Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:40 Di 08.04.2008 | | Autor: | penguin |
| Aufgabe | Sei o<a<b , [mm] u_{1}=1 [/mm] , [mm] u_{2k}=a [/mm] , [mm] u_{2k-1}, u_{2k+1}=u_{2k} [/mm] * b fuer k [mm] \ge [/mm] 1
Bestimme die Konvergenz der Reihe
[mm] \summe_{n \ge1}^{} u_n [/mm] = 1 + a + ab + [mm] a^2 [/mm] b + [mm] a^2b^2 [/mm] + ... + [mm] a^kb^{k-1} [/mm] + [mm] a^kb^k
[/mm]
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Naja, also mir ist klar, dass ich das durch eines der Komvergenzkriterien beweisen kann, also Wurzel, Leibnitz oder Quotientenkriterium obwohl ich hier ja das Quotientenkriterium benutzen wuerde.
Die Reihe wuerde ich so umformen:
[mm] \summe_{n \ge1}^{} u_n [/mm] = 1 + a + ab + [mm] a^2 [/mm] b + [mm] a^2b^2 [/mm] + ... + [mm] a^kb^{k-1} [/mm] + [mm] a^kb^k [/mm] = 1 + [mm] \summe_{n \ge1}^{} (a^kb^{k-1} [/mm] )
wenn ich dann das Quotientenkriterium benutze kriege ich |ab| raus und das ist ja wohl nicht kleiner als eins. Irgendwie weiss ich nun auch nicht weiter. Kann mir da vielleicht jemand nen kleinen Tip geben....
lg penguin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:40 Di 08.04.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
bist du sicher, dass du nicht schon hier einen Denkfehler gemacht hast?
> Die Reihe wuerde ich so umformen:
>
> [mm]\summe_{n \ge1}^{} u_n[/mm] = 1 + a + ab + [mm]a^2[/mm] b + [mm]a^2b^2[/mm] + ... + [mm]a^kb^{k-1}[/mm] + [mm]a^kb^k[/mm] = 1 + [mm]\summe_{n \ge1}^{} (a^kb^{k-1}[/mm])
[mm]\summe_{k \ge1}^{} (a^kb^{k-1}[/mm]) [mm] =a+a^2*b+a^3*b^2+a^4*b^3\not=a [/mm] + ab + [mm]a^2[/mm] b + [mm]a^2b^2[/mm] + ... + [mm]a^kb^{k-1}[/mm] + [mm]a^kb^k[/mm]
MfG barsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:55 Di 08.04.2008 | | Autor: | barsch |
Abend,
vielleicht so:
[mm] \summe_{k=1}^{n}u_k=1+a+ab+a^2b+a^2b^2+... +a^kb^{k-1}+a^kb^k=\summe_{k=1}^{n}a^kb^{k-1}+\summe_{k=0}^{n}a^k*b^k
[/mm]
[mm] =\summe_{k=1}^{n}a^kb^{k}*\bruch{1}{b}+\summe_{k=0}^{n}a^k*b^k
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{b}*(\summe_{k=1}^{n}a^kb^{k})+\summe_{k=0}^{n}a^k*b^k
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{b}*(\summe_{k=1}^{n}(ab)^k)+\summe_{k=0}^{n}(a*b)^k
[/mm]
=...
Bei der ersten Summe eine Indexverschiebung und dann kannst du evtl. mit der geometrischen Reihe versuchen zu argumentieren.
1. Fall: Wenn [mm] a\cdot{}b<1, [/mm] dann ....
2. Fall: ...
Ausprobiert habe ich es selber nicht, aber vielleicht hilft dir es ja weiter.
MfG barsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:20 Di 08.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Sei o<a<b , [mm]u_{1}=1[/mm] , [mm]u_{2k}=a[/mm] , [mm]u_{2k-1}, u_{2k+1}=u_{2k}[/mm]
> * b fuer k [mm]\ge[/mm] 1
> Bestimme die Konvergenz der Reihe
>
> [mm]\summe_{n \ge1}^{} u_n[/mm] = 1 + a + ab + [mm]a^2[/mm] b + [mm]a^2b^2[/mm] + ...
> + [mm]a^kb^{k-1}[/mm] + [mm]a^kb^k[/mm]
ich versteh schon die Umschreibung nicht: oben steht
[mm]u_{2k}=a[/mm] d.heisst alle geraden Summanden sind a
danach, alle ungeraden sind gleich a*b.
ausserdem versteh ich das Komma zwischen [mm]u_{2k-1}, u_{2k+1}=u_{2k}*b[/mm]
so, dass die 2 gleich sind?
Also sag erst mal, wie die Definition der Reihe nun wirklich ist. das was unten mit Pünktchen steht, oder das obere?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:23 Mi 09.04.2008 | | Autor: | penguin |
also so stand es in der Aufgabe, aber gemeint ist damit [mm] u_{2k-1} [/mm] = [mm] u_{2k} [/mm] * b und dass [mm] u_{2k+1} [/mm] = [mm] u_{2k} [/mm] * b ist
lg penguin
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