Konvergenz zeigen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{x}=1 [/mm] für jedes x>0. Gehen Sie dabei wie folgt vor: Beginnen Sie mit dem Fall x>1 und definieren Sie sich die Folge [mm] x_{n}=\sqrt[n]{x}-1
[/mm]
a) Man beweise, dass [mm] 0
b) Ist nun [mm] \varepsilon{}>0 [/mm] beliebig, so wähle man ein [mm] N\in\IN [/mm] mit [mm] N>\frac{x-1}{\varepsilon}. [/mm] Benutzen sie die Teilaufgabe a) um zu beweisen das [mm] \sqrt[n]{x} [/mm] gegen 1 konvergiert für x>1
c) Für 0<x<1 betrachten Sie die Folge [mm] \sqrt[n]{1/x}.Was [/mm] gilt für x=1? |
Hallo,
ich hab da bei der a) schon Schwierigkeiten. Ich dachte das geht mit der Bernoulli Ungleichung,
aber dem ist nicht so. Ich habe mir zunächst wie im Hinweis gesagt die Folge [mm] x_{n}=\sqrt[n]{x}-1 [/mm] definiert.
Dann ist [mm] \sqrt[n]{x}=x_{n}+1 \Rightarrow x=(x_{n}+1)^{n}\ge{}1+nx_{n}\Rightarrow \frac{x-1}{n}\ge{}x_n
[/mm]
Echt größer wird es nur für [mm] n\ge{}2 [/mm] laut Wikipedia.
Gibt es da noch andere Möglichkeiten oder war das nur ein Tippfehler auf dem Aufgabenblatt.
Gruß helicopter
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:43 Fr 10.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{x}=1[/mm] für
> jedes x>0. Gehen Sie dabei wie folgt vor: Beginnen Sie mit
> dem Fall x>1 und definieren Sie sich die Folge
> [mm]x_{n}=\sqrt[n]{x}-1[/mm]
> a) Man beweise, dass [mm]0
> [mm]n\in\IN[/mm] gilt.
> b) Ist nun [mm]\varepsilon{}>0[/mm] beliebig, so wähle man ein
> [mm]N\in\IN[/mm] mit [mm]N>\frac{x-1}{\varepsilon}.[/mm] Benutzen sie die
> Teilaufgabe a) um zu beweisen das [mm]\sqrt[n]{x}[/mm] gegen 1
> konvergiert für x>1
> c) Für 0<x<1 betrachten Sie die Folge [mm]\sqrt[n]{1/x}.Was[/mm]
> gilt für x=1?
> Hallo,
>
> ich hab da bei der a) schon Schwierigkeiten. Ich dachte das
> geht mit der Bernoulli Ungleichung,
> aber dem ist nicht so. Ich habe mir zunächst wie im
> Hinweis gesagt die Folge [mm]x_{n}=\sqrt[n]{x}-1[/mm] definiert.
> Dann ist [mm]\sqrt[n]{x}=x_{n}+1 \Rightarrow x=(x_{n}+1)^{n}\ge{}1+nx_{n}\Rightarrow \frac{x-1}{n}\ge{}x_n[/mm]
>
> Echt größer wird es nur für [mm]n\ge{}2[/mm] laut Wikipedia.
zum einen interessiert es eigentlich nicht, ob $0< [mm] x_n [/mm] < [mm] \frac{x_n-1}{n}$ [/mm] für alle
$n [mm] \in \IN$ [/mm] oder für alle natürlichen $n [mm] \ge n_0$ [/mm] mit einem [mm] $n_0 \in \IN\,.$ [/mm] Es geht
ja um den Limes!
Nichtsdestotrotz hast Du natürlich Recht: Wenn Du da eine Aussage für alle
[mm] $n\,$ [/mm] beweisen sollst, dann sollte die auch stimmen.
Du sagst oben nun ($x > [mm] 1\,$): [/mm] $0< [mm] \sqrt[n]{x}-1=x_n [/mm] < [mm] \frac{x-1}{n}$ [/mm] gilt schonmal wegen
Bernoulli für alle natürlichen $n [mm] \ge 2\,.$
[/mm]
> Gibt es da noch andere Möglichkeiten oder war das nur ein
> Tippfehler auf dem Aufgabenblatt.
Ich würde sagen: Tippfehler.
Für [mm] $n=1\,$ [/mm] hast Du einfach
[mm] $$\sqrt[\red{1}]{x}-1=x-1\,.$$
[/mm]
Das ist zwar $> [mm] 0\,$ [/mm] (hier wird ja $x >1 $ vorausgesetzt), aber sicher nicht
echt kleiner als [mm] $\tfrac{x-1}{\red{1}}=x-1\,.$ [/mm] (Es gibt keine Zahl $a [mm] \in \IR$ [/mm] mit $a < [mm] a\,.$)
[/mm]
Beweise also a) für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] MIT $n [mm] \ge 2\,.$
[/mm]
(Es würde übrigens auch reichen, $0 < [mm] x_n \red{\;\le\;}\frac{x-1}{n}$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$
[/mm]
zu beweisen).
P.S. Du könntes auch [mm] $x^n=(1+(x-1))^n=\sum_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose k}(x-1)^k$ [/mm] benutzen,
um die Behauptung im Falle $x > [mm] 1\,$ [/mm] zu folgern. (Kein Wunder, steckt hier
doch prinzipiell die Aussage der Bernoulli-Ungleichung drin, da $x-1 > [mm] 0\,.$)
[/mm]
P.P.S. Der Teil b) ist etwas komisch formuliert (nicht komisch im Sinne von
falsch, sondern ich meine einfach nur, dass man sich das [mm] $\varepsilon$-Gedöns [/mm] hier
eigentlich ersparen kann) - eigentlich folgt aus a) direkt, dass [mm] $\sqrt[n]{x}-1 \to 0\,.$ [/mm]
Mit den Rechenregeln für KONVERGENTE Folgen kann man sofort [mm] $\sqrt[n]{x} \to [/mm] 1$
schließen (alles bei $n [mm] \to \infty$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Hallo, vielen Dank.
> Beweise also a) für alle [mm]n \in \IN[/mm] MIT [mm]n \ge 2\,.[/mm]
> (Es
> würde übrigens auch reichen, [mm]0 < x_n \red{\;\le\;}\frac{x-1}{n}[/mm]
> für alle [mm]n \in \IN[/mm]
> zu beweisen).
Habe ich das nicht schon getan? Muss mir nur noch Gedanken machen wie ich zeige das [mm] x_{n}>0. [/mm] Das ist zwar klar da x>1 da kann die Wurzel nicht kleiner als 1 werden. Auf jeden Fall ist sie nicht 0 und auch nicht negativ. Oder darf ich sogar so argumentieren?
> P.P.S. Der Teil b) ist etwas komisch formuliert (nicht
> komisch im Sinne von
> falsch, sondern ich meine einfach nur, dass man sich das
> [mm]\varepsilon[/mm]-Gedöns hier
> eigentlich ersparen kann) - eigentlich folgt aus a)
> direkt, dass [mm]\sqrt[n]{x}-1 \to 0\,.[/mm]
> Mit den Rechenregeln für KONVERGENTE Folgen kann man
> sofort [mm]\sqrt[n]{x} \to 1[/mm]
> schließen (alles bei [mm]n \to \infty[/mm]).
Ja, ich könnt aber für [mm] \varepsilon{}>0 [/mm] beliebig [mm] N:=\frac{x-1}{\varepsilon} [/mm] setzen und dann wäre
[mm] |\sqrt[n]{x}-1|=x_{n}<\frac{x-1}{N}=\frac{x-1}{\frac{x-1}{\varepsilon}}=\varepsilon [/mm] oder?
Gruß helicopter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 Fr 10.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, vielen Dank.
>
> > Beweise also a) für alle [mm]n \in \IN[/mm] MIT [mm]n \ge 2\,.[/mm]
> >
> (Es
> > würde übrigens auch reichen, [mm]0 < x_n \red{\;\le\;}\frac{x-1}{n}[/mm]
> > für alle [mm]n \in \IN[/mm]
> > zu beweisen).
>
> Habe ich das nicht schon getan?
doch, das hast Du bereits (ich hätte vielleicht besser schreiben sollen, dass
man die Aufgabenstellung besser so hätte schreiben sollen)!
> Muss mir nur noch Gedanken
> machen wie ich zeige das [mm]x_{n}>0.[/mm] Das ist zwar klar da x>1
> da kann die Wurzel nicht kleiner als 1 werden. Auf jeden
> Fall ist sie nicht 0 und auch nicht negativ. Oder darf ich
> sogar so argumentieren?
Na, das ist doch einfach:
Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist [mm] $\sqrt[n]{\cdot}\colon [0,\infty) \to [0,\infty)$ [/mm] streng wachsend.
Du kannst aber auch meinetwegen direkt nachrechnen, dass für $0 < [mm] a,\,b\,$ [/mm] gilt
$$a < b [mm] \iff a^n [/mm] < [mm] b^n\,.$$
[/mm]
(Bevor Du hier jetzt auf Ideen kommst, wie [mm] $(b^n-a^n):(b-a) [/mm] > 0$ nachzurechnen, was
auch ginge, mach's einfach so:
$0 < a < b [mm] \Rightarrow [/mm] a*a < a*b < [mm] b*b,\text{ also }a^2 [/mm] < [mm] b^2 \Rightarrow a^3=a*a^2 [/mm] < [mm] a*b^2 [/mm] < [mm] b*b^2=b^3 \Rightarrow ...\,,$ [/mm] damit hast Du
schnell $a < b [mm] \Rightarrow a^n [/mm] < [mm] b^n$ [/mm] raus. Und [mm] $a^n [/mm] < [mm] b^n \Rightarrow [/mm] a < b$ für $0< [mm] a,b\,$ [/mm] zeigst Du dann einfach mit
einem Widerspruchsbeweis!)
Damit folgt dann [mm] $\sqrt[n]{y} [/mm] > 1 [mm] \iff [/mm] y > [mm] 1^n=1\,.$
[/mm]
> > P.P.S. Der Teil b) ist etwas komisch formuliert (nicht
> > komisch im Sinne von
> > falsch, sondern ich meine einfach nur, dass man sich
> das
> > [mm]\varepsilon[/mm]-Gedöns hier
> > eigentlich ersparen kann) - eigentlich folgt aus a)
> > direkt, dass [mm]\sqrt[n]{x}-1 \to 0\,.[/mm]
> > Mit den Rechenregeln für KONVERGENTE Folgen kann man
> > sofort [mm]\sqrt[n]{x} \to 1[/mm]
> > schließen (alles bei [mm]n \to \infty[/mm]).
>
> Ja, ich könnt aber für [mm]\varepsilon{}>0[/mm] beliebig
> [mm]N:=\frac{x-1}{\varepsilon}[/mm] setzen
Nicht ganz, denn dann wäre nicht notwendigerweise $N [mm] \in \IN\,.$ [/mm] Setze halt
[mm] $$N:=\lfloor \tfrac{x-1}{\varepsilon}\rfloor +1=\lceil \tfrac{x-1}{\varepsilon}\rceil\,,$$
[/mm]
wenn bei Euch $N [mm] \in \IN$ [/mm] auch gefordert wird.
> und dann wäre
>
> [mm]|\sqrt[n]{x}-1|=x_{n}<\frac{x-1}{N}=\frac{x-1}{\frac{x-1}{\varepsilon}}=\varepsilon[/mm]
...für alle $n [mm] \ge [/mm] ...$?
> oder?
Da fehlt halt, für welche [mm] $n\,$ [/mm] das gilt, aber ansonsten: Ja!
P.S. Mit meinem oben definieren [mm] $N\,$ [/mm] gilt die $< [mm] \varepsilon$-Abschätzung [/mm] für alle
natürlichen $n [mm] \ge N+1\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Hallo,
ok vielen Dank. Was hat es nun mit der c) auf sich, wieso nimmt man einfach mal 1/x?
für 0<x<1 ist 1/x > 1 und damit kann ich a) und b) dadrauf anwenden.
Für x=1 sieht man ja sofort dass der Grenzwert 1 ist.
Gruß helicopter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Fr 10.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> ok vielen Dank. Was hat es nun mit der c) auf sich, wieso
> nimmt man einfach mal 1/x?
Du weißt nun: [mm] $\sqrt[n]{x} \to [/mm] 1$ für alle $x > [mm] 1\,.$ [/mm]
> für 0<x<1 ist 1/x > 1 und damit kann ich a) und b)
> dadrauf anwenden.
Eben: Für $0 < x < [mm] 1\,$ [/mm] folgt $y:=1/x > 1$ und nach dem zuvor gezeigten daher
[mm] $\sqrt[n]{y} \to 1\,.$ [/mm] Also [mm] $\sqrt[n]{1/x} \to [/mm] 1$ und damit [mm] $\sqrt[n]{\frac{1}{x}}=\frac{1}{\sqrt[n]{x}} \to 1\,.$
[/mm]
Wenn ihr Grenzwertsätze für KONVERGENTE Folgen benutzen dürft, folgt
daraus sofort auch [mm] $\sqrt[n]{x} \to [/mm] 1$ für $0 < x < [mm] 1\,$ [/mm] - beachte dabei: [mm] $\sqrt[n]{x}=\tfrac{1}{1/\sqrt[n]{x}}=\tfrac{1}{\sqrt[n]{1/x}}\,.$
[/mm]
(Falls ihr diese Grenzwertsätze nicht benutzen dürft, dann machst Du halt
einfach wieder ein [mm] $\varepsilon$-$N_\varepsilon$-Argument...)
[/mm]
> Für x=1 sieht man ja sofort dass der Grenzwert 1 ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:02 Fr 10.05.2013 | | Autor: | helicopter |
Hallo,
ich weiß nicht ob die Sätze bereits bewiesen wurden, ich habe Analysis 1 schon gehört und auch bestanden, aber
vieles nicht verstanden und bearbeite jetzt mal aus "Spaß" die Übungszettel von der aktuellen Ana-1 Vorlesung
die ich nicht besuche.
Vielen Dank für die Hilfe.
Gruß helicopter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:07 Fr 10.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> ich weiß nicht ob die Sätze bereits bewiesen wurden, ich
> habe Analysis 1 schon gehört und auch bestanden, aber
> vieles nicht verstanden
oha - woran liegt's? Aber gut, dass Du sagst, dass Du das nochmal "richtig"
machen musst!
> und bearbeite jetzt mal aus "Spaß"
> die Übungszettel von der aktuellen Ana-1 Vorlesung
> die ich nicht besuche.
Kannst Du in's Skript reingucken (also ist das online verfügbar)? Aber die
Aufgabe da ist relativ elementar lösbar, also auch ohne diese
Grenzwertsätze. (Eigentlich sind natürlich auch die kompliziertesten solcher
Aufgaben elementar lösbar, nur manchmal ist das einfach ein sehr viel
längerer Weg, der einfach umständlich ist oder zumindest so wirkt.
Außerdem ist's immer gut, wenn man "nach Regeln" einfach rechnen kann,
ohne da mit "für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ist nachzuweisen..." arbeiten muss!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:31 Fr 10.05.2013 | | Autor: | helicopter |
Hallo,
> oha - woran liegt's? Aber gut, dass Du sagst, dass Du das
> nochmal "richtig"
> machen musst!
Ich weiß nicht, dass es am Prof lag wäre ja eine zu bequeme Ausrede. Ich habe halt nur das nötigste gemacht
und kaum nachgearbeitet weil ich mit der Theoretischen Mechanik und Thermodynamik genug zu tun hatte.
Die Konvergenz von Folgen/Reihen ist mir eigentlich klar den Rest (viel war es ja nicht mehr, Differenzierbarkeit/Integralrechnung) muss ich ein
wenig nacharbeiten, aber ich dachte mir das es definitiv nicht schaden wird auch den Rest des Stoffes zu wiederholen.
> Kannst Du in's Skript reingucken (also ist das online
> verfügbar)?
Nein rücken die Professoren an unserer Uni generell nicht raus, weil dann angeblich keiner mehr zur Vorlesung kommt.
> Aber die
> Aufgabe da ist relativ elementar lösbar, also auch ohne
> diese
> Grenzwertsätze.
Ja die Rechenregeln für die Grenzwerte falls diese existieren sind mir bekannt, ich wollte es halt so machen wie das verlangt wird.
Gruß helicopter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:52 Fr 10.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> > oha - woran liegt's? Aber gut, dass Du sagst, dass Du das
> > nochmal "richtig"
> > machen musst!
>
> Ich weiß nicht, dass es am Prof lag wäre ja eine zu
> bequeme Ausrede. Ich habe halt nur das nötigste gemacht
> und kaum nachgearbeitet weil ich mit der Theoretischen
> Mechanik und Thermodynamik genug zu tun hatte.
alleine Thermodynamik ist ja schon ein wenig anstrengend ^^
> Die Konvergenz von Folgen/Reihen ist mir eigentlich klar
> den Rest (viel war es ja nicht mehr,
> Differenzierbarkeit/Integralrechnung) muss ich ein
> wenig nacharbeiten, aber ich dachte mir das es definitiv
> nicht schaden wird auch den Rest des Stoffes zu
> wiederholen.
>
> > Kannst Du in's Skript reingucken (also ist das online
> > verfügbar)?
>
> Nein rücken die Professoren an unserer Uni generell nicht
> raus, weil dann angeblich keiner mehr zur Vorlesung kommt.
Irgendwie nicht so toll (die Brgündung ist zwar nachvollziehbar, aber
erfahrungsgemäß ungerechtfertigt: Die, die nicht zur Vorlesung kommen
wollen, kommen nicht und machen sich Kopien von ihren Kommilitonen...).
Zumal man aber das Skript auch einfach von den früheren Studenten
bekommen kann, ist das kein Problem. Ich kann Dir auch die Seite von
meinem alten Matheprof geben, da gibt's Skript inklusive Übungsaufgaben.
Ist allerdings halt wirklich rein mathematisch, und ich denke, dass Du eher
"Mathematik für Physiker" brauchst bzw. willst.
> > Aber die
> > Aufgabe da ist relativ elementar lösbar, also auch
> ohne
> > diese
> > Grenzwertsätze.
>
> Ja die Rechenregeln für die Grenzwerte falls diese
> existieren sind mir bekannt, ich wollte es halt so machen
> wie das verlangt wird.
Klar, aber immer auch im Auge behalten, wenn Du Neues lernst, dass es
damit evtl. "eleganter" geht.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:19 Fr 10.05.2013 | | Autor: | helicopter |
Hallo,
> alleine Thermodynamik ist ja schon ein wenig anstrengend
> ^^
Ein Witz im Vergleich zur Theoretischen Mechanik :)
> Irgendwie nicht so toll (die Brgündung ist zwar
> nachvollziehbar, aber
> erfahrungsgemäß ungerechtfertigt: Die, die nicht zur
> Vorlesung kommen
> wollen, kommen nicht und machen sich Kopien von ihren
> Kommilitonen...).
Genau so ist es auch.
> Ich kann Dir auch die
> Seite von
> meinem alten Matheprof geben, da gibt's Skript inklusive
> Übungsaufgaben.
> Ist allerdings halt wirklich rein mathematisch, und ich
> denke, dass Du eher
> "Mathematik für Physiker" brauchst bzw. willst.
Nein warum, wir hören Analysis 1,2 und Lineare Algebra 1 zusammen mit Mathematikern.
Für rumrechnen gab es "Rechentechniken" in der ersten theoretischen Physik Vorlesung.
Ich höre als Nebenfach Lineare Algebra 2 dieses Semester und dann will ich mir noch Funktionentheorie geben,
die brauchen wir nämlich auch.
Gruß helicopter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:42 Fr 10.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Hallo,
>
> > alleine Thermodynamik ist ja schon ein wenig anstrengend
> > ^^
> Ein Witz im Vergleich zur Theoretischen Mechanik :)
findest Du? Schade, dass Du mir kein Skript zur Theo.-Mecha. zeigen
kannst. Aber die, die ich bisher sah, fand' ich jetzt nicht so anstrengend.
Thermodynamik kann sich vieler Methoden der höheren Mathematik
bedienen, und tut's auch, die dort aber oft eher "lasch" motiviert werden.
(Legendre-Transformation etc. pp.)
Ist vielleicht auch ein wenig die Frage, wie streng mathematisch das
aufgezogen wird. Wenn man's richtig macht...
> > Irgendwie nicht so toll (die Brgündung ist zwar
> > nachvollziehbar, aber
> > erfahrungsgemäß ungerechtfertigt: Die, die nicht zur
> > Vorlesung kommen
> > wollen, kommen nicht und machen sich Kopien von ihren
> > Kommilitonen...).
>
> Genau so ist es auch.
Eben. Vielleicht sollte mal immer jemand die Skripte in Latex abtippen.
Aber nicht dann den Professoren geben, damit die die dann verkaufen,
auch, wenn es natürlich ihre Vorlesung ist. Ich weiß gar nicht, wie das
rechtlich aussieht, aber im Freundeskreis darf man sowas dann sicher
einfach weiterreichen?
> > Ich kann Dir auch die
> > Seite von
> > meinem alten Matheprof geben, da gibt's Skript inklusive
> > Übungsaufgaben.
> > Ist allerdings halt wirklich rein mathematisch, und ich
> > denke, dass Du eher
> > "Mathematik für Physiker" brauchst bzw. willst.
>
> Nein warum, wir hören Analysis 1,2 und Lineare Algebra 1
> zusammen mit Mathematikern.
> Für rumrechnen gab es "Rechentechniken" in der ersten
> theoretischen Physik Vorlesung.
Okay. Ich hatte mal in "Mathematik für Physiker"-Skripte reingeguckt. Schlecht
sind die nicht, aber die Vorgehensweise an manchen Stellen etwas... anders. 
> Ich höre als Nebenfach Lineare Algebra 2 dieses Semester
> und dann will ich mir noch Funktionentheorie geben,
> die brauchen wir nämlich auch.
Funktionentheorie ist auch etwas sehr spannendes.  (Leider habe ich
auch vieles davon schon wieder vergessen, aber da gibt's auch interessante
geometrische Aspekte (insbesondere der Ebene)).
Nun gut: Wenn Du 'n Link haben willst, erinnere mich einfach nochmal
dran!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:36 Sa 11.05.2013 | | Autor: | Regina13 |
Hallo Marcel, würde gerne auch das Link haben wollen, wäre das möglich?
Mfg Regina
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