Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\wurzel[n]{a}-1[/mm]
Stellen sie fest, ob die Reihe konvergiert. |
Hier wollte ich das Majorantenkriterium verwenden, also eine Reihe bilden, die größer ist, als die Angegebene. Statt n-te Wurzel aus a, schreibe ich nun: [mm] a^n. [/mm] Die minus 1 am Ende bleibt stehen. Da aber [mm] a^n-1 [/mm] für n geht gegen Unendlich ins Unendliche geht, also divergiert, kann ich für meine Ausgangsreihe keine Rückschlüsse ziehen.
Denn nur wenn ich zeigen könnte, dass die Majorante konvergiert, dann konvergiert auch die definierte Reihe.
Gibt es noch ein anderes Kriterium mitdem es möglich wäre, zu sagen, ob die Reihe konvergiert oder nicht? Und wenn nicht, wie funktioniert das Majorantenkriterium in diesem Fall -ist es überhaupt möglich?
Liebe Grüße,
Elizabeth
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:58 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\wurzel[n]{a}-1[/mm]
> Stellen sie fest, ob die Reihe konvergiert.
ich nehme mal an, dass die Reihe
[mm] $$\summe_{n=1}^{\infty}\red{(}\wurzel[n]{a}-1\red{)}$$ [/mm]
gemeint ist - wobei $a > 0$ bel., aber fest sei. Denn für bel., aber festes
$a > 0$ gilt [mm] $\sqrt[n]{a} \to [/mm] 1 [mm] \not=0\,.$
[/mm]
> Hier wollte ich das Majorantenkriterium verwenden, also
> eine Reihe bilden, die größer ist, als die Angegebene.
> Statt n-te Wurzel aus a, schreibe ich nun: [mm]a^n.[/mm]
Und was wäre, wenn $|a| < 1$ ist?
> Die minus 1
> am Ende bleibt stehen. Da aber [mm]a^n-1[/mm] für n geht gegen
> Unendlich ins Unendliche geht, also divergiert,
Nö: Für $a=1/2$ oder $a=-1/3$ strebt [mm] $a^n-1 \to 0-1=-1\,.$
[/mm]
> kann ich
> für meine Ausgangsreihe keine Rückschlüsse ziehen.
> Denn nur wenn ich zeigen könnte, dass die Majorante
> konvergiert, dann konvergiert auch die definierte Reihe.
> Gibt es noch ein anderes Kriterium mitdem es möglich
> wäre, zu sagen, ob die Reihe konvergiert oder nicht? Und
> wenn nicht, wie funktioniert das Majorantenkriterium in
> diesem Fall -ist es überhaupt möglich?
So wirklich eine Idee habe ich gerade auch nicht...
Gruß,
Marcel
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Hiho,
erweiter den Ausdruck mal mit [mm] $\summe_{k=0}^{n-1} \left(\sqrt[n]{a}\right)^k$
[/mm]
Dann ein bisschen umformen.
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:44 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Gono,
> Hiho,
>
> erweiter den Ausdruck mal mit [mm]\summe_{k=0}^{n-1} \left(\sqrt[n]{a}\right)^k[/mm]
ich hoffe, es stört Dich nicht; ich rechne einfach mal mit Deinem Tipp hier
mit. Mhm, interessant:
[mm] $$(\sqrt[n]{a}-1)*\frac{\summe_{k=0}^{n-1} \left(\sqrt[n]{a}\right)^k}{\summe_{k=0}^{n-1} \left(\sqrt[n]{a}\right)^k}=\ldots=\frac{(a-1)}{\summe_{k=0}^{n-1} \left(\sqrt[n]{a}\right)^k}\,.$$
[/mm]
(Hoffe, ich habe mich nicht verrechnet.) Inwiefern aber hilft das?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:03 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Gono,
> Hiho,
>
> > mit. Mhm, interessant:
> > [mm](\sqrt[n]{a}-1)*\frac{\summe_{k=0}^{n-1} \left(\sqrt[n]{a}\right)^k}{\summe_{k=0}^{n-1} \left(\sqrt[n]{a}\right)^k}=\ldots=\frac{(a-1)}{\summe_{k=0}^{n-1} \left(\sqrt[n]{a}\right)^k}\,.[/mm]
>
> >
> > (Hoffe, ich habe mich nicht verrechnet.) Inwiefern aber
> hilft das?
>
> Das (a-1) ist nun eine Konstante und kann vor die Summe
> gezogen werden
das war mir klar. 
> und man erhält z.B. im Fall [mm]a<1[/mm] sofort:
Ah, die einfache Idee: Fallunterscheidung. Manchmal bin ich schon blind ^^ ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
> [mm]\bruch{1}{\summe_{k=0}^{n-1} \left(\sqrt[n]{a}\right)^k} \ge \bruch{1}{\summe_{k=0}^{n-1} 1^k} = \bruch{1}{n}[/mm]
Klar, damit ist in diesem Fall [mm] $\sum [/mm] 1/n$ eine divergente Minorante.
> Den Fall [mm]a>1[/mm] überlass ich mal dir
Ne, ich hab' ja schon lange zuvor in Gedanken schon den "schwierigen"
Fall [mm] $a=1\,$ [/mm] behandelt. ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Na, okay: Ich hätte das nun so gemacht:
Für $a > [mm] 1\,$ [/mm] gilt sicher $1 [mm] \le {\sqrt[n]{a}\,}^k \le [/mm] a$ für jedes $k=0,...,n-1$ und daher
[mm] $$\bruch{1}{\summe_{k=0}^{n-1} \left(\sqrt[n]{a}\right)^k} \ge \frac{1}{\summe_{k=0}^{n-1}a}=\frac{1}{n*a}\,,$$
[/mm]
also divergiert auch in diesem Fall die Reihe. Also wenn da was falsch ist,
dann schiebe ich's heute drauf, dass ich heute nacht nur 1 Stunde
geschlafen habe ^^
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:47 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Ne, ich hab' ja schon lange zuvor in Gedanken schon den "schwierigen" Fall [mm]a=1\,[/mm] behandelt.
Den lassen wir der Threaderstellerin mal zum Knoblen für zu Hause
> Na, okay: Ich hätte das nun so gemacht:
> Für [mm]a > 1\,[/mm] gilt sicher [mm]1 \le {\sqrt[n]{a}\,}^k \le a[/mm]
> für jedes [mm]k=0,...,n-1[/mm] und daher
> [mm]\bruch{1}{\summe_{k=0}^{n-1} \left(\sqrt[n]{a}\right)^k} \ge \frac{1}{\summe_{k=0}^{n-1}a}=\frac{1}{n*a}\,,[/mm]
Supi, sogar noch schneller als das, was ich im Sinn hatte 
Dann haben wirs ja nu.
MFG,
Gono.
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Sehe ich das jetzt richtig, dass Minoranten zur Reihe gebildet wurden? Für a<1 und a>1 divergieren diese Minoranten, deshalb divergiert auch die Reihe. Stimmt es, dass man für den Fall a=1 keine Aussage über die Konvergenz/Divergenz der Reihe machen kann?
Lieben Dank schonmal =)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:48 Sa 05.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sehe ich das jetzt richtig, dass Minoranten zur Reihe
> gebildet wurden? Für a<1 und a>1 divergieren diese
> Minoranten, deshalb divergiert auch die Reihe.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Stimmt es,
> dass man für den Fall a=1 keine Aussage über die
> Konvergenz/Divergenz der Reihe machen kann?
Nein, das stimmt nicht: Was ist denn [mm] $(\sqrt[n]{1}-1)$ [/mm] für jedes $n [mm] \in \IN$?
[/mm]
> Lieben Dank schonmal =)
Gerne.
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
>
> > Sehe ich das jetzt richtig, dass Minoranten zur Reihe
> > gebildet wurden? Für a<1 und a>1 divergieren diese
> > Minoranten, deshalb divergiert auch die Reihe.
>
>
>
> > Stimmt es,
> > dass man für den Fall a=1 keine Aussage über die
> > Konvergenz/Divergenz der Reihe machen kann?
>
> Nein, das stimmt nicht: Was ist denn [mm](\sqrt[n]{1}-1)[/mm] für
> jedes [mm]n \in \IN[/mm]?
dabei würde 1-1 also Null rauskommen. Kann man dann sagen, dass die Reihe für a=1 konvergiert? Da 0+0+0+0...konvergent ist, mit Grenzwert 0.
>
> > Lieben Dank schonmal =)
>
> Gerne.
>
> Gruß,
> Marcel
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Hiho,
> > Nein, das stimmt nicht: Was ist denn [mm](\sqrt[n]{1}-1)[/mm] für
> > jedes [mm]n \in \IN[/mm]?
>
> dabei würde 1-1 also Null rauskommen.
> Kann man dann sagen, dass die Reihe für a=1 konvergiert? Da 0+0+0+0...konvergent ist, mit Grenzwert 0.
Das solltest du beantworten können!
Konvergiert die Reihe [mm] $\summe_{k=1}^\infty [/mm] 0$ ?
MFG,
Gono.
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> Hallo Gono,
>
> > Hiho,
> >
> > > mit. Mhm, interessant:
> > > [mm](\sqrt[n]{a}-1)*\frac{\summe_{k=0}^{n-1} \left(\sqrt[n]{a}\right)^k}{\summe_{k=0}^{n-1} \left(\sqrt[n]{a}\right)^k}=\ldots=\frac{(a-1)}{\summe_{k=0}^{n-1} \left(\sqrt[n]{a}\right)^k}\,.[/mm]
Ich verstehe, dass der Nenner gleich bleibt, aber wieso kommt wenn man die Zähler miteinander multipliziert a-1 heraus?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 So 06.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo Gono,
> >
> > > Hiho,
> > >
> > > > mit. Mhm, interessant:
> > > > [mm](\sqrt[n]{a}-1)*\frac{\summe_{k=0}^{n-1} \left(\sqrt[n]{a}\right)^k}{\summe_{k=0}^{n-1} \left(\sqrt[n]{a}\right)^k}=\ldots=\frac{(a-1)}{\summe_{k=0}^{n-1} \left(\sqrt[n]{a}\right)^k}\,.[/mm]
>
>
> Ich verstehe, dass der Nenner gleich bleibt, aber wieso
> kommt wenn man die Zähler miteinander multipliziert a-1
> heraus?
Berechne mal
[mm] (x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)
[/mm]
Es wird [mm] x^n-1 [/mm] herauskommen.
Bei Dir ist [mm] x=\wurzel[n]{a}
[/mm]
FRED
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Danke Fred =) Jetzt hab ichs verstanden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:14 So 06.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nur, damit Du nochmal ein wenig das Rechnen mit Summenzeichen siehst
und üben kannst:
[mm] $$(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)=(x-1)*\sum_{k=0}^{n-1}x^k=x*\Big(\sum_{k=0}^{n-1}x^k\Big)-\sum_{k=0}^{n-1}x^k=\Big(\sum_{k=0}^{n-1}x^{k+1}\Big)-\sum_{k=0}^{n-1}x^k$$
[/mm]
[mm] $$=\Bigg(\underbrace{\;\;\Big(\sum_{\ell=1}^{n-1} x^{\ell}\Big)+x^n\;\;}_{=\sum_{\ell=1}^\red{n} x^\ell}\Bigg)-\left(x^0+\sum_{k=1}^{n-1}x^k\right)=\left(\Big(\sum_{\ell=1}^{n-1} x^{\ell}\Big)+x^n\right)-\left(1+\sum_{k=1}^{n-1}x^k\right)$$
[/mm]
Kannst Du das alles nachvollziehen, und siehst Du nun auch den letzten
Schritt (bei dieser Rechnung mit dem Summenzeichen), warum da [mm] $x^n-1$
[/mm]
rauskommt?
Gruß,
Marcel
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