Konvergenzbereich < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:24 Do 20.01.2005 | | Autor: | Syrena |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Grüß euch.
Ich sitz jetzt schon etwas länger vor Aufgaben bei denen ich den Konvergenzbereich von Funktionen bestimmen soll und ihr Verhalten am Rande überprüfen soll. Leider hab ich keine Ahnung, wie ich das angehe. Vielleicht kann mir jmd. was darüber erzählen oder es anhand eines Beispieles erklären?!
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Verbesserte Version (hatte die falsche Formel zur Berechnung des Konv.radius angegeben; die Rechnung, also die hingeschriebenen Zahlenwerte haben aber gestimmt).
Meinst du das maximale Konvergenzintervall bei Potenzreihen?
So, wie's für die Konvergenz von Reihen bestimmt Kriterien gibt (z.B. Quotienten- und Wurzelkriterium), so kann man auch bei PRen vorgehen.
Mal ein Beispiel: [mm]\summe_{n=1}^{\infty} {\bruch{1}{n} \cdot x^n}[/mm].
Das [mm]\bruch{1}{n}[/mm] definiert man sich als Folge [mm]a_n[/mm], und geht dann so vor: erstmal den Grenzwert [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} {\bruch{a_{n+1}}{a_n}}[/mm] bestimmen. Hier gilt: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} {\bruch{\bruch{1}{n+1}}{\bruch{1}{n}}}\ =\ \limes_{n\rightarrow\infty}{\bruch{n}{n+1}}=1:=r[/mm].
Somit hat man den Konvergenzradius [mm]\rho=\bruch{1}{r}=\bruch{1}{1}=1[/mm].
Da der Entwicklungspunkt der PR [mm]x_0=0[/mm] ist, konvergiert die Reihe also auf jeden Fall für alle [mm]-1
Um die Konvergenz an den Rändern zu untersuchen, setzt man nacheinander bei Ränder (-1 und 1) für das x in die PR ein, und bestimmt bei diesen sich ergebenden Reihen, ob sie konvergieren, oder nicht.
Wenn man hier (-1) einsetzt: [mm]\summe_{n=1}^{\infty} {(-1)^n \cdot \bruch{1}{n}[/mm], und das konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium.
Wenn man die andere Grenze [mm]x=1[/mm] einsetzt, dann divergiert die Reihe (harmonische Reihe).
Somit konvergiert die PR für [mm]-1 \le x < 1[/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:59 Fr 21.01.2005 | | Autor: | Nilez |
Hallo!
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> Mal ein Beispiel: [mm]\summe_{n=1}^{\infty} {\bruch{1}{n} \cdot x^n}[/mm].
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> Das [mm]\bruch{1}{n}[/mm] definiert man sich als Folge [mm]a_n[/mm], und geht
> dann so vor: erstmal den Grenzwert
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} {a_n}[/mm] bestimmen. Hier gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} {\bruch{1}{n}}=1:=r[/mm].
> Somit
> hat man den Konvergenzradius
> [mm]\rho=\bruch{1}{r}=\bruch{1}{1}=1[/mm].
Um den Konvergenzradius einer Potenzreihe zu bestimmen musst du wie folgt vorgehen:
Konvergenzradius... [mm] \delta:= \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|a_{n}|}{|a_{n+1}|}, [/mm] denn:
Konvergenz beim Quotientenkriterium liefert:
(limes steht für Limes Superior)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}|x-x0|<1 \gdw
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}< \bruch{1}{|x-x0|} \gdw
[/mm]
[mm] |x-x0|<\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|a_{n}|}{|a_{n+1}|}
[/mm]
Für Divergenz gilt nach QK:
(limes steht für Limes Inferior)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}|x-x0|>1 \gdw
[/mm]
[mm] |x-x0|>\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|a_{n}|}{|a_{n+1}|}
[/mm]
Also liegt [mm] \delta [/mm] zwischen Limes Inf. und Limes Sup.
Bei Konvergenz der PR gilt limesup = limesinf = limes und somit das am Anfang erwähnte.
Also auf dein Bsp. angewandt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n+1}{n}=1=:\delta
[/mm]
Grüße Nilez
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:54 Fr 28.01.2005 | | Autor: | e.kandrai |
Weiß auch nicht genau, was ich da für'n Blödsinn geschrieben habe. Was ich geschrieben hab, war Käs, aber der Grenzwert hat gestimmt.
Naja, ich werd's dann jetzt mal verbessern.
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