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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 Di 26.04.2011 | | Autor: | pyw |
| Aufgabe | | Existiert das uneigentliche Integral [mm] \integral_1^\infty\frac{\sin^2(x)}{x}dx? [/mm] |
Hallo,
ich habe das Integral bei wolframalpha eingegeben, mit dem Ergebnis, dass der Grenzwert
[mm] \lim_{k\to\infty}\integral_1^k\frac{\sin^2(x)}{x}dx [/mm] nicht existiert.
Damit ich das zeige, muss ich eine geeignete Minorante finden.
Sicherlich kann man das Integral irgendwie an den Nullstellen des Sinus zerlegen und so abschätzen ...
Weiß jemand Rat?
Danke im Voraus.
mfg, pyw
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Moin,
> Existiert das uneigentliche Integral
> [mm]\integral_1^\infty\frac{\sin^2(x)}{x}dx?[/mm]
> Hallo,
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> ich habe das Integral bei wolframalpha eingegeben, mit dem
> Ergebnis, dass der Grenzwert
> [mm]\lim_{k\to\infty}\integral_1^k\frac{\sin^2(x)}{x}dx[/mm] nicht
> existiert.
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> Damit ich das zeige, muss ich eine geeignete Minorante
> finden.
> Sicherlich kann man das Integral irgendwie an den
> Nullstellen des Sinus zerlegen und so abschätzen ...
Genau, betrachten die Intervalle [mm] [k\pi, (k+1)\pi], [/mm] so ist:
[mm] (\*)\qquad $\integral_{k\pi}^{(k+1)\pi}\sin^2(x)dx=\left[\frac{1}{2}(x-\sin(x)\cos(x)\right]_{k\pi}^{(k+1)\pi}=\frac{\pi}{2}$
[/mm]
Zudem [mm] \integral_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\sin^2(x)}{x}dx\geq\integral_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\sin^2(x)}{(k+1)\pi}dx=\frac{1}{(k+1)\pi}\integral_{k\pi}^{(k+1)\pi}\sin^2(x)dx=\frac{1}{(k+1)\pi}\frac{\pi}{2}=\ldots
[/mm]
das sieht sehr nach harmonischer Reihe aus.
> Weiß jemand Rat?
>
> Danke im Voraus.
>
> mfg, pyw
LG
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