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| Aufgabe | Untersuche folgende Reihen auf Konvergenzverhalten:
[mm]\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{n^4}{3^n}[/mm] und [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{n^2-2n+1}{n^3}[/mm] |
Hallo,
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Das waren heute zwei Klausuraufgaben von mir. Ich habe beide jeweils etwas... unkonventionell gelöst, weil ich auf keine schönere Lösung gekommen bin:
1. [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{n^4}{3^n}[/mm]
mit dem Quotienkriterium folgt zunächst:
[mm]\left| \bruch{(n+1)^4 \cdot 3^n}{n^4 \cdot 3^{n+1}} \right| = \left| \bruch{n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1}{n^4 \cdot 3} \right| = \left| \bruch{1 + 4/n + 6/n^2 + 4/n^3 + 1/n^4}{3} \right|\le \bruch{2}{3}[/mm] ab [mm]n_0 = 10 [/mm]
das [mm]n_0 = 10 [/mm] habe ich so gewählt, weil es auf jeden Fall groß genug war, damit die Aussage richtig war. Ich hatte keine Zeit mehr es richtig zu bestimmen. Ich weiß, dass es so ein wenig eine "brutal force"-Methode ist das [mm](n+1)^4[/mm] so auszumultiplizieren, aber es müsste doch dennoch stimmen, oder?
2. [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{n^2-2n-1}{n^3}[/mm]
hier habe ich die Summe erst mal auseinandergezogen:
[mm] \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{n^2-2n+1}{n^3} = \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{n^2}{n^3} + \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{-2n}{n^3} + \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{n^3} = \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{n} -2 \cdot \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2} + \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{n^3}[/mm]
Dann habe ich argumentiert, dass die letzten beiden Summanden konvergent sind also ihr Grenzwert endlich ist. Da nun der erste Summand die harmonische Reihe ist und daher divergiert, divergiert auch die gesamte Reihe. Auch diese Argumentation bedient sich nicht unbedingt der beliebten Konvergenzkriterien.
Von daher bin ich mir bei beiden Reihen echt nicht sicher, ob ich das so richtig gemacht habe. Wäre schön, wenn ihr mir mal Gewissheit verschaffen könntet.
Vielen Dank und lieben Gruß!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:00 Mo 18.02.2008 | | Autor: | dormant |
Hi!
> mit dem Quotienkriterium folgt zunächst:
>
> [mm]\left| \bruch{(n+1)^4 \cdot 3^n}{n^4 \cdot 3^{n+1}} \right| = \left| \bruch{n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1}{n^4 \cdot 3} \right| = \left| \bruch{1 + 4/n + 6/n^2 + 4/n^3 + 1/n^4}{3} \right|\le \bruch{2}{3}[/mm]
> ab [mm]n_0 = 10[/mm]
Das passt.
> das [mm]n_0 = 10[/mm] habe ich so gewählt, weil es auf jeden Fall
> groß genug war, damit die Aussage richtig war. Ich hatte
> keine Zeit mehr es richtig zu bestimmen. Ich weiß, dass es
> so ein wenig eine "brutal force"-Methode ist das [mm](n+1)^4[/mm] so
> auszumultiplizieren, aber es müsste doch dennoch stimmen,
> oder?
Naja, brute force ist es nicht - das führt am Schnellsten zum Ergebnis
> 2. [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{n^2-2n-1}{n^3}[/mm]
>
> hier habe ich die Summe erst mal auseinandergezogen:
>
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{n^2-2n+1}{n^3} = \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{n^2}{n^3} + \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{-2n}{n^3} + \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{n^3} = \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{n} -2 \cdot \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2} + \sum_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{n^3}[/mm]
Der erste Summand divergiert, alles andere ist positiv, Reihe divergiert. Fertig.
Gruss,
dormant
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