Konvergenzbeweis von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:07 Mi 22.07.2009 | | Autor: | gemorra |
Guten Tag, seit gestern beschäftige ich mich mit dem Thema Folgen und deren Konvergenz. Als ersten für mich schweren Block sind da die Konvergenz-beweise:
Habe ich beispielsweise die Folge:
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
Dann ist mir durchaus schon klar, dass sie gegen null konvergiert. Ich verstehe auch die Bedingung, dass eine Folge konvergent ist wenn für alle [mm] \varepsilon [/mm] >0 gilt, dass es ein [mm] n_{\varepsilon} [/mm] gibt bei dem alle n [mm] \ge n_{\varepsilon} [/mm] einen Abstand vom Grenzwert haben, der kleiner oder gleich epsilon ist.
Scheint mir auch recht logisch... Nur kann ich nirgens finden, wie genau ich soetwas beweise. Klar finde ich genug Beispiele von Rechnungen. Da wird aber laufend abgeschätzt, irgendwas ersetzt und nie erklärt wieso überhaupt.
Bei [mm] a_{n} [/mm] finde ich [mm] limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n}) [/mm] = 0
Wenn ich dann in die Definition einsetze:
[mm] |0-a_{n}| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
weiß ich schon nicht weiter
[mm] \bruch{1}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Nun kann ich noch sagen für n > [mm] \bruch{1}{\varepsilon}gilt, [/mm] dass [mm] |0-a_{n}| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] ist
was bringt mir das? Ich hätte genausogut -2-1/n < [mm] \varepsilon [/mm] nehmen können falls ich fälschlicherweise -2 als grenzwert raus bekommen hätte und hätte dann [mm] -2-\bruch{1}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] raus also für alle n > [mm] \bruch{-1}{2+e} [/mm] //Gibt wahrscheinlich ein besseres Beispiel, bei dem was sinnnvolleres rauskommt, da ja n [mm] \in \IN [/mm] sein muss
Wie man unschwer erkennen kann, weiß ich noch garnicht wie man so eine Aufgabe überhaupt angeht.
Ich wäre über einige nützliche Hilfen sehr dankbar.
MfG
Gemorra
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo gemorra,
> Guten Tag, seit gestern beschäftige ich mich mit dem Thema
> Folgen und deren Konvergenz. Als ersten für mich schweren
> Block sind da die Konvergenz-beweise:
>
> Habe ich beispielsweise die Folge:
>
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
>
> Dann ist mir durchaus schon klar, dass sie gegen null
> konvergiert. Ich verstehe auch die Bedingung, dass eine
> Folge konvergent ist wenn für alle [mm]\varepsilon[/mm] >0 gilt,
> dass es ein [mm]n_{\varepsilon}[/mm] gibt bei dem alle n [mm]\ge n_{\varepsilon}[/mm]
> einen Abstand vom Grenzwert haben, der kleiner oder gleich
> epsilon ist.
>
> Scheint mir auch recht logisch... Nur kann ich nirgens
> finden, wie genau ich soetwas beweise. Klar finde ich genug
> Beispiele von Rechnungen. Da wird aber laufend
> abgeschätzt, irgendwas ersetzt und nie erklärt wieso
> überhaupt.
>
> Bei [mm]a_{n}[/mm] finde ich [mm]limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n})[/mm] = 0
>
> Wenn ich dann in die Definition einsetze:
> [mm]|0-a_{n}|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> weiß ich schon nicht weiter
>
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
>
> Nun kann ich noch sagen für n > [mm]\bruch{1}{\varepsilon}gilt,[/mm] dass [mm]|0-a_{n}|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> ist
>
> was bringt mir das?
Damit hast du die Konvergenz gezeigt.
Wenn du [mm] $n_{\varepsilon}>\frac{1}{\varepsilon}$ [/mm] wählst, so gilt für alle [mm] $n\ge n_{\varepsilon}$: $|a_n-0|=\left|\frac{1}{n}-0\right|=\frac{1}{n}\le\frac{1}{n_{\varepsilon}}<\frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}}=\varepsilon$
[/mm]
Also genau das, was zu zeigen ist.
Man ist ja nicht am kleinsten [mm] $n_{\varepsilon}$, [/mm] das es tut, interessiert, wenn du aber dieses unbedingt angeben möchtest, so wähle [mm] $n_{\varepsilon}=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+1$ [/mm] (Gaußklammer)
Das ist das kleinste, das es tut und außerdem eine nat. Zahl
Das Vorgehen ist so, dass man sich ein bel. [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] vorgibt und auf einem Schmierblatt sich den Betrag [mm] $|a_n-GW|$ [/mm] anschaut und versucht, ihn so abzuschätzen, dass [mm] $<\varepsilon$ [/mm] dabei rauskommt und sich so das anzugebende [mm] $n_{\varepsilon}$ [/mm] konstruiert.
Genau das haben wir oben gemacht: Vermutung: GW ist 0, also [mm] $|a_n-0|=\frac{1}{n}$ [/mm] Das soll [mm] $<\varepsilon$ [/mm] sein, also [mm] $\frac{1}{n}\overset{!}{<}\varepsilon$ [/mm] ... damit [mm] $n>\frac{1}{\varepsilon}$
[/mm]
Erst nachher in der Reinschrift schreibt man es schön in der Reihenfolge, die die Definition diktiert, auf, also
"Sei [mm] $\varepsilon>0$, [/mm] wähle [mm] $n_{\varepsilon}=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+1$, [/mm] dann gilt für alle [mm] $n\ge n_{\varepsilon}$: $\left|\frac{1}{n}-0\right|<...<...<\varepsilon$"
[/mm]
Woher das [mm] $n_{\varepsilon}$ [/mm] im Endeffekt kommt, ob es vom Himmel gefallen ist, interessiert nachher nicht, es ist ja lediglich die Existenz dieses [mm] $n_{\varepsilon}$ [/mm] gefragt, wie du darauf kommst, ist deine Sache (Glaskugel?) 
Hauptsache, du kannst es schlussendlich angeben
> Ich hätte genausogut -2-1/n < [mm]\varepsilon[/mm] nehmen können falls ich fälschlicherweise -2
> als grenzwert raus bekommen hätte und hätte dann
> [mm]-2-\bruch{1}{n}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] raus also für alle n >
> [mm]\bruch{-1}{2+e}[/mm] //Gibt wahrscheinlich ein besseres
> Beispiel, bei dem was sinnnvolleres rauskommt, da ja n [mm]\in \IN[/mm]
> sein muss
Neenee, was ist mit den Beträgen? Wo sind die hin? Die kannst du nicht so ohne weiteres weglassen ...
Wenn du den GW -2 annimmst, so solltst du auch [mm] $\left|\frac{1}{n}-(-2)\right|=\left|\frac{1}{n}+2\right|$ [/mm] betrachten.
Und das musst du abschätzen und kleiner kriegen als jedes noch so winzige vorgegebene [mm] $\varepsilon>0$
[/mm]
Aber das wird dir zB. für [mm] $\varepsilon=\frac{1}{2}$ [/mm] kaum gelingen.
>
>
> Wie man unschwer erkennen kann, weiß ich noch garnicht wie
> man so eine Aufgabe überhaupt angeht.
Strategie siehe oben.
Versuche dich mal an der Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}=\frac{3n+1}{n+1}$
[/mm]
Deren GW für [mm] $n\to\infty$ [/mm] kannst du schnell "erraten", dann versuche mal einen [mm] $\varepsilon$-Beweis
[/mm]
> Ich wäre über einige nützliche Hilfen sehr dankbar.
>
> MfG
> Gemorra
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:28 Do 23.07.2009 | | Autor: | gemorra |
Hey vielen Dank,
so richtig klick gemacht hats noch nicht. Ich versuch es einfach mal an der Aufgabe:
[mm] a_{n}=\bruch{3n+1}{n+1}
[/mm]
Der Grenzwert ist hier 3, da
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\bruch{3n+1}{n+1} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\bruch{3+\bruch{1}{n}}{1+ \bruch{1}{n}} [/mm] = 3 ist
Wenn ich nun [mm] |a_{n}-3|
Allerdings schätze ich nichts ab, sondern forme nur um...
Kann ich denn jetzt einfach sagen, Für n > [mm] \bruch{2}{e} [/mm] - 1 und für alle e>0 gilt: |a{n}-3|<e ?? und wäre damit fertig?
Irgendwie ist mir das alles zu schwammig. Vieleicht kannst du die Aufgabe berichtigen, und ggf. eine neue geben.
Liebe Grüße
Gemorra
|
|
|
| |
|
Hallo Gemorra!
Du bist fertig und hast alles richtig gemacht. In einigen (wenigen) Fällen wie diesen kommt man auch mittels reiner Umformung ans Ziel, ohne abschätzen zu müssen.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 Do 23.07.2009 | | Autor: | gemorra |
Gut, das freut mich schonmal.
Kann mir jemand noch weitere Aufgaben geben? Die vlt. etwas schwerer sind, aber nicht gleich zum verzweifeln? ;)
Lg Gemorra
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:51 Do 23.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Probier mal [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{sin(n)}{n^2}
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 Do 23.07.2009 | | Autor: | gemorra |
Gut, ich probier mal:
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{sin(n)}{n^{2}}
[/mm]
Ich würde dann abschätzen, dass sin(n) [mm] \le [/mm] 1 ist und dann würde ich als Grenzwert 0 rausbekommen...
Wenn ich nun einsetze:
[mm] |a_{n} [/mm] - 0| = [mm] \bruch{sin(n)}{n^{2}} \le \bruch{1}{n^{2}} [/mm] < e => n > [mm] \bruch{1}{\wurzel{e}} [/mm]
könnte ich auch einfach sagen: [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] < [mm] \bruch{1}{n} [/mm] < e => n > 1/e ???
Und wo ist der Unterschied?
Eigentlich nähert sich die Folge ja schwankend der 0, also immer zwischen [mm] 1/n^2 [/mm] und 0 selbst. Sie berührt ja sogar 0 alle 180 n...
Ist das egal?
gemorra
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Gut, ich probier mal:
>
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{sin(n)}{n^{2}}[/mm]
>
> Ich würde dann abschätzen, dass sin(n) [mm]\le[/mm] 1 ist und dann
> würde ich als Grenzwert 0 rausbekommen...
GW stimmt, aber Achtung mit der Abschätzung, du musst betraglich abschätzen [mm] $\left|\frac{\sin(n)}{n^2}\right|=\frac{|\sin(n)|}{n^2}\le \frac{1}{n^2}$ [/mm] ...
>
> Wenn ich nun einsetze:
>
> [mm]|a_{n}[/mm] - 0| = [mm]\bruch{sin(n)}{n^{2}} \le \bruch{1}{n^{2}}[/mm] < e => n > [mm]\bruch{1}{\wurzel{e}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> könnte ich auch einfach sagen: [mm]\bruch{1}{n^{2}}[/mm] < [mm]\bruch{1}{n}[/mm] < e => n > 1/e ???
> Und wo ist der Unterschied?
Nun, beide Wahlen für [mm] $n_{\varepsilon}$ [/mm] sind ok.
Die zweite Abschätzung ist etwas "gröber", aber so lange du stets in die Richtige Richtung abschätzt, also [mm] $...<...<...<\varepsilon$, [/mm] ist das in Ordnung.
Die erste Wahl liefert dir für kleines [mm] $\varepsilon$ [/mm] einen "kleineres Folgenglied" [mm] $n_{\varepsilon}$, [/mm] ab dem die Abschätzung schon gilt
>
> Eigentlich nähert sich die Folge ja schwankend der 0, also
> immer zwischen [mm]1/n^2[/mm] und 0 selbst. Sie berührt ja sogar 0
> alle 180 n...
> Ist das egal?
Darum ja die betragliche Abschätzung. Das [mm] $n_{\varepsilon}$ [/mm] gibt dir - wenn du die ganze Sache graphish betrachtest - die Stelle auf der x-Achse an, ab der alle weiteren Folgenglieder in einem Streifen der Breite [mm] $2\varepsilon$ [/mm] um den Grenzwert liegen.
Male dir mal sone alternierende Nullfolge auf ...
>
> gemorra
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Do 23.07.2009 | | Autor: | gemorra |
Hi,
ja kann ich mir schon vorstellen so eine Epsilon-Umgebung.
Wäre schön wenn ihr mir immer Aufgaben posten könnten, bei denen der Schwierigkeitsgrad leicht erhöht wird...
Danke nochmals
gemorra
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Do 23.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
> ja kann ich mir schon vorstellen so eine
> Epsilon-Umgebung.
>
> Wäre schön wenn ihr mir immer Aufgaben posten könnten,
> bei denen der Schwierigkeitsgrad leicht erhöht wird...
Bitteschön: [mm] $a_n [/mm] = [mm] sin(\wurzel{n+1})-sin(\wurzel{n})$
[/mm]
Hinweis: Mittelwertsatz
FRED
>
> Danke nochmals
>
> gemorra
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Fr 24.07.2009 | | Autor: | gemorra |
Hey,
ja das ist für mich schon viel komplizierter.
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] sin(\wurzel{n+1}) [/mm] - [mm] sin(\wurzel{n})
[/mm]
Den Grenzwert einfach als => 0 zu bezeichnen ist sicher verkehrt.
Wenn ich mir eine Funktion dazu plotter schwankt sie zwischen -0,15 und 1,85
[mm] a_{n} [/mm] = sin( [mm] \wurzel{n+1} [/mm] ) - sin( [mm] \wurzel{n} [/mm] )
Der Mittelwertsatz sagt, dass ich zwischen zwei Punkten einer Funktion immer eine momentane Steigung finde, die der durschnittlichen Steigung zwischen den beiden Punkten entspricht. Wie mir das jetzt was bringen soll versteh ich leider nicht.
[mm] \bruch{sin( \wurzel{n+1} ) - sin (\wurzel{n} )}{ \wurzel{n+1}-\wurzel{n} }
[/mm]
ist die durschnittliche Steigung zwischen [mm] \wurzel{n+1} [/mm] und [mm] \wurzel{n}
[/mm]
=> d.h. zwischen [mm] \wurzel{n+1} [/mm] und [mm] \wurzel{n} [/mm] muss mind. einmal gelten:
[mm] \bruch{sin( \wurzel{n+1} ) - sin( \wurzel{n} )}{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}} [/mm] = cos( [mm] \wurzel{x+1} [/mm] ) - cos( [mm] \wurzel{x} [/mm] ). aber gilt der Satz nicht nur bei f(x)| x [mm] \in \IR [/mm] ??? Und wenn das egal ist was bringt mir das ganze???
Beim Termumformen habe ich das Problem, dass ich ja nicht einfach sagen kann | sin( [mm] \wurzel{n+1} [/mm] ) - sin [mm] (\wurzel{n} [/mm] ) - 0| < 2 < e
Außerdem wär dann für e= 0,5 die konvergenzbedingung nicht erfüllt.
Vlt. noch einen kleinen Schubs in die richrige Richtung?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 Fr 24.07.2009 | | Autor: | wogie |
Hi,
> Der Mittelwertsatz sagt, dass ich zwischen zwei Punkten
> einer Funktion immer eine momentane Steigung finde, die der
> durschnittlichen Steigung zwischen den beiden Punkten
> entspricht. Wie mir das jetzt was bringen soll versteh ich
> leider nicht.
>
> [mm]\bruch{sin( \wurzel{n+1} ) - sin (\wurzel{n} )}{ \wurzel{n+1}-\wurzel{n} }[/mm]
>
> ist die durschnittliche Steigung zwischen [mm]\wurzel{n+1}[/mm] und
> [mm]\wurzel{n}[/mm]
>
> => d.h. zwischen [mm]\wurzel{n+1}[/mm] und [mm]\wurzel{n}[/mm] muss mind.
> einmal gelten:
> [mm]\bruch{sin( \wurzel{n+1} ) - sin( \wurzel{n} )}{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}[/mm]
> = cos( [mm]\wurzel{x+1}[/mm] ) - cos( [mm]\wurzel{x}[/mm] ).
Formuliers eher mal so: es existiert ein [mm] $x\in(\sqrt{n},\sqrt{n+1})$, [/mm] so dass
[mm]\bruch{sin( \wurzel{n+1} ) - sin( \wurzel{n} )}{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}=cos(x)[/mm]
ist. Das is schonmal ziemlich cool, denn dann kannst du
[mm] $|\sin(\wurzel{n+1})-\sin( \wurzel{n} [/mm] )|$
abschätzen.
Hoff, das is der richtige schubs. vlg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 Sa 25.07.2009 | | Autor: | gemorra |
danke, ich versuchs mal so weiter.
Abschätzen:
[mm] |\sin(\wurzel{n+1}) [/mm] - [mm] \sin(\wurzel{n})| [/mm] = | [mm] \cos(x) [/mm] * [mm] (\wurzel{n+1}-\wurzel{n})| [/mm] //?? Kann ich das einfach aus dem Mittelwertsatz so folgern?
Wenn ja würde ich weitere Umformungen machen, leider unwissend ob sie möglich sind: Wobei ich hier das Problem habe den Betrag aufzulösen.
Ich könnte ja auch cos(x) als >=-1 abschätzen dann käm => -1 raus...
<= 1 * [mm] |\wurzel{n+1}-\wurzel{n}| [/mm] = [mm] \wurzel{n+1}-\wurzel{n} [/mm] <= n+1 - n => 1
Dann würde die Folge gegen 1 konvergieren. (zumindest alterniert sie um 1)
Beim Beweis:
[mm] |s_{n} [/mm] - 1| = [mm] |\sin(\wurzel{n+1}) [/mm] - [mm] \sin(\wurzel{n}) [/mm] - 1| ... 0<e
Ob das so wirklich richtig ist...?
Irgendwie versteht ich den Zusammenhang zum Mittelwertsatz auch nicht so wirklich.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 Sa 25.07.2009 | | Autor: | wogie |
> danke, ich versuchs mal so weiter.
>
> Abschätzen:
>
> [mm]|\sin(\wurzel{n+1})[/mm] - [mm]\sin(\wurzel{n})|[/mm] = | [mm]\cos(x)[/mm] *
> [mm](\wurzel{n+1}-\wurzel{n})|[/mm] //?? Kann ich das einfach aus
> dem Mittelwertsatz so folgern?
>
> Wenn ja würde ich weitere Umformungen machen, leider
> unwissend ob sie möglich sind: Wobei ich hier das Problem
> habe den Betrag aufzulösen.
> Ich könnte ja auch cos(x) als >=-1 abschätzen dann käm
> => -1 raus...
den Betrag vom cos kannst du nur so abschätzen [mm] $|\cos(x)|\leq [/mm] 1$
>
> <= 1 * [mm]|\wurzel{n+1}-\wurzel{n}|[/mm] = [mm]\wurzel{n+1}-\wurzel{n}[/mm]
gut, eig. bist du kurz vom ziel. Versuch mal, den Term geeignet zu erweitern.
> <= n+1 - n => 1
>
> Dann würde die Folge gegen 1 konvergieren. (zumindest
> alterniert sie um 1)
Nee. Damit hättest du nur gezeigt, dass [mm] $\sin(\wurzel{n+1})-\sin(\wurzel{n})|$ [/mm] kleiner als 1 ist (was zwar toll ist, aber nix bringt). Du willst zeigen, dass dieser Ausdruck für geeignetes $n$ kleiner wird als ein beliebiges [mm] $\varepsilon$.
[/mm]
>
> Beim Beweis:
>
> [mm]|s_{n}[/mm] - 1| = [mm]|\sin(\wurzel{n+1})[/mm] - [mm]\sin(\wurzel{n})[/mm] - 1|
> ... 0<e
>
> Ob das so wirklich richtig ist...?
>
> Irgendwie versteht ich den Zusammenhang zum Mittelwertsatz
> auch nicht so wirklich.
Der MWS hat dir die ausgangsgleichung für deine abschätzungen geliefert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Sa 25.07.2009 | | Autor: | gemorra |
achsooo,
[mm] \wurzel{n+1}-\wurzel{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}} [/mm]
Das geht gegen 0... Wenn ich gröber Abschätze: [mm] \bruch{1}{2n} [/mm] <e
=> Ab [mm] n>\bruch{1}{2e} [/mm] gilt für alle e> 0: [mm] |\sin(\wurzel{n+1})-\sin(\wurzel{n}) [/mm] - 0|..... < [mm] \bruch{1}{2n} [/mm] <e
Damit müsste ich fertig sein :) ?
Falls ja gerne eine neue ;)
Also wende ich den MWS immer an wenn da soetwas wie f(n) - f(n+y) steht? [mm] y\in\IN
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> achsooo,
>
> [mm]\wurzel{n+1}-\wurzel{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}[/mm]
genau so!
>
> Das geht gegen 0... Wenn ich gröber Abschätze:
> [mm]\bruch{1}{2n}[/mm] <e
Na, diese Abschätzung musst du nochmal überprüfen! Um einen (positiven) Bruch größer zu machen, kannst du den Zähler vergrößern und/oder den Nenner verkleinern, du hast ihn aber vergrößert
Besser: [mm] $\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} [/mm] \ < \ [mm] \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=\frac{1}{2\sqrt{n}}$
[/mm]
Und das soll [mm] $<\varepsilon$ [/mm] sein, also [mm] $\frac{1}{2\sqrt{n}}\overset{!}{<}\varepsilon$
[/mm]
Konstruiere nochmal ein neues passenderes [mm] $n_{\varepsilon}$
[/mm]
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Sa 25.07.2009 | | Autor: | gemorra |
stimmt. ich bin davon ausgegangen aus [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}} [/mm] < [mm] \bruch{1}{n+1+n} [/mm] aber das wäre natürlich nicht richtig...
Also gilt für n> [mm] \bruch{1}{4 e^{2}} [/mm] dass [mm] |\sin(\wurzel{n+1})-\sin(\wurzel{n}) [/mm] - 0| < e
Kann ich mir generell merken f(n) - f(n+y) = f'(x) | x [mm] \in [/mm] {n,n+y} ?
Bsp: [mm] (n+3)^{3} [/mm] - [mm] n^{3} [/mm] = [mm] 3x^{2} [/mm] //auch wenns nicht soo sinvoll ist in diesem Beispiel...
richtig? => neue Aufgabe ;)
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> stimmt. ich bin davon ausgegangen aus
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}[/mm] < [mm]\bruch{1}{n+1+n}[/mm] aber
> das wäre natürlich nicht richtig...
es ist sogar nicht richtig ![[aetsch]](/images/smileys/aetsch.gif "[aetsch]")
>
> Also gilt für n> [mm]\bruch{1}{4 e^{2}}[/mm] dass
> [mm]|\sin(\wurzel{n+1})-\sin(\wurzel{n})[/mm] - 0| < e
Genau!
>
> Kann ich mir generell merken f(n) - f(n+y) = f'(x) | x [mm]\in[/mm]
> {n,n+y} ?
Nein, was ist das denn fürn Unsinn?
Du spielst auf den MWS an, den du oben bei dem Sinusbeispiel hattest?
Nun, für eine auf einem abgeschlossenen Intervall $[a,b]$ (mit $a<b$) stetige und auf dem offenen Intervall $(a,b)$ diffbare Funktion $f$ gilt:
es gibt ein [mm] $x_0\in(a,b)$ [/mm] mit [mm] $f'(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
[/mm]
Bei deinem Sinusbsp. war das Intervall [mm] $[\sqrt{n},\sqrt{n+1}]$
[/mm]
Damit ergibt sich mit dem MWS: es ex. [mm] $n_0\in(\sqrt{n},\sqrt{n+1})$ [/mm] mit [mm] $\underbrace{\cos(n_0)}_{=[\sin(n_0)]'}=\frac{\sin(\sqrt{n+1})-\sin(\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}$
[/mm]
Der Nenner ist i.A. nicht =1
>
> Bsp: [mm](n+3)^{3}[/mm] - [mm]n^{3}[/mm] = [mm]3x^{2}[/mm] //auch wenns nicht soo
> sinvoll ist in diesem Beispiel...
Nee, das ist Unfug. Auf welches Intervall beziehst du dich?
>
> richtig? => neue Aufgabe ;)
Puh, wie siehts mit google aus?
Da wirst du doch bestimmt auch selber fündig ...
Hier noch ein Bsp.:
[mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $a_n=\frac{n}{2^n}$
[/mm]
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Sa 25.07.2009 | | Autor: | gemorra |
klar, bei google findet man ne Menge, ich kannn nur immer schwer beurteilen wie viel an Vorwissen (bsp. MWS) nötig ist.
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n}{2^{n}}
[/mm]
Man sieht, dass die Folge gegen 0 konvergiert, da [mm] 2^n [/mm] viel stärker steigt als n....
[mm] \bruch{n}{2^{n}} \le \bruch{n}{n^{2}} [/mm] |n [mm] \ge [/mm] 4
= [mm] \bruch{1}{n} [/mm] < e => n> [mm] \bruch{1}{e}
[/mm]
Sieht mir recht grob abgeschätzt aus....
Naja: Es gilt für alle e>0 und [mm] n>\bruch{1}{e}: |\bruch{n}{2^{n}}-0|
oder?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> klar, bei google findet man ne Menge, ich kannn nur immer
> schwer beurteilen wie viel an Vorwissen (bsp. MWS) nötig
> ist.
>
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{n}{2^{n}}[/mm]
>
> Man sieht, dass die Folge gegen 0 konvergiert, da [mm]2^n[/mm] viel
> stärker steigt als n....
> [mm]\bruch{n}{2^{n}} \le \bruch{n}{n^{2}}[/mm] |n [mm]\ge[/mm] 4
gute Idee!
> = [mm]\bruch{1}{n}[/mm] < e => n> [mm]\bruch{1}{e}[/mm]
> Sieht mir recht grob abgeschätzt aus....
Das spielt keine Rolle, solange du in die richtige Richtung abschätzt ...
>
> Naja: Es gilt für alle e>0 und [mm]n>\bruch{1}{e}: |\bruch{n}{2^{n}}-0|
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Ja, sehr gut.
Nehmen wir eine schwierigere Folge:
Sei [mm] $a\in\IR, a\ge [/mm] 1$
Bestimme [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}$ [/mm] ...
Versuch's mal, der GW ist zwar klar, aber der Beweis ist nicht trivial.
Falls es nicht klappen sollte, gibt's nen Tipp
LG
schachuzipus
>
> oder?
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Sa 25.07.2009 | | Autor: | gemorra |
Hallo,
hmm also der GW ist sicher 1. da jede Zahl unendlich mal "gewurzelt" gegen 1 läuft.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{a} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a^{\bruch{1}{n}} [/mm] = [mm] a^{0} [/mm] => 1
beim Beweis:
wie bekomm ich [mm] a^{\bruch{1}{n}} [/mm] < 1 hin, stimmt ja eigentlich nicht...
hmmm... vlt:
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{a} [/mm] < [mm] \wurzel[n+x]{n} [/mm] != 1 [mm] \pm [/mm] e | wobei n ceil(a) ist
und x ja eigentlich ziemlich klein sein müsste damit die bedingung überhaupt gilt
jetzt müsste ich heraus bekommen wie groß der abstand x (bzw. von n zu a) sein muss damit [mm] |a_{n} [/mm] -1| < e ist
das scheint mir alles nicht ganz ausreichend
liebe grüße
gemorra
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Hallo,
>
> hmm also der GW ist sicher 1. da jede Zahl unendlich mal
> "gewurzelt" gegen 1 läuft. ![[lol]](/images/smileys/lol.gif "[lol]")
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm] = [mm]\wurzel[n]{a}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a^{\bruch{1}{n}}[/mm] = [mm]a^{0}[/mm] => 1
>
>
> beim Beweis:
>
> wie bekomm ich [mm]a^{\bruch{1}{n}}[/mm] < 1 hin, stimmt ja
> eigentlich nicht...
>
> hmmm... vlt:
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\wurzel[n]{a}[/mm] < [mm]\wurzel[n+x]{n}[/mm] != 1 [mm]\pm[/mm] e |
> wobei n ceil(a) ist
> und x ja eigentlich ziemlich klein sein müsste damit die
> bedingung überhaupt gilt
> jetzt müsste ich heraus bekommen wie groß der abstand x
> (bzw. von n zu a) sein muss damit [mm]|a_{n}[/mm] -1| < e ist
>
> das scheint mir alles nicht ganz ausreichend
Ja, das ist hier etwas vertrackter.
Es ist ja der Betrag [mm] $\left|\sqrt[n]{a}-1\right|$ [/mm] kleiner als beliebig vorgegebenes [mm] $\varepsilon$ [/mm] zu kriegen.
Setze mal [mm] $x_n:=\sqrt[n]{a}-1$
[/mm]
Dann ist [mm] $1+x_n=\sqrt[n]{a}$, [/mm] also [mm] $a=(1+x_n)^n$
[/mm]
Nun bemühe mal die Bernoullische Ungleichung und setze dann alles Stück für Stück zusammen
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Sa 25.07.2009 | | Autor: | gemorra |
hmm, wenn ich mir das so angucke:
[mm] x_{n} [/mm] soll kleiner als e sein
a= [mm] (1+x_{n})^{n} \ge [/mm] 1 + [mm] n*x_{n} [/mm] <=> [mm] x_{n} \le \bruch{a-1}{n} [/mm] < e
=> n > [mm] \bruch{a-1}{e}
[/mm]
Dann gilt für n > [mm] \bruch{a-1}{e} [/mm] und e > 0: [mm] |\wurzel[n]{a}-1| [/mm] < e
?
Gibts da auch gewisse Aufgabentypen, bei denen immer die benouli-ungleichung benutzt wird? also [mm] \wurzel[n]{term} [/mm] kann man das sicher öfter mal benutzen?
danke ;)
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> hmm, wenn ich mir das so angucke:
>
> [mm]x_{n}[/mm] soll kleiner als e sein
>
> a= [mm](1+x_{n})^{n} \ge[/mm] 1 + [mm]n*x_{n}[/mm] <=> [mm]x_{n} \le \bruch{a-1}{n}[/mm]
> < e
>
> => n > [mm]\bruch{a-1}{e}[/mm]
>
> Dann gilt für n > [mm]\bruch{a-1}{e}[/mm] und e > 0:
> [mm]|\wurzel[n]{a}-1|[/mm] < e
Ja, das sieht gut aus!
Du könntest alternativ auch (wie in der ersten Version deiner Frage) [mm] $a=(1+x_n)^n\ge 1+nx_n>nx_n$ [/mm] abschätzen und dann [mm] $n>\frac{a}{\varepsilon}$ [/mm] wählen ...
>
> ?
>
>
> Gibts da auch gewisse Aufgabentypen, bei denen immer die
> benouli-ungleichung benutzt wird? also [mm]\wurzel[n]{term}[/mm]
> kann man das sicher öfter mal benutzen?
Puh, das ist so pauschal kaum zu sagen, soweit ich mich erinnere, kann man sie verwenden, um im Zuge des Konvergenznachweises der Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ [/mm] den Monotonienachweis zu führen.
Ansonsten erinnere ich mich dunkel, sie für einen Induktionsbeweis der ein oder anderen Ungleichung benutzt zu haben.
Es gibt aber sicherlich (auch im Rahmen von Folgenkonvergenz) auch Anwendungen für die B.-Ungleichung ...
>
> danke ;)
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:35 Mo 27.07.2009 | | Autor: | gemorra |
So endlich, ist das Forum wieder da ;)
Ich würde mich über weitere Beispiele natürlich freuen. Hab mir derweilen mal Die Regel von L'Hospital, Monotonie+Beschränktheit, Einschlusskriterium, Cauchy-Kriterium angeguckt...
Am besten wären natürlich Beispiele dazu (L'Hospital nicht umbedingt). Beim Einschlusskriterium muss man ja auch immer gucken das man Vergleichsfolgen hat, das stellt mich oft noch vor Probleme. Beweise ich Monotonie und Beschränktheit immer durch Induktion? (Habs bis jetzt auch nur bei rekursiven Folgen gemacht)
Das Cauchy-Kriterium besagt, dass, wenn der Abstand zweier Folgeglieder von [mm] n_{e} [/mm] (meist [mm] a_{n}
Meine Frage dazu: Ist das nicht eigentlich fast das gleiche wie das normale Konvergenz-Kriterium?
Aus: "Alle Folgeglieder haben zu einem bestimmtem Wert den Abstand < epsilon" folgt nicht umbedingt, dass "alle Folgeglieder einen Abstand<epsilon von einander haben". Andersrum schon. Wo bringt mir diese Spezialisierung etwas?
Wiedermal vielen dank ;)
Liebe Grüße
gemorra
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:09 Di 28.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
erstmal zum Cauchy-Kriterium.
anscheinend hast du bisher nur folgen behandelt, wo du irgedwoher nen GW kennst, also der GW ist ne rationale Zahl. Viele reelle Zahlen die nicht rational sind, werden erst als GW einer Folge definiert. etwa [mm] a_n=(1+1/n)^n [/mm] nachdem man nachgewiesen hat, dass die folge konvergiert, weist man dem GW einen namen zu e. auch [mm] \pi [/mm] ist als Gw einer Folge definiert, und viele andere. also braucht man das Cauchy kriterium viel haeufiger in wirklich interessanten folgen. die zur Uebung betrachteten mit rationalen GW sind meist nicht wirklich spannend.
Beispiele koennen andere sicher besser. du kannst natuerlich auch einfach im forum suchen, da gibts sehr viele diskussionen mit Folgen und Reihen, wobei ja auch Reihen nur Folgen von Summen sind.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 29.07.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
