR. [/mm] Beweisen Sie: [mm] \summe_{n=0}^{\infty} i^na_n [/mm] konvergiert in [mm] \IC. [/mm] |
Hallo,
wie kann man dies für [mm] \IC [/mm] beweisen?
In [mm] \IR [/mm] gilt,
1. dass jede monotone Folge konvergiert bzw. eigentlich konvergiert,
2. es für die Konvergenz eine notwendige aber nicht hinreichende Bedinung ist, dass [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge ist und
3. [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^na_n [/mm] konvergiert, wenn [mm] a_n [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist.
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} i^na_n [/mm] kann man doch alternierend bzgl. des Real- und Imaginärteils auffassen, wobei die Folgen des Real- und Imaginärteils alternieren.
Für
n=4k gilt [mm] \summe_{n=0}^{\infty} i^na_n [/mm] = [mm] a_n
[/mm]
n=4k+1 gilt [mm] \summe_{n=0}^{\infty} i^na_n [/mm] = [mm] ia_n
[/mm]
n=4k+2 gilt [mm] \summe_{n=0}^{\infty} i^na_n [/mm] = [mm] -a_n
[/mm]
n=4k+3 gilt [mm] \summe_{n=0}^{\infty} i^na_n [/mm] = [mm] -ia_n.
[/mm]
Stimmt das soweit? Wie kann man die Konvergenz beweisen?
Vielen Dank!
xsara
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:06 So 02.07.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
> $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} i^na_n [/mm] $ kann man doch alternierend bzgl. des Real- und Imaginärteils auffassen, wobei die Folgen des Real- und Imaginärteils alternieren.
Eine sehr gute und richtige Idee! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Wenn mich nicht alles täuscht, denn reicht es zur Konvergenz einer Reihe im Komplexen zu zeigen, dass sowohl die Reihe der Real-, als auch die der Imaginärteile konvergiert. Der Grenzwert der ursprünglichen Reihe besitzt dann den Grenzwert der Realteil-Reihe als Realteil, den der Imaginärteil-Reihe als Imaginärteil.
Wenn du das weißt bzw. bewiesen hast, kannst du die Aufgabe genau so lösen, wie du es vorschlugst: du betrachtest die Folge der Realteile und die der Imaginärteile und wendest auf sie das Leibniz-Kriterium an.
Versuch's mal!
Liebe Grüße,
Hanno
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