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| Aufgabe | Bestimmte den Konvergenzkreis folgender Reihe:
[mm] \summe_{k=1}^{\infinity} (\bruch{2 + (-1)^{k}}{5 + (-1)^{k+1}})^{k} [/mm] * [mm] z^{k} [/mm] |
Hallo zusammen,
die Aufgabe bereitet mir ein paar Problemchen bzw. ich bin mir unsicher.
Was habe ich gemacht?
Ich möchte die folge der Reihe per Wurzelkriterium und limes superior untersuche um mein "q" zu bestimmen und dementsprechend den Radius.
Ansatz ist also:
Lim sup k-te Wurzel aus ( [mm] |(\bruch{2 + (-1)^{k}}{5 + (-1)^{k+1}})^{k}| [/mm] )
Bisschen vereinfacht steht dann:
lim sup
[mm] \bruch{2 + (-1)^{k}}{5 - (-1)^{k}} [/mm]
Nun werde ich unsicher:
Das ganze hat ja nun alternierende Faktoren im Zähler und Nenner.
Ist 3/4 als Ergebniss hier korrekt?
Bzw: Die bessere Frage: Was tut man jetzt?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:22 Di 07.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmte den Konvergenzkreis folgender Reihe:
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> [mm]\summe_{k=1}^{\infinity} (\bruch{2 + (-1)^{k}}{5 + (-1)^{k+1}})^{k}[/mm]
> * [mm]z^{k}[/mm]
>
> Hallo zusammen,
>
> die Aufgabe bereitet mir ein paar Problemchen bzw. ich bin
> mir unsicher.
>
> Was habe ich gemacht?
>
> Ich möchte die folge der Reihe per Wurzelkriterium und
> limes superior untersuche um mein "q" zu bestimmen und
> dementsprechend den Radius.
>
> Ansatz ist also:
>
> Lim sup k-te Wurzel aus ( [mm]|(\bruch{2 + (-1)^{k}}{5 + (-1)^{k+1}})^{k}|[/mm]
> )
>
> Bisschen vereinfacht steht dann:
>
> lim sup
>
> [mm]\bruch{2 + (-1)^{k}}{5 - (-1)^{k}}[/mm]
>
> Nun werde ich unsicher:
>
> Das ganze hat ja nun alternierende Faktoren im Zähler und
> Nenner.
>
> Ist 3/4 als Ergebniss hier korrekt?
Ja
>
> Bzw: Die bessere Frage: Was tut man jetzt?
Jetzt ist man im Bilde darueber, dass der Konvegenzradius der Potenzreihe = 4/3 ist.
Fred
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Hi Fred,
danke für Deine Teilnahme.
Ich muss gestehen, ich habe "ein bisschen" unsicher rumprobiert um auf die 3/4 zu kommen (bzw. als Radius 4/3, das passt dann schon  ).
Also:
Ich möchte mich gern vergewissern, ob ich richtig gedacht habe oder mir hier Fehler unterlaufen.
der Lim Sup wählt den größten Häufungspunkt der Grenzwerte.
Ich habe quasi einmal überlegt bzw. die Gleichung weitergerechnet, was passiert wenn k gerade ist und einmal wenn k ungerade ist (das bedeutet ja genau, dass ich 1 bzw. dann -1 habe) und habe dann ausgerechnet, wogegen die Folge läuft.
Dann habe ich den größeren Grenzwert ausgewählt gemäß dem lim sup.
Habe ich hier richtig gearbeitet?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Di 07.07.2015 | | Autor: | abakus |
> Hi Fred,
>
> danke für Deine Teilnahme.
>
> Ich muss gestehen, ich habe "ein bisschen" unsicher
> rumprobiert um auf die 3/4 zu kommen (bzw. als Radius 4/3,
> das passt dann schon ).
>
> Also:
>
> Ich möchte mich gern vergewissern, ob ich richtig gedacht
> habe oder mir hier Fehler unterlaufen.
>
> der Lim Sup wählt den größten Häufungspunkt der
> Grenzwerte.
>
> Ich habe quasi einmal überlegt bzw. die Gleichung
> weitergerechnet, was passiert wenn k gerade ist und einmal
> wenn k ungerade ist (das bedeutet ja genau, dass ich 1 bzw.
> dann -1 habe) und habe dann ausgerechnet, wogegen die Folge
> läuft.
> Dann habe ich den größeren Grenzwert ausgewählt gemäß
> dem lim sup.
>
> Habe ich hier richtig gearbeitet?
Hallo,
du hast wohl instinktiv das Richtige getan.
Im "ungünstigsten" Fall ist der Zähler groß und der Nenner klein und damit der Bruch groß und der Konvergenzradius klein.
Gruß Abakus
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Hi,
der Zusammenhang zwischen dem Radius und dem Wert (wir nennen ihn "q"), der bei der Untersuchung der zugehörigen Folge der Potenzreihe entsteht ist mir klar.
Beim Wurzelkriterium benutzt man ja den limes superior. Der "zwingt" mich ja den größten Häufungspunkt zu wählen. Damit komme ich ja gar nicht drum rum, mit diesem meinen Konvergenzradius zu bestimmen. Der zweite Häufungspunkt ist 1/6, dieser ist kleiner als 3/4. Aber mit den 1/6 wäre der Konvergenzradius größer...
Wie schaut das hier aus? Ich nehme an, es wäre falsch die 1/6 zu wählen, oder wie sieht das aus?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:46 Mi 08.07.2015 | | Autor: | abakus |
> Hi,
>
> der Zusammenhang zwischen dem Radius und dem Wert (wir
> nennen ihn "q"), der bei der Untersuchung der zugehörigen
> Folge der Potenzreihe entsteht ist mir klar.
>
> Beim Wurzelkriterium benutzt man ja den limes superior. Der
> "zwingt" mich ja den größten Häufungspunkt zu wählen.
> Damit komme ich ja gar nicht drum rum, mit diesem meinen
> Konvergenzradius zu bestimmen. Der zweite Häufungspunkt
> ist 1/6, dieser ist kleiner als 3/4. Aber mit den 1/6 wäre
> der Konvergenzradius größer...
>
> Wie schaut das hier aus? Ich nehme an, es wäre falsch die
> 1/6 zu wählen, oder wie sieht das aus?
Dann hättest du einen größeren "Konvergenzradius", wo jeder zweite Summand diese Konvergenz verletzen würde.
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Vielen Dank...macht Sinn ja!
Ich habe leider noch eine Exponentialreihe, wo ich Probleme mit habe:
[mm] \summe_{k=1}^{\infinity} [/mm] (1 + [mm] \bruch{1}{k})^{(-1)^{k} * k^{2}} [/mm] * [mm] z^{k}
[/mm]
Eine solche Aufgabe, wo im Exponent etwas alternierendes ist, hatte ich leider noch nicht und ich habe absolut gar keine Ahnung, wie ich da anfangen kann...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:16 Mi 08.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank...macht Sinn ja!
>
> Ich habe leider noch eine Exponentialreihe, wo ich Probleme
> mit habe:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infinity}[/mm] (1 + [mm]\bruch{1}{k})^{(-1)^{k} * k^{2}}[/mm]
> * [mm]z^{k}[/mm]
>
> Eine solche Aufgabe, wo im Exponent etwas alternierendes
> ist, hatte ich leider noch nicht und ich habe absolut gar
> keine Ahnung, wie ich da anfangen kann...
Wir setzen [mm] $a_k:= [/mm] (1 + [mm] \bruch{1}{k})^{(-1)^{k} * k^{2}}$
[/mm]
Dann ist [mm] a_{2k}=(1+\bruch{1}{2k})^{(2k)^2} [/mm] und [mm] a_{2k-1}=\bruch{1}{(1+\bruch{1}{2k+1})^{(2k+1)^2}}
[/mm]
Somit:
[mm] \wurzel[2k]{|a_{2k}|}=(1+\bruch{1}{2k})^{2k}
[/mm]
und
[mm] \wurzel[2k+1]{|a_{2k+1}|}=\bruch{1}{(1+\bruch{1}{2k+1})^{2k+1}}
[/mm]
Was ist nun
$ [mm] \limsup_{k \to \infty} \wurzel[k]{|a_{k}|} [/mm] $ ??
Und wie groß ist der Konvergenzradius der Potenzreihe ?
FRED
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Hi,
der
[mm] \limsup_{k \to \infty} \wurzel[k]{|a_{k}|}
[/mm]
müsste e sein. Also > 1 und damit wäre die Reihe diverget. Der Konvergenzradius wäre damit 0?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 Mi 08.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> der
> [mm]\limsup_{k \to \infty} \wurzel[k]{|a_{k}|}[/mm]
>
> müsste e sein.
Ja
> Also > 1 und damit wäre die Reihe
> diverget.
Unsinn !
Der Konvergenzradius ist 1/e
FRED
> Der Konvergenzradius wäre damit 0?
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Ok.
Ich war mir bis grad relativ sicher, dass wenn die Reihe divergiert, dass der Konvergenzradius 0 ist.
Denn:
Wir haben mit dem Wurzelkriterium untersucht, hier gilt:
< 1 -> Konvergenz
= 1 -> Keine Aussage
> 1 -> Divergenz
Soweit stimmst Du mir zu, oder?
Und nun dachte ich, dass wenn die Reihe divergiert, dass der Radius entsprechend 0 wäre...
Aber kein Problem, dann ist der Radius 1/e und ich untersuche die Ränder noch
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 Mi 08.07.2015 | | Autor: | fred97 |
Du wirfst 2 Dinge durcheinander !
Gegeben sei eine Potenzreihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_kz^k. [/mm] Wir untersuchen auf Konvergenz mit dem Wurzelkriterium:
[mm] \wurzel[k]{|a_k|*|z|^k}=\wurzel[k]{|a_k|}*|z|.
[/mm]
Dann ist
[mm] \limsup_{k \to \infty}\wurzel[k]{|a_k|*|z|^k}= (\limsup_{k \to \infty}\wurzel[k]{|a_k|})*|z|
[/mm]
Fall [mm] 1:\limsup_{k \to \infty}\wurzel[k]{|a_k|}=0. [/mm]
Dann ist [mm] \limsup_{k \to \infty}\wurzel[k]{|a_k|*|z|^k}=0<1, [/mm] also konvergiert die Potenzreihe in jedem z [mm] \in \IC.
[/mm]
Fall 2: [mm] \limsup_{k \to \infty}\wurzel[k]{|a_k|}= \infty.
[/mm]
Dann ist [mm] \limsup_{k \to \infty}\wurzel[k]{|a_k|*|z|^k}= \infty [/mm] für jedes z [mm] \ne [/mm] 0. Die Potenzreihe konvergiert also nur für z=0.
Fall 3: 0< [mm] \limsup_{k \to \infty}\wurzel[k]{|a_k|}< \infty. [/mm] Dann:
[mm] \limsup_{k \to \infty}\wurzel[k]{|a_k|*|z|^k}<1 \gdw |z|<\bruch{1}{\limsup_{k \to \infty}\wurzel[k]{|a_k|}}
[/mm]
Aus diesen Gründen nennt man
[mm] \bruch{1}{\limsup_{k \to \infty}\wurzel[k]{|a_k|}}
[/mm]
den Konvergenzradius der Potenzreihe, wobei vereinbart wird [mm] \bruch{1}{0}= \infty [/mm] und [mm] \bruch{1}{\infty}=0.
[/mm]
FRED
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