Konvergenz von Potenzreihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzkreis folgender Potenzreihe:
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty}k*(2z)^k$
[/mm]
|
Ich bin an diese Aufgabe mit dem Wurzelkriterium rangegangen, dass ich schließlich stehen hatte (z ist meines Erachtens nach eine komplexe Zahl, also $z [mm] \in \IC$):
[/mm]
[mm] $a=\limes_{k\rightarrow\infty}(\wurzel[k]{k}* \wurzel[k]{(2z)^k}) [/mm] = 1*2z$
Den Konvergenzkreis berechne ich ja jetzt mit [mm] $\rho [/mm] = [mm] \bruch{1}{a} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1*2z}$
[/mm]
Mein Problem an dieser Stelle ist jetzt: was passiert mit dem $z$? Fällt dieses raus - sprich wird es durch eine gedachte $1$ ersetzt oder wird das $z$ zu 0. Bin etwas ratlos. Wie berechnet sich bei
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen, vielen Dank schon mal im Voraus.
Lg
hackbert
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Mo 02.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie den Konvergenzkreis folgender Potenzreihe:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}k*(2z)^k[/mm]
>
> Ich bin an diese Aufgabe mit dem Wurzelkriterium
> rangegangen, dass ich schließlich stehen hatte (z ist
> meines Erachtens nach eine komplexe Zahl, also [mm]z \in \IC[/mm]):
>
> [mm]a=\limes_{k\rightarrow\infty}(\wurzel[k]{k}* \wurzel[k]{(2z)^k}) = 1*2z[/mm]
Du solltest einige Beträge spendieren:
[mm]a=\limes_{k\rightarrow\infty}(\wurzel[k]{k}* \wurzel[k]{(2|z|)^k}) = 1*2|z|[/mm] = $2|z|$
Nach dem Wurzelkriterium konvergiert die Potenzreihe für $2|z|$ < 1, also für |z|<1/2
>
> Den Konvergenzkreis berechne ich ja jetzt mit [mm]\rho = \bruch{1}{a} = \bruch{1}{1*2z}[/mm]
????
Deine Potenzreihe:
$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}k\cdot{}2^kz^k [/mm] $
Setze mal [mm] $a_k [/mm] = [mm] k2^k$
[/mm]
Der Konvergenzradius der Potenzreihe ist dann: [mm] \bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{k2^k}} [/mm] = 1/2
FRED
>
> Mein Problem an dieser Stelle ist jetzt: was passiert mit
> dem [mm]z[/mm]? Fällt dieses raus - sprich wird es durch eine
> gedachte [mm]1[/mm] ersetzt oder wird das [mm]z[/mm] zu 0. Bin etwas ratlos.
> Wie berechnet sich bei
>
>
> Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen, vielen Dank schon mal
> im Voraus.
>
> Lg
>
> hackbert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 Mo 02.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen Sie den Konvergenzkreis folgender Potenzreihe:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}k*(2z)^k[/mm]
>
> Ich bin an diese Aufgabe mit dem Wurzelkriterium
> rangegangen, dass ich schließlich stehen hatte (z ist
> meines Erachtens nach eine komplexe Zahl, also [mm]z \in \IC[/mm]):
>
> [mm]a=\limes_{k\rightarrow\infty}(\wurzel[k]{k}* \wurzel[k]{(2z)^k}) = 1*2z[/mm]
>
> Den Konvergenzkreis berechne ich ja jetzt mit [mm]\rho = \bruch{1}{a} = \bruch{1}{1*2z}[/mm]
>
> Mein Problem an dieser Stelle ist jetzt: was passiert mit
> dem [mm]z[/mm]? Fällt dieses raus - sprich wird es durch eine
> gedachte [mm]1[/mm] ersetzt oder wird das [mm]z[/mm] zu 0. Bin etwas ratlos.
> Wie berechnet sich bei
>
>
> Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen, vielen Dank schon mal
> im Voraus.
>
> Lg
>
> hackbert
Du hast Fehler in der Vorgehensweise. Bei der Potenzreihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k (z-z_0)^k$ [/mm] erhält man mit dem Wurzelkriterium, dass diese jedenfalls für alle [mm] $\,z\,$ [/mm] mit
[mm] $$\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\underbrace{|a_n|\;|z-z_0|^n}_{=|a_n\,(z-z_0)^n|}}=|z-z_0|\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|} [/mm] < 1$$
konvergiert, und dass diese für alle [mm] $\,z\,$ [/mm] mit
[mm] $$\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|\;|z-z_0|^n}=|z-z_0|\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|} [/mm] > 1$$
divergiert.
Damit begründet sich ja gerade die Formel von Cauchy-Hadamard für den Konvergenzradius.
Bei Dir ist [mm] $z_0=0$:
[/mm]
Wenden wir auf [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}k*(2z)^k$ [/mm] das Wurzelkriterium an, so folgt:
Wenn [mm] $\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|n(2z)^n|}\begin{cases} <1, & \mbox{dann } \text{Konvergenz der Potenzreihe im Punkte }z \\ >1, & \mbox{dann Divergenz der Potenzreiche im Punkte }z \end{cases}\,.$
[/mm]
Damit gelangst Du wegen [mm] $\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|n(2z)^n|}=2|z|*\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{n}=2|z|*\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n}=2 [/mm] |z|$ zu dem gleichen Ergebnis, wie Fred oben direkt oben vermittels Cauchy-Hadamard angegeben hat.
Du siehst nämlich, dass [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}k*(2z)^k$ [/mm] für alle [mm] $\,z\,$ [/mm] mit $|z| [mm] \,<\, [/mm] 1/2$ konvergiert und für alle [mm] $\,z\,$ [/mm] mit $|z| [mm] \,>\, [/mm] 1/2$ divergiert, also ist $R=1/2$ der Konvergenzradius.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Okay vielen Dank euch beiden schon mal soweit, hat mir schon sehr viel gebracht. Jetzt sind aber noch ein paar weitere Fragen bei mir aufgetaucht:
(1) Kann man sagen:
Eine Potenzreihe konvergiert, entweder:
(a) bei [mm] $\rho [/mm] = 0$ nur für den Entwicklungspunkt
(b) auf der Kreisscheibe des Konvergenzkreises (ohne Rand)
(c) auf [mm] $\IR$ [/mm] bzw. [mm] $\IC$ [/mm] für [mm] $\rho [/mm] = [mm] \infty$
[/mm]
(2) Wenn man nochmal die Reihe von der ursprünglichen Frage nimmt und diese etwas abwandelt zu:
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty}k*(2(z-1))^k$
[/mm]
Meiner Meinung nach ist der Entwicklungspunkt bei [mm] $z_0 [/mm] = 1$;
und nach dem Wurzelkriterium konvergiert die Potenzreihe mit
[mm]\limes_{k\rightarrow\infty}(\wurzel[k]{k}* \wurzel[k]{(2*(|z|-1))^k} = 1*(2*(|z|-1))[/mm] = $2|z|-2$ für $2|z|-2 < 1$, also für [mm] $|z|<\bruch{3}{2}$.
[/mm]
Ich setze jetzt [mm] $a_k=k*2^k$. [/mm] Der Konvergenzradius der Potenzreihe ist dann: [mm] $\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{k2^k}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}$
[/mm]
Jetzt die eigentliche FRAGE: Kann man sagen, dass der Konvergenzradius [mm] $|z|-z_0$ [/mm] also [mm] $\bruch{3}{2}-1=\bruch{1}{2}$ [/mm] ist?
Hab jetzt einige Aufgaben gerechnet und mir is das irgendwie aufgefallen. Es würde ja auch zur
ursprünglichen Frage passen, bzw. die Frage würde die Vermutung bestätigen, nur war in diesem
Fall der Entwicklungspunkt 0.
Ich hoffe man versteht meine Fragen und freue mich auf eure Antworten und bedanke mich schonmal dafür.
Liebe grüße
hackbert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:30 Mo 02.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okay vielen Dank euch beiden schon mal soweit, hat mir
> schon sehr viel gebracht. Jetzt sind aber noch ein paar
> weitere Fragen bei mir aufgetaucht:
>
> (1) Kann man sagen:
>
> Eine Potenzreihe konvergiert, entweder:
> (a) bei [mm]\rho = 0[/mm] nur für den Entwicklungspunkt
> (b) auf der Kreisscheibe des Konvergenzkreises
> (ohne Rand)
> (c) auf [mm]\IR[/mm] bzw. [mm]\IC[/mm] für [mm]\rho = \infty[/mm]
wenn ihr mit [mm] $\rho$ [/mm] den Konvergenzradius bezeichnet, dann kann man das so sagen. Wozu das "entweder" oben gut sein sollte, weiß ich nicht, daher durchgestrichen. Aber ansonsten passt das. Wichtig ist halt im Falle [mm] $\rho \in (0,\infty)\,,$ [/mm] also $0 < [mm] \rho [/mm] < [mm] \infty\,,$ [/mm] dass man aufpasst, dass man i.a. keine Aussage über die Konvergenz der Potenzreihe auf dem Rand der Kreisscheibe (im Falle von [mm] $\IR$ [/mm] ist die Kreisscheibe einfach ein offenes Intervall) treffen kann.
> (2) Wenn man nochmal die Reihe von der ursprünglichen Frage
> nimmt und diese etwas abwandelt zu:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}k*(2(z-1))^k[/mm]
>
> Meiner Meinung nach ist der Entwicklungspunkt bei [mm]z_0 = 1[/mm];
Ja, noch besser würdest Du es schreiben als [mm] $\sum_{k=1}^\infty \underbrace{k*2^k}_{=:a_k}(z-\underbrace{1}_{=:z_0})^k\,.$
[/mm]
> und nach dem Wurzelkriterium konvergiert die Potenzreihe
> mit
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}(\wurzel[k]{k}* \wurzel[k]{(2*(|z|-1))^k} = 1*(2*(|z|-1))[/mm]
> = [mm]2|z|-2[/mm] für [mm]2|z|-2 < 1[/mm], also für [mm]|z|<\bruch{3}{2}[/mm].
Das sieht gut aus 
Edit:
Leider sieht es doch nicht gut aus. Du hättest oben [mm] $\sqrt[k]{|(2(z-1))|^k}=\sqrt[k]{2^k}*\sqrt[k]{|z-1|^k}=2|z-1|$ [/mm] berechnen müssen. Du hast anscheinend [mm] $|z-1|\,=\,|z|-1$ [/mm] geschrieben, was i.a. Unsinn ist. Es gilt zwar $|z|=|z-1+1| [mm] \le [/mm] |z-1|+|1|=|z-1|+1$ und damit $|z|-1 [mm] \le [/mm] |z-1|$ nach der Dreiecksungleichung, aber $|z|-1 [mm] \ge [/mm] |z-1|$ ist schon für [mm] $z\,=\,i$ [/mm] falsch.
Deine Potenzreihe konvergiert also für alle $z [mm] \in \{w \in \IC: |w-1| \le 1/2\}$ [/mm] (was auch eine (echte) Teilmenge von [mm] $\{w \in \IC: |w| \le 3/2\}$ [/mm] ist).
> Ich setze jetzt [mm]a_k=k*2^k[/mm]. Der Konvergenzradius der
> Potenzreihe ist dann:
> [mm]\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{k2^k}} = \bruch{1}{2}[/mm]
>
>
>
> Jetzt die eigentliche FRAGE: Kann man sagen, dass der
> Konvergenzradius [mm]|z|-z_0[/mm] also [mm]\bruch{3}{2}-1=\bruch{1}{2}[/mm]
> ist?
>
> Hab jetzt einige Aufgaben gerechnet und mir is das
> irgendwie aufgefallen. Es würde ja auch zur
> ursprünglichen Frage passen, bzw. die Frage würde
> die Vermutung bestätigen, nur war in diesem
> Fall der Entwicklungspunkt 0.
Das macht irgendwie keinen Sinn. Wieso ist bei Dir oben [mm] $|z|=3/2\,$? [/mm] Was wäre denn, wenn [mm] $z_0 \in \IC \setminus \IR$?
[/mm]
Und das [mm] $3/2-1=1/2\,$ [/mm] ist, dafür braucht man sicher keine Potenzreihentheorie 
Weiterhin wird i.a. [mm] $|z-z_0| \not=||z|-z_0|$ [/mm] und [mm] $|z-z_0| \not=|z|-z_0$ [/mm] gelten...
Mach' Dir mal klar, welche Aussage Dir der Konvergenzradius liefert und was das mit einem Kreis um [mm] $z_0$ [/mm] mit Radius [mm] $\rho$ [/mm] zu tun hat:
Wenn Du [mm] $\rho$ [/mm] berechnet hast, dann weißt Du, dass die Potenzreihe für alle [mm] $\,z\,$ [/mm] mit [mm] $|z-z_0| [/mm] < [mm] \rho$ [/mm] konvergiert und für alle [mm] $|z-z_0| [/mm] > [mm] \rho$ [/mm] divergiert.
In [mm] $\IC$ [/mm] ist [mm] $U_{\rho}(z_0):=\{z \in \IC:\;|z-z_0| < \rho\}$ [/mm] gerade die (offene) Kreisscheibe um [mm] $z_0$ [/mm] mit Radius [mm] $\rho\,,$ [/mm] für jedes [mm] $\,z$ [/mm] auf dieser offenen Kreisscheibe (also nicht auf deren Rand) konvergiert die Potenzreihe.
Wenn man nun ein $z [mm] \in \overline{U_{\rho}(z_0)}^{\,c}=\{z \in \IC: \;|z-z_0| > \rho\}$ [/mm] hat, dann weiß man, dass die Potenzreihe dort nicht konvergiert. Und für jedes $z [mm] \in \underbrace{\partial U_{\rho}(z_0)}_{=\overline{U_{\rho}(z_0)}\setminus U_\rho(z_0)}=\{z \in \IC:\;|z-z_0|=\rho\}$ [/mm] weiß man i.a. nicht so schnell, ob die Potenzreihe für dieses [mm] $\,z$ [/mm] konvergiert oder divergiert.
(Der Vollständigkeit halber [mm] $\overline{U_{\rho}(z_0)}=\{z \in \IC: |z-z_0| \le \rho\}\,.$)
[/mm]
Und wenn Du nun die Potenzreihe in $z=x [mm] \in \IR$ [/mm] betrachtest, sinnvollerweise schreiben wir dann auch [mm] $x_0$ [/mm] anstelle von [mm] $z_0\,,$ [/mm] so liefert Dir Cauchy-Hadamard, dass die Potenzreihe jedenfalls für alle [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \rho$ [/mm] konvergiert, also für alle [mm] $x\,$ [/mm] in dem offenen Intervall [mm] $(x_0-\rho, x_0+\rho)\,.$ [/mm] Und Divergenz der Potenzreihe liegt hier für alle $x [mm] \in \IR \setminus [x_0-\rho, x_0+\rho]$ [/mm] vor. Und Unklahrheit i.a. für [mm] $x=x_0+\rho$ [/mm] oder [mm] $x=x_0-\rho\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Okay.. Danke erstmals wieder für deine ausführliche Antwort; hab mir nochmals klargemacht was mit dem Konvergenzkreis gemeint ist. Ich würde es für das Komplexe kurz so zusammenfassen: Es ist ein Kreis auf dessen Kreisscheibe alle Zahlenpaare liegen für welche die Reihe konvergiert. Kann man das so sagen?
> > (2) Wenn man nochmal die Reihe von der ursprünglichen Frage
> > nimmt und diese etwas abwandelt zu:
> >
> > [mm]\summe_{k=1}^{\infty}k*(2(z-1))^k[/mm]
> >
> > Meiner Meinung nach ist der Entwicklungspunkt bei [mm]z_0 = 1[/mm];
>
> Ja, noch besser würdest Du es schreiben als
> [mm]\sum_{k=1}^\infty \underbrace{k*2^k}_{=:a_k}(z-\underbrace{1}_{=:z_0})^k\,.[/mm]
>
>
> > und nach dem Wurzelkriterium konvergiert die Potenzreihe
> > mit
> > [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}(\wurzel[k]{k}* \wurzel[k]{(2*(|z|-1))^k} = 1*(2*(|z|-1))[/mm]
> > = [mm]2|z|-2[/mm] für [mm]2|z|-2 < 1[/mm], also für [mm]|z|<\bruch{3}{2}[/mm].
>
> Das sieht gut aus
Ich setzt jetzt hier nochmal an und definiere [mm] \alpha=\bruch{3}{2}, [/mm] sprich für [mm] $\alpha$ [/mm] setze ich genau den Wert ein für den die Reihe nicht mehr konvergiert, da mit [mm] $|z|=\alpha$ [/mm] die Bedingung das z.B. $|z| < 3/2$, wie im o.g. Fall, nicht mehr erfüllt ist.
Wenn ich die Definitionen von dir unten nun richtig "um"interpretiere könnte der Nichtmathematiker doch einfach sagen:
[mm] $\rho [/mm] = [mm] \alpha-z_0$
[/mm]
Oder gehen bei solchen Aussagen den Mathematikern die Fußnägel runter? Sollte die Antwort auf diese Frage in deinem Text unten zu finden sein, dann tut mir die Frage leid, aber ich bin dann wohl nicht in der Lage die Antwort aus dem Text zu extrahieren
>
> > Ich setze jetzt [mm]a_k=k*2^k[/mm]. Der Konvergenzradius der
> > Potenzreihe ist dann:
> > [mm]\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{k2^k}} = \bruch{1}{2}[/mm]
>
> >
> >
> >
> > Jetzt die eigentliche FRAGE: Kann man sagen, dass der
> > Konvergenzradius [mm]|z|-z_0[/mm] also [mm]\bruch{3}{2}-1=\bruch{1}{2}[/mm]
> > ist?
> >
>
> Das macht irgendwie keinen Sinn. Wieso ist bei Dir oben
> [mm]|z|=3/2\,[/mm]? Was wäre denn, wenn [mm]z_0 \in \IC \setminus \IR[/mm]?
>
> Und das [mm]3/2-1=1/2\,[/mm] ist, dafür braucht man sicher keine
> Potenzreihentheorie
> Weiterhin wird i.a. [mm]|z-z_0| \not=||z|-z_0|[/mm] und [mm]|z-z_0| \not=|z|-z_0[/mm]
> gelten...
>
> Mach' Dir mal klar, welche Aussage Dir der Konvergenzradius
> liefert und was das mit einem Kreis um [mm]z_0[/mm] mit Radius [mm]\rho[/mm]
> zu tun hat:
> Wenn Du [mm]\rho[/mm] berechnet hast, dann weißt Du, dass die
> Potenzreihe für alle [mm]\,z\,[/mm] mit [mm]|z-z_0| < \rho[/mm] konvergiert
> und für alle [mm]|z-z_0| > \rho[/mm] divergiert.
>
> In [mm]\IC[/mm] ist [mm]U_{\rho}(z_0):=\{z \in \IC:\;|z-z_0| < \rho\}[/mm]
> gerade die (offene) Kreisscheibe um [mm]z_0[/mm] mit Radius [mm]\rho\,,[/mm]
> für jedes [mm]\,z[/mm] auf dieser offenen Kreisscheibe (also nicht
> auf deren Rand) konvergiert die Potenzreihe.
> Wenn man nun ein [mm]z \in \overline{U_{\rho}(z_0)}^{\,c}=\{z \in \IC: \;|z-z_0| > \rho\}[/mm]
> hat, dann weiß man, dass die Potenzreihe dort nicht
> konvergiert. Und für jedes [mm]z \in \underbrace{\partial U_{\rho}(z_0)}_{=\overline{U_{\rho}(z_0)}\setminus U_\rho(z_0)}=\{z \in \IC:\;|z-z_0|=\rho\}[/mm]
> weiß man i.a. nicht so schnell, ob die Potenzreihe für
> dieses [mm]\,z[/mm] konvergiert oder divergiert.
>
> (Der Vollständigkeit halber [mm]\overline{U_{\rho}(z_0)}=\{z \in \IC: |z-z_0| \le \rho\}\,.[/mm])
>
> Und wenn Du nun die Potenzreihe in [mm]z=x \in \IR[/mm] betrachtest,
> sinnvollerweise schreiben wir dann auch [mm]x_0[/mm] anstelle von
> [mm]z_0\,,[/mm] so liefert Dir Cauchy-Hadamard, dass die Potenzreihe
> jedenfalls für alle [mm]|x-x_0| < \rho[/mm] konvergiert, also für
> alle [mm]x\,[/mm] in dem offenen Intervall [mm](x_0-\rho, x_0+\rho)\,.[/mm]
> Und Divergenz der Potenzreihe liegt hier für alle [mm]x \in \IR \setminus [x_0-\rho, x_0+\rho][/mm]
> vor. Und Unklahrheit i.a. für [mm]x=x_0+\rho[/mm] oder
> [mm]x=x_0-\rho\,.[/mm]
>
> Gruß,
> Marcel
Vielen Dank für eure Antworten.
Gruß hackbert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:22 Mo 02.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okay.. Danke erstmals wieder für deine ausführliche
> Antwort; hab mir nochmals klargemacht was mit dem
> Konvergenzkreis gemeint ist. Ich würde es für das Komplexe
> kurz so zusammenfassen: Es ist ein Kreis auf dessen
> Kreisscheibe alle Zahlenpaare liegen für welche die Reihe
> konvergiert. Kann man das so sagen?
wenn Du eine komplexe Zahl [mm] $z\,=\,x+i*y$ [/mm] ($x,y [mm] \in \IR$) [/mm] mit $(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] identifizierst, dann könnte man das so sagen. Die Metrik in [mm] $\IC$ [/mm] ist ja gerade die euklidische des [mm] $\IR^2\,.$
[/mm]
> > > (2) Wenn man nochmal die Reihe von der ursprünglichen Frage
> > > nimmt und diese etwas abwandelt zu:
> > >
> > > [mm]\summe_{k=1}^{\infty}k*(2(z-1))^k[/mm]
> > >
> > > Meiner Meinung nach ist der Entwicklungspunkt bei [mm]z_0 = 1[/mm];
>
> >
> > Ja, noch besser würdest Du es schreiben als
> > [mm]\sum_{k=1}^\infty \underbrace{k*2^k}_{=:a_k}(z-\underbrace{1}_{=:z_0})^k\,.[/mm]
>
> >
> >
> > > und nach dem Wurzelkriterium konvergiert die Potenzreihe
> > > mit
> > > [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}(\wurzel[k]{k}* \wurzel[k]{(2*(|z|-1))^k} = 1*(2*(|z|-1))[/mm]
> > > = [mm]2|z|-2[/mm] für [mm]2|z|-2 < 1[/mm], also für [mm]|z|<\bruch{3}{2}[/mm].
> >
> > Das sieht gut aus
> Ich setzt jetzt hier nochmal an und definiere
> [mm]\alpha=\bruch{3}{2},[/mm] sprich für [mm]\alpha[/mm] setze ich genau den
> Wert ein für den die Reihe nicht mehr konvergiert, da mit
> [mm]|z|=\alpha[/mm] die Bedingung das z.B. [mm]|z| < 3/2[/mm], wie im o.g.
> Fall, nicht mehr erfüllt ist.
>
> Wenn ich die Definitionen von dir unten nun richtig
> "um"interpretiere könnte der Nichtmathematiker doch einfach
> sagen:
>
> [mm]\rho = \alpha-z_0[/mm]
Nein. Das macht doch im Falle, dass [mm] $z_0 \in \IC \setminus \IR$ [/mm] ist, schon überhaupt keinen Sinn mehr. Dann wäre ja [mm] $\rho \in [0,\infty] \subset \IR \cup \{\infty\}$ [/mm] (mit [mm] $\infty \notin \IR$), $\alpha \in \IR$ [/mm] aber [mm] $z_0 \notin \IR\,,$ [/mm] was der Eigenschaft, dass [mm] $\IR$ [/mm] ein Körper ist, widerspräche (sicherlich jedenfalls schon für alle [mm] $\rho \in \IR\,,$ [/mm] also [mm] $\rho \not= \infty$; [/mm] und auch im Falle [mm] $\rho=\infty$ [/mm] wäre der Sinn Deiner Gleichung fragwürdig).
Was Du meinst ist folgendes:
Wenn man eine Potenzreihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k(x-x_0)^k$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] betrachtet, wobei der Entwicklungspunkt [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] sei, und wenn man weiß, dass
[mm] $$\alpha=\inf\{x \ge x_0:\;\text{ die Potenzreihe ausgewertet an der Stelle }x\text{ divergiert}\}$$
[/mm]
[mm] $$=\inf\{x_0+r:\;r \ge 0\text{ und die Potenzreihe ausgewertet an der Stelle }x_0+r \text{ divergiert}\}\;\;\;(=x_0+\rho)\,,$$ [/mm]
dann ist [mm] $\rho=\alpha-x_0\,.$
[/mm]
(Wobei [mm] $\rho=\frac{1}{\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}}\,.$)
[/mm]
Das ergibt sich eben daraus, dass ja die Potenzreihe in [mm] $(x_0-\rho,x_0+\rho)$ [/mm] konvergiert und in [mm] $\IR \setminus [x_0-\rho,x_0+\rho]$ [/mm] divergiert.
Für [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k(z-z_0)^k\,,$ [/mm] d.h. wir würden eine Potenzreihe in [mm] $\IC$ [/mm] betrachten, wobei auch [mm] $z_0 \in \IC\,,$ [/mm] kann man etwas ähnliches schreiben, z.B. durch Betrachten einer Geraden durch den Punkt [mm] $z_0\,.$ [/mm] Aber das ganze ist eigentlich nicht wirklich hilfreich, ich frage mich schon oben, wozu Du die Gleichung überhaupt benötigst oder welchen Zweck sie erfüllen soll?
> Oder gehen bei solchen Aussagen den Mathematikern die
> Fußnägel runter?
So, wie Du sie oben stehen hast: Ja Denn i.a. ist sie sehr sinnlos bis falsch, außerdem hast Du ja, wenn Du nach dem Wurzelkriterium weißt, dass die Potenzreihe für alle [mm] $\,z\,$ [/mm] mit [mm] $|z-z_0| *\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}<1$ [/mm] konvergiert, doch eh direkt rechts den Konvergenzradius stehen, nach einer einfachen Umformung:
[mm] $|z-z_0| *\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}<1 \gdw |z-z_0| [/mm] < [mm] \rho=\frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}\,.$
[/mm]
Das schöne daran ist ja, dass man nach dem Wurzelkriterium auch weiß:
Divergenz jedenfalls für alle [mm] $\,z\,$ [/mm] mit
[mm] $|z-z_0| *\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}>1 \gdw |z-z_0| [/mm] > [mm] \rho=\frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}\,.$
[/mm]
Deswegen ist der Konvergenzradius ja gerade so definiert und diese Definition so schön
> Sollte die Antwort auf diese Frage in
> deinem Text unten zu finden sein, dann tut mir die Frage
> leid, aber ich bin dann wohl nicht in der Lage die Antwort
> aus dem Text zu extrahieren
Eigentlich schon, aber sicher ist es vll. ein wenig Mühe, die richtigen Informationen separat herauszupicken
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:37 Di 03.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > Okay vielen Dank euch beiden schon mal soweit, hat mir
> > schon sehr viel gebracht. Jetzt sind aber noch ein paar
> > weitere Fragen bei mir aufgetaucht:
> >
> > (1) Kann man sagen:
> >
> > Eine Potenzreihe konvergiert, entweder:
> > (a) bei [mm]\rho = 0[/mm] nur für den Entwicklungspunkt
> > (b) auf der Kreisscheibe des Konvergenzkreises
> > (ohne Rand)
> > (c) auf [mm]\IR[/mm] bzw. [mm]\IC[/mm] für [mm]\rho = \infty[/mm]
>
> wenn ihr mit [mm]\rho[/mm] den Konvergenzradius bezeichnet, dann
> kann man das so sagen. Wozu das "entweder" oben gut sein
> sollte, weiß ich nicht, daher durchgestrichen. Aber
> ansonsten passt das. Wichtig ist halt im Falle [mm]\rho \in (0,\infty)\,,[/mm]
> also [mm]0 < \rho < \infty\,,[/mm] dass man aufpasst, dass man i.a.
> keine Aussage über die Konvergenz der Potenzreihe auf dem
> Rand der Kreisscheibe (im Falle von [mm]\IR[/mm] ist die
> Kreisscheibe einfach ein offenes Intervall) treffen kann.
>
> > (2) Wenn man nochmal die Reihe von der ursprünglichen Frage
> > nimmt und diese etwas abwandelt zu:
> >
> > [mm]\summe_{k=1}^{\infty}k*(2(z-1))^k[/mm]
> >
> > Meiner Meinung nach ist der Entwicklungspunkt bei [mm]z_0 = 1[/mm];
>
> Ja, noch besser würdest Du es schreiben als
> [mm]\sum_{k=1}^\infty \underbrace{k*2^k}_{=:a_k}(z-\underbrace{1}_{=:z_0})^k\,.[/mm]
>
>
> > und nach dem Wurzelkriterium konvergiert die Potenzreihe
> > mit
> > [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}(\wurzel[k]{k}* \wurzel[k]{(2*(|z|-1))^k} = 1*(2*(|z|-1))[/mm]
> > = [mm]2|z|-2[/mm] für [mm]2|z|-2 < 1[/mm], also für [mm]|z|<\bruch{3}{2}[/mm].
>
> Das sieht gut aus
Tut es nicht !!!
Oben müßte stehen:
$ [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}(\wurzel[k]{k}\cdot{} \wurzel[k]{(2\cdot{}(|z-1|))^k} [/mm] = [mm] 1\cdot{}(2\cdot{}(|z-1|)) [/mm] $ = $2|z-1|$
Die Potenzreihe konvergiert also in der Kreisscheibe K= { z [mm] \in \IC: [/mm] |z-1|<1/2 }
In der Kreisscheibe { z [mm] \in \IC: [/mm] |z|<3/2 } gibt es jede Menge Punkte in denen die Potenzreihe divergiert !!!!!
FRED
>
> > Ich setze jetzt [mm]a_k=k*2^k[/mm]. Der Konvergenzradius der
> > Potenzreihe ist dann:
> > [mm]\bruch{1}{\limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{k2^k}} = \bruch{1}{2}[/mm]
>
> >
> >
> >
> > Jetzt die eigentliche FRAGE: Kann man sagen, dass der
> > Konvergenzradius [mm]|z|-z_0[/mm] also [mm]\bruch{3}{2}-1=\bruch{1}{2}[/mm]
> > ist?
> >
> > Hab jetzt einige Aufgaben gerechnet und mir is das
> > irgendwie aufgefallen. Es würde ja auch zur
> > ursprünglichen Frage passen, bzw. die Frage würde
> > die Vermutung bestätigen, nur war in diesem
> > Fall der Entwicklungspunkt 0.
>
> Das macht irgendwie keinen Sinn. Wieso ist bei Dir oben
> [mm]|z|=3/2\,[/mm]? Was wäre denn, wenn [mm]z_0 \in \IC \setminus \IR[/mm]?
>
> Und das [mm]3/2-1=1/2\,[/mm] ist, dafür braucht man sicher keine
> Potenzreihentheorie
> Weiterhin wird i.a. [mm]|z-z_0| \not=||z|-z_0|[/mm] und [mm]|z-z_0| \not=|z|-z_0[/mm]
> gelten...
>
> Mach' Dir mal klar, welche Aussage Dir der Konvergenzradius
> liefert und was das mit einem Kreis um [mm]z_0[/mm] mit Radius [mm]\rho[/mm]
> zu tun hat:
> Wenn Du [mm]\rho[/mm] berechnet hast, dann weißt Du, dass die
> Potenzreihe für alle [mm]\,z\,[/mm] mit [mm]|z-z_0| < \rho[/mm] konvergiert
> und für alle [mm]|z-z_0| > \rho[/mm] divergiert.
>
> In [mm]\IC[/mm] ist [mm]U_{\rho}(z_0):=\{z \in \IC:\;|z-z_0| < \rho\}[/mm]
> gerade die (offene) Kreisscheibe um [mm]z_0[/mm] mit Radius [mm]\rho\,,[/mm]
> für jedes [mm]\,z[/mm] auf dieser offenen Kreisscheibe (also nicht
> auf deren Rand) konvergiert die Potenzreihe.
> Wenn man nun ein [mm]z \in \overline{U_{\rho}(z_0)}^{\,c}=\{z \in \IC: \;|z-z_0| > \rho\}[/mm]
> hat, dann weiß man, dass die Potenzreihe dort nicht
> konvergiert. Und für jedes [mm]z \in \underbrace{\partial U_{\rho}(z_0)}_{=\overline{U_{\rho}(z_0)}\setminus U_\rho(z_0)}=\{z \in \IC:\;|z-z_0|=\rho\}[/mm]
> weiß man i.a. nicht so schnell, ob die Potenzreihe für
> dieses [mm]\,z[/mm] konvergiert oder divergiert.
>
> (Der Vollständigkeit halber [mm]\overline{U_{\rho}(z_0)}=\{z \in \IC: |z-z_0| \le \rho\}\,.[/mm])
>
> Und wenn Du nun die Potenzreihe in [mm]z=x \in \IR[/mm] betrachtest,
> sinnvollerweise schreiben wir dann auch [mm]x_0[/mm] anstelle von
> [mm]z_0\,,[/mm] so liefert Dir Cauchy-Hadamard, dass die Potenzreihe
> jedenfalls für alle [mm]|x-x_0| < \rho[/mm] konvergiert, also für
> alle [mm]x\,[/mm] in dem offenen Intervall [mm](x_0-\rho, x_0+\rho)\,.[/mm]
> Und Divergenz der Potenzreihe liegt hier für alle [mm]x \in \IR \setminus [x_0-\rho, x_0+\rho][/mm]
> vor. Und Unklahrheit i.a. für [mm]x=x_0+\rho[/mm] oder
> [mm]x=x_0-\rho\,.[/mm]
>
> Gruß,
> Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:31 Di 03.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > ...
> > > und nach dem Wurzelkriterium konvergiert die Potenzreihe
> > > mit
> > > [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}(\wurzel[k]{k}* \wurzel[k]{(2*(|z|-1))^k} = 1*(2*(|z|-1))[/mm]
> > > = [mm]2|z|-2[/mm] für [mm]2|z|-2 < 1[/mm], also für [mm]|z|<\bruch{3}{2}[/mm].
> >
> > Das sieht gut aus
>
>
>
> Tut es nicht !!!
>
> Oben müßte stehen:
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}(\wurzel[k]{k}\cdot{} \wurzel[k]{(2\cdot{}(|z-1|))^k} = 1\cdot{}(2\cdot{}(|z-1|))[/mm]
> = [mm]2|z-1|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Die Potenzreihe konvergiert also in der Kreisscheibe K= { z
> [mm]\in \IC:[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
|z-1|<1/2 }
>
> In der Kreisscheibe { z [mm]\in \IC:[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
|z|<3/2 } gibt es jede
> Menge Punkte in denen die Potenzreihe divergiert !!!!!
>
> FRED
Du hast Recht, den Fehler mit dem Betrag habe ich übersehen. Ich werd's editieren.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Hey... Vielen Dank euch bis hierhin mal, ihr habt mir sehr geholfen, wobei ich glaube nicht die volle Tragweite eurer mathematisch korrekten Antworten verstanden zu haben, was aber für mich nicht so tragisch ist Das was ich wissen wollte / wissen muss hab ich durch eure Antworten verstanden.
Herzlichen Dank.
LG
hackbert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:22 Mi 04.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Hackbert,
> Hey... Vielen Dank euch bis hierhin mal, ihr habt mir sehr
> geholfen, wobei ich glaube nicht die volle Tragweite eurer
> mathematisch korrekten Antworten verstanden zu haben, was
> aber für mich nicht so tragisch ist Das was ich wissen
> wollte / wissen muss hab ich durch eure Antworten
> verstanden.
es gab' nur einen Knackpunkt, den ich übersehen hatte (es war mir schlicht nicht aufgefallen), wo Du aber einen wesentlichen Fehler gemacht hast:
Du darfst einfach nicht $|z-1|$ mit $|z|-1$ gleichsetzen, i.a. gilt $|z-1| [mm] \not=|z|\,-1\,.$ [/mm] Beachte das (und ähnliches) bitte!!
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
