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Guten Abend,
die Aufgabe an der ich momentan sitze, verlangt, dass ich folgende Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel[2]{n}} [/mm]
auf Konvergenz untersuche.
Dies würde ich gerne über das Majo- und Minorantenkriterium zeigen.
Sei nun [mm] \bruch{1}{\wurzel[2]{n}} [/mm] die Majorante und [mm] \bruch{1}{n} [/mm] die Minorante, da [mm] \bruch{1}{\wurzel[2]{n}} \ge \bruch{1}{n} [/mm] ist. Da wir wissen, dass die Minorante [mm] \bruch{1}{n} [/mm] divergiert, divergiert auch die Reihe [mm] \bruch{1}{\wurzel[2]{n}}. [/mm] Kann man das so sagen?
LG DerPinguinagent
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:23 Do 20.07.2017 | | Autor: | X3nion |
> Guten Abend,
Guten Abend!
> die Aufgabe an der ich momentan sitze, verlangt, dass ich
> folgende Reihe
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> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel[2]{n}}[/mm]
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> auf Konvergenz untersuche.
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> Dies würde ich gerne über das Majo- und
> Minorantenkriterium zeigen.
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> Sei nun [mm]\bruch{1}{\wurzel[2]{n}}[/mm] die Majorante und
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] die Minorante, da [mm]\bruch{1}{\wurzel[2]{n}} \ge \bruch{1}{n}[/mm]
> ist. Da wir wissen, dass die Minorante [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
> divergiert, divergiert auch die Reihe
> [mm]\bruch{1}{\wurzel[2]{n}}.[/mm] Kann man das so sagen?
Vorsicht, es ist weder [mm] \bruch{1}{\wurzel[2]{n}} [/mm] Majorante noch [mm] \bruch{1}{n} [/mm] eine Minorante.
Seien zwei Folgen [mm] (a_{n})_{n\ge m}, (b_{n})_{n \ge m} [/mm] gegeben mit
[mm] |a_{n}| \le b_{n} [/mm] für fast alle n.
a) Sei [mm] \summe_{n=m}^{\infty} c_{n} [/mm] eine konvergente Reihe.
Dann konvergiert die Reihe [mm] \summe_{n=m}^{\infty} a_{n} [/mm] absolut UND dann nennt man [mm] \summe_{n=m}^{\infty} c_{n} [/mm] eine konvergente Majorante an die Reihe [mm] \summe_{n=m}^{\infty} a_{n}.
[/mm]
b) Ist hingegen [mm] \summe_{n=m}^{\infty} a_{n} [/mm] divergent, so auch [mm] \summe_{n=m}^{\infty} b_{n} [/mm] und analog nennt man [mm] \summe_{n=m}^{\infty} a_{n} [/mm] eine divergente Minorante an die Reihe [mm] \summe_{n=m}^{\infty} c_{n}.
[/mm]
Nun zur Anwendung: Es gilt [mm] \frac{1}{\sqrt{n}} \ge \frac{1}{n} \forall [/mm] n [mm] \in \IN, [/mm] wegen [mm] \frac{1}{\sqrt{n}} \ge \frac{1}{n} [/mm] <=> [mm] \sqrt{n} \le [/mm] n, und letzteres sieht man durch Quadrieren und der Monotonie der Quadratfolge [mm] a_{n} [/mm] := [mm] n^{2} [/mm] ein.
Folglich ist [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} [/mm] eine divergente Minorante an die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} [/mm] und Letztere deshalb divergent.
> LG DerPinguinagent
Viele Grüße,
X3nion
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