Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:31 Mi 12.02.2014 | | Autor: | Morph007 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | Bestimmen Sie den Konvergenzradius von $P(x)=\summe_{n=0}^{\infty}{\bruch{n}{n+1}*x^{n+1}}$ |
Erst einmal habe ich x=1 gesetzt und die ersten vier Glieder bestimmt.
$a_0=0 , a_1=1/2 , a_2=2/3 , a_3=3/4$
Dann in allgemeiner Form geschrieben:
$a_n=\bruch{n}{n+1} , a_{n+1}=\bruch{n+1}{n+2}$
Nun den Konvergenzradius r bestimmt:
$r=\limes_{n\rightarrow\infty}\abs{\bruch{a_n}{a_{n+1}}}}$
\gdw
$\bruch{n*(n+2)}{(n+1)^2}=\bruch{n^2+2n}{n^2+2n+^1}=\bruch{1}{2n+1}+\bruch{1}{n^2+1}=\bruch{1}{\infty}+\bruch{1}{\infty}=0$
Somit wäre der Konvergenzradius 0. Stimmt das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:36 Mi 12.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius von
> [mm]P(x)=\summe_{n=0}^{\infty}{\bruch{n}{n+1}*x^{n+1}}[/mm]
> Erst einmal habe ich x=1 gesetzt und die ersten vier
> Glieder bestimmt.
>
> [mm]a_0=0 , a_1=1/2 , a_2=2/3 , a_3=3/4[/mm]
>
> Dann in allgemeiner Form geschrieben:
>
> [mm]a_n=\bruch{n}{n+1} , a_{n+1}=\bruch{n+1}{n+2}[/mm]
>
> Nun den Konvergenzradius r bestimmt:
>
> [mm]r=\limes_{n\rightarrow\infty}\abs{\bruch{a_n}{a_{n+1}}}}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm] \bruch{n*(n+2)}{(n+1)^2}=\bruch{n^2+2n}{n^2+2n+^1}
[/mm]
Das soll wohl so lauten: [mm] \bruch{n^2+2n}{n^2+2n+1}
[/mm]
> [mm] =\bruch{1}{2n+1}+\bruch{1}{n^2+1}
[/mm]
Hä ? was rechnest Du da ???
> [mm] =\bruch{1}{\infty}+\bruch{1}{\infty}=0
[/mm]
Jetzt wirds grausam !
>
> Somit wäre der Konvergenzradius 0. Stimmt das?
Nein.
Mach Dir klar, dass gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2+2n}{n^2+2n+1}=1
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:40 Mi 12.02.2014 | | Autor: | Morph007 |
Dankesehr. Ist mir direkt nach dem Schreiben schon aufgefallen, aber da warst Du schneller :)
Habe wieder viel zu viel rechnen wollen; das +1 im Nenner hat ja bei großen Zahlen, eben wenns gegen Unendlich strebt, keinen Einfluss mehr.
Danke!
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Hallo,
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius von
> [mm]P(x)=\summe_{n=0}^{\infty}{\bruch{n}{n+1}*x^{n+1}}[/mm]
> Erst einmal habe ich x=1 gesetzt und die ersten vier
> Glieder bestimmt.
Warum setzt du denn für x einfach so 1 ein? Ich weiß ehrlich gesagt nciht, welches Ziel du damit verfolgst. Alles schön und gut, dass du die ersten Folgenglieder hast, aber für die Aufgabe einfach uninteressant. 
Auch wird die spätere Betrachtung ziemlich hinfällig, denn schon allein [mm] a_n=\frac{n}{n+1} [/mm] ist keine Nullfolge und somit ist das notwendige Kriterium für Konvergenz einer Folge verletzt.
>
> [mm]a_0=0 , a_1=1/2 , a_2=2/3 , a_3=3/4[/mm]
>
> Dann in allgemeiner Form geschrieben:
>
> [mm]a_n=\bruch{n}{n+1} , a_{n+1}=\bruch{n+1}{n+2}[/mm]
>
> Nun den Konvergenzradius r bestimmt:
>
> [mm]r=\limes_{n\rightarrow\infty}\abs{\bruch{a_n}{a_{n+1}}}}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]\bruch{n*(n+2)}{(n+1)^2}=\bruch{n^2+2n}{n^2+2n+^1}=\bruch{1}{2n+1}+\bruch{1}{n^2+1}=\bruch{1}{\infty}+\bruch{1}{\infty}=0[/mm]
>
> Somit wäre der Konvergenzradius 0. Stimmt das?
Hatte Fred ja shcon beantwortet.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 Fr 14.02.2014 | | Autor: | Morph007 |
Du sagst, dass das Kriterium für konvergente Reihen verletzt ist, aber trotzdem existiert doch der Konvergenzradius r=1. Wie kann das sein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:47 Fr 14.02.2014 | | Autor: | fred97 |
Die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}{\bruch{n}{n+1}\cdot{}x^{n+1}} [/mm] hat folgende Eigenschaften:
1. sie divergiert für x=1
2. sie divergiert für x=-1
3. sie hat den Konvergenzradius 1.
Daraus folgt:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}{\bruch{n}{n+1}\cdot{}x^{n+1}} [/mm] ist konvergent [mm] \gdw [/mm] |x|<1.
FRED
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Hallo,
> Du sagst, dass das Kriterium für konvergente Reihen
> verletzt ist, aber trotzdem existiert doch der
> Konvergenzradius r=1. Wie kann das sein?
Der Konvergenzradius garantiert nur in dem offenen Intervall, welches er abdeckt, Konvergenz. Für die Ränder muss man stets noch einzeln untersuchen, ob Konvergenz vorliegt, was hier aber weder für x=1 noch für x=-1 der Fall ist, wie ja schon dargelegt wurde.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 Mi 12.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius von
> [mm]P(x)=\summe_{n=0}^{\infty}{\bruch{n}{n+1}*x^{n+1}}[/mm]
kennst Du Cauchy-Hadamard:
[mm] $R=\frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}},$
[/mm]
wobei bei Dir
[mm] $a_n=\frac{n}{n+1}.$
[/mm]
(Okay, eigentlich sollte man vielleicht erstmal
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty}{\bruch{n}{n+1}*x^{n+1}}=x*\summe_{n=0}^{\infty}{\bruch{n}{n+1}*x^{n}}$
[/mm]
schreiben, dann ist das zweite Produkt nun "ablesbar" in Potenzreihenform.
Es gäbe aber auch noch andere Möglichkeiten, um formal "einwandfrei"
die Potenzreihenform zu sehen - "eigentlich" ist das, was da steht, aber
auch schon 'gut genug'...)
Tipps: Im Falle der Existenz des Limes stimmt Limsup mit diesem überein,
und es gilt
[mm] $\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{n}=1.$
[/mm]
Ansonsten die bekannten Rechenregeln für konvergente Folgen heranziehen!
Gruß,
Marcel
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