Konvergenz von f(x) < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:02 Sa 27.11.2004 | | Autor: | Skipper |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mit folgender Aufgabe kann ich nicht sonderlich viel anfangen, da mir selbst die Ansätze fehlen,
Ich hoffe ihr könnt mir da etwas weiter helfen.
Sei [mm] {q_{1},q{2},...} [/mm] eine Abschätzung von [mm] \IQ [/mm] und
[mm] h(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<0 \\ 1, & \mbox{für } x\ge0 \end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie:
(a) Die Reihe f(x):= [mm] \summe_{n=1}2^{ \infty}^{-n}h(x-q_{n}) [/mm] konvergiert für alle [mm] x\in\IR.
[/mm]
(b) Die Funktion [mm] f:\IR\to\IR [/mm] wächst streng monoton und ist stetig in allen irrationalen Stellen und ist unstetig an allen rationalen Stellen.
Schon einmal Danke im vorraus.
Mfg
Skipper
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:51 So 28.11.2004 | | Autor: | frabi |
Moin Skipper.
>[mm]h(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<0 \\ 1, & \mbox{für } x\ge0 \end{cases}
>[/mm]
>
> Zeigen Sie:
> (a) Die Reihe f(x):= [mm]\summe_{n=1}2^{ \infty}^{-n}h(x-q_{n})[/mm]
Ich nehme mal an, Du meinst die Reihe
[mm]\summe_{n=1}^{\infty}2^{-n}h(x-q_{n})[/mm]
was das gleiche ist, wie
[mm]
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n\cdot h(x-q_n)
[/mm]
Die Reihe konvergiert, da die geometrische Reihe (für $q=1/2$) eine Majorante ist
(Die Funktion $h$ hat ja nur den Wertebereich [mm] \{0, 1\})
[/mm]
Aber was meinst Du mit Abschätzung von [mm] $\mathbb{Q}$?
[/mm]
viele Grüße
frabi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:25 So 28.11.2004 | | Autor: | Gorky |
Hi! Vielleicht sollte da anstatt Abschätzung, Abzählung von [mm] \IQ [/mm] stehen? ;)
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Richtig!
Eine Abzählung von Q mot {q1,q2,.....} soll es heissen
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Hallo
Als ich habed die gleiche Aufgabe zu beantwrten. Wie beweist man denn jetzt, dass die Funktion f: R nach R monoton steigend ist und an allen irrationalen Stellen stetig und an allen ratioanelen Stellen unstetig ist. Wie muss man sich überhaupt diese Funktion vorstellen, ich verstehe auch dieses h(x-qn) nicht. kann mir da jemand weiterhelfen?
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Grüße!
Eine sehr interessante Aufgabe. 
Also: $h$ ist natürlich monoton steigend (das sieht man) und damit folgt für $x [mm] \geq [/mm] y$ auch $h(x) [mm] \geq [/mm] h(y)$, also auch $h(x - [mm] q_n) \geq [/mm] h(y - [mm] q_n)$ [/mm] für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] und also auch $f(x) [mm] \geq [/mm] f(y)$.
Das zeigt die Monotonie. Nun zur Stetigkeit: Für $x [mm] \in \IR \backslash \IQ$ [/mm] ist $h(x - [mm] q_n)$ [/mm] natürlich stetig - denn die Unstetigkeitsstelle liegt bei [mm] $q_n$ [/mm] und das ist stets verschieden von $x$. $f$ ist definiert als Limes der Partialsummen und wie man sich leicht überzeugt konvergieren diese gleichmäßig gegen $f$, also bleibt die Stetigkeit erhalten.
Für $x [mm] \in \IQ$ [/mm] gibt es ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $x = [mm] q_n$. [/mm] Für eine Umgebung von $x$, die klein genug ist, dass [mm] $q_1, \ldots, q_{n-1}$ [/mm] nicht enthalten sind, stimmt nun der linksseitige Limes nicht mit dem Funktionswert überein, da man einfach die Restreihe abschätzen kann.
Details überlasse ich euch, das war nur die grobe Anleitung.
Lars
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Würde vorschlagen, irgendjemand konkretisiert mal die Fragestellung. "Abschätzung" oder "Abzählung", wenn Abschätzung, was ist eine Abschätzung (Definition)?
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es geht um ein Abzählung Q ist {q1,q2,....}
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:47 Do 02.12.2004 | | Autor: | Skipper |
Allen vielen Dank für eure Hilfe.
Es hieß wirklich Abzählung, hatte nur falsche abgeschrieben.
Also noch mal Danke, habt mir sehr geholfen.
Mfg Skipper
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