Konvergenz von Potenzreihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:44 Mi 12.12.2007 | | Autor: | alexalex |
| Aufgabe | Aufgabe 1: Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten der folgenden Potenzreihen.
[mm] c)\summe_{k=0}^{\infty} \vektor{2k \\ k} x^{3k} [/mm]
[mm] d)\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^{k^{2}}}{k^{2}} [/mm] |
a) und b) habe ich bereits gelöst, aber bei c) und d) komm ich leider nicht weiter!
Ich habe bei der c) das Wurzelkriterium anzuwenden versucht, schaffe es aber nicht den Konvergenzradius zu bestimmen.
Bei der d) fällt mir gar nichts ein.
Ich wäre für Tipps zur Vorgehensweise sehr dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:52 Mi 12.12.2007 | | Autor: | alexalex |
Muss bei der d) im Nenner [mm] 2^{k} [/mm] heißen
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Hi,
ok, trotzdem Cauchy-Hadamard bei (d)
Berechne [mm] $\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k^2]{\left|\frac{1}{2^k}\right|}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Hallo alexalex,
bei der (c) würde ich eher das QK ansetzen und benutzen, dass [mm] $\vektor{n\\k}=\frac{n!}{k!\cdot{}(n-k)!}$ [/mm] ist
[mm] $\left|\frac{\vektor{2(k+1)\\k+1}\cdot{}x^{3(k+1)}}{\vektor{2k\\k}\cdot{}x^{3k}}\right|=\left|\frac{\vektor{2k+2\\k+1}\cdot{}x^{3k+3}}{\vektor{2k\\k}\cdot{}x^{3k}}\right|=|x^3|\cdot{}\frac{\frac{(2k+2)!}{(k+1)!\cdot{}(k+1)!}}{\frac{(2k)!}{k!\cdot{}k!}}=....$
[/mm]
Das fasse mal weitestgehend zusammen und kürze, wo es nur geht, dann lasse [mm] $k\to\infty$ [/mm] gehen und überlege, für welche $x$ die Reihe dann gem. dem Quotientenkriterium konvergiert
Bei der (d) würde ich mit dem Kriterium von Cauchy-Hadamard ansetzen.
Berechne [mm] $\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k^2]{\left|\frac{1}{k^2}\right|}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:24 Mi 12.12.2007 | | Autor: | alexalex |
Danke für die Ansätze, ich leg dann mal los!
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