Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:08 So 12.12.2010 | | Autor: | snikch |
| Aufgabe | [mm] \summe_{k=1}^{\infty} k^2*(\bruch{k}{k+1})^{k^2} [/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(k-\wurzel{k})}{(k+\wurzel{k})^2}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(2^k*k!)}{k^k} [/mm] |
Hey
Ich soll die folgenden Reihen auf Konvergenz untersuchen.
Dabei kann ich das Majoranten/Minoranten/Wurzel/Quotientenkriterium benutzen.
Leider komm ich mit denen nicht sehr weit. Vielleicht könnt ihr mir nen kleinen Tipp geben. Danke!
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Hallo snikch,
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} k^2*(\bruch{k}{k+1})^{k^2}[/mm]
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(k-\wurzel{k})}{(k+\wurzel{k})^2}[/mm]
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(2^k*k!)}{k^k}[/mm]
> Hey
> Ich soll die folgenden Reihen auf Konvergenz untersuchen.
> Dabei kann ich das
> Majoranten/Minoranten/Wurzel/Quotientenkriterium benutzen.
> Leider komm ich mit denen nicht sehr weit.
Was heißt "nicht sehr weit?"
Das bedeutet, du kommst bis zu einer gewissen Stelle und hängst.
Wieso sagst du nicht und schreibst nicht auf, was genau du bisher probiert hast?
Da ist doch möglicherweise Brauchbares dabei ...
> Vielleicht
> könnt ihr mir nen kleinen Tipp geben. Danke!
a) Trivialkrit.
b) die Reihe ist von der Größenordnung [mm] $\sum\frac{1}{k}$, [/mm] schätze also gegen die ( bzw. eine Variante der) harmonische(n) Reige als div. Minorante ab
c) Wurzel- oder Quotientenkrit.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 So 12.12.2010 | | Autor: | snikch |
Ok.
Bei der
a) hab ich mir überlegt, dass der Bruch für k--> unendlich gegen 1 Strebt und somit die [mm] \summe k^2 [/mm] stehen bleibt.
Da [mm] a_k=k^2 [/mm] keine Nullfolge bildet, ist die Reihe divergent.
b) Dort hab ich eine Abschätzung versucht: [mm] \summe \bruch{n-\wurzel{k}}{(n+\wurzel{k})^2} [/mm] ist größer als [mm] \summe \bruch{k-\wurzel{k}}{(k+k)^2}. [/mm] Durch Umformen bekommt man dann [mm] \summe (\bruch{1}{4*k} [/mm] - [mm] \bruch {1}{(4k*\wurzel{k})}).
[/mm]
c) Mit dem Quotientenkriterium hab ich bekommen: [mm] 2*(\bruch{k}{(k+1)})^k
[/mm]
für k--> unendlich strebt das ganze gegen 2
Geht das in die richtige Richtung?
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Hallo nochmal,
> Ok.
> Bei der
> a) hab ich mir überlegt, dass der Bruch für k-->
> unendlich gegen 1 Strebt und somit die [mm]\summe k^2[/mm] stehen
> bleibt.
> Da [mm]a_k=k^2[/mm] keine Nullfolge bildet, ist die Reihe
> divergent.
Ja, sagen wir besser [mm] $a_k=k^2\cdot{}\left(\frac{k}{k+1}\right)^{k^2}$ [/mm] strebt gegen [mm] $\infty$, [/mm] daher div. die zugeh. Reihe
> b) Dort hab ich eine Abschätzung versucht: [mm]\summe \bruch{n-\wurzel{k}}{(n+\wurzel{k})^2}[/mm] ist größer als [mm]\summe \bruch{k-\wurzel{k}}{(k+k)^2}.[/mm]
Das verstehe ich nicht ...
> Durch Umformen bekommt man dann [mm]\summe (\bruch{1}{4*k}[/mm] -
> [mm]\bruch {1}{(4k*\wurzel{k})}).[/mm]
> c) Mit dem
> Quotientenkriterium hab ich bekommen:
> [mm]2*(\bruch{k}{(k+1)})^k[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> für k--> unendlich strebt das ganze gegen 2 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das solltest du nochmal überdenken ...
>
> Geht das in die richtige Richtung?
Jo
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 So 12.12.2010 | | Autor: | snikch |
Danke schon mal!
bei der b) meinte ich natürlich: [mm] \summe \bruch {k-\wurzel{k}}{(k+\wurzel{k})^2} [/mm] > [mm] \summe \bruch {k-\wurzel{k}}{(k+k)^2}.
[/mm]
Da k + [mm] \wurzel{k} [/mm] < k + k.
Ich hab versucht eine Minoranten zu finden um die Divergenz der Reihe zu zeigen.
Bei der c) erhält man ja [mm] \limes_{k \to \infty}(2\cdot{}(\bruch{k}{(k+1)})^k) [/mm] = [mm] \limes_{k \to \infty}(2\cdot{}( 1-\bruch{1}{(k+1)})^k) [/mm] = [mm] \limes_{k \to \infty}(2\cdot{}( 1-0)^k) [/mm] = 2
oder habe ich hier nen Denkfehler drin?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 So 12.12.2010 | | Autor: | snikch |
Ah da hab ich den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr gesehn :)
[mm] \limes_{k \to \infty}(2\cdot{}( 1-\bruch{1}{(k+1)})^k) =2*\limes_{k \to \infty}(( 1-\bruch{1}{(k+1)})^k) <2*\limes_{k \to \infty}(( 1-\bruch{1}{k})^k) [/mm] = [mm] 2*\bruch{1}{e}
[/mm]
da e > 2 ist [mm] 2*\bruch{1}{e} [/mm] <=q <1 und damit ist die Reihe konvergent.
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![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]"){kind=small}
![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]"){kind=small}
