Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:06 Mo 13.12.2010 | | Autor: | katrin10 |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(3n)!-n!}{n^{3n}+2n^2} [/mm] auf Konvergenz. |
Hallo,
ich habe diese Reihe zunächst nach oben abgeschätzt und dabei [mm] \bruch{(3n)!}{n^{3n}} [/mm] erhalten, was jedoch divergent ist. Deshalb bin ich davon ausgegangen, dass die zu untersuchende Reihe divergent ist und habe sie nach unten mit [mm] \bruch{ n!}{2n^{3n}} [/mm] abgeschätzt, allerdings ist dies konvergent. Wie kann ich die gegebene Reihe abschätzen?
Ich danke für jegliche Hilfe.
Viele Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:13 Di 14.12.2010 | | Autor: | max3000 |
Mit Abschätzen kommst du hier denke ich nicht weiter.
Das mit der Fakultät und dem ^n sieht sehr verdächtig nach Quotientenkriterium aus. Damit solltest du sicherlich erfolgreich sein.
Du musst dann nur geschickt kürzen. Zum Beispiel kannst du nach Bildung des Quotienten schonmal überall ein n! rauskürzen.
|
|
|
| |
|
Hallo Katrin,
das Trivialkriterium lautet doch: die zu summierende Folge muss eine Nullfolge sein.
Diese hier ist aber monoton wachsend und unbeschränkt.
Das ist zwar auch nicht sooo leicht zu zeigen, aber leichter als die meisten anderen Kriterien.
Alternativ kannst Du auch zeigen, dass [mm] \bruch{(3n)!}{2n^{3n}} [/mm] eine divergente Minorante ist. Da ist es leichter nachzuweisen, dass es sich um keine Nullfolge handeln kann, weil sie monoton wachsend und unbeschränkt ist.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:29 Di 14.12.2010 | | Autor: | katrin10 |
Vielen Dank für die Hinweise. Ich werde mir die Aufgabe nocheinmal ansehen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Di 14.12.2010 | | Autor: | katrin10 |
Hallo,
um eine Minorante zu finden, muss man doch den Zähler verkleinern oder den Nenner verkleinern. Die Abschätzung im Nenner von [mm]\bruch{(3n)!}{2n^{3n}}[/mm] ist mir daher klar. Im Zähler hatte man jedoch ursprünglich (3n)!-n! stehen und wenn ich dies mit (3n!) abschätze, wird der Zähler doch größer. Wie kann ich sicher sein, dass [mm]\bruch{(3n)!}{2n^{3n}}[/mm] wirklich kleiner als die ursprüngliche Folge ist?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> um eine Minorante zu finden, muss man doch den Zähler
> verkleinern oder den Nenner verkleinern vergrößern.
Kleine Korrektur...
Man kann natürlich auch beides tun.
> Die Abschätzung
> im Nenner von [mm]\bruch{(3n)!}{2n^{3n}}[/mm] ist mir daher klar. Im
> Zähler hatte man jedoch ursprünglich (3n)!-n! stehen und
> wenn ich dies mit (3n!) abschätze, wird der Zähler doch
> größer.
Gut beobachtet. Es ist darum auch nicht die leichteste aller Minoranten, aber sie funktioniert.
> Wie kann ich sicher sein, dass
> [mm]\bruch{(3n)!}{2n^{3n}}[/mm] wirklich kleiner als die
> ursprüngliche Folge ist?
Für n=1 ist sie das nicht einmal, aber für n>1 stimmts.
Zu zeigen ist es aber nicht so einfach, da nicht trivial. Mit Induktion gehts aber m.E.
Ansonsten brauchst Du halt eine andere divergente Minorante.
Wie wärs mit [mm] \bruch{(3n)!-n!}{2n^{3n}} [/mm] ?
Da ist es ganz einfach zu zeigen, dass es sich um eine Minorante handelt, und eigentlich ist auch die Divergenz nicht schwer zu zeigen.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:33 Di 14.12.2010 | | Autor: | katrin10 |
Vielen Dank für die Hilfe.
|
|
|
|
