Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Fr 06.06.2014 | | Autor: | Theb |
| Aufgabe | Man bestimme die Entwicklungsstelle [mm] x_0 [/mm] des Konvergenzintervalls und den Konvergenzradius r der Folgenden Potenzreihe:
[mm] \summe (k3^k)^{-1} (2x-1)^{3k+2} [/mm] |
Hallo erstmal,
also ich bin wie folgt vorgegangen:
[mm] \summe (k3^k)^{-1} (2x-1)^{3k+2} [/mm] = [mm] \summe (k3^k)^{-1} 2^{3k+2}*(x [/mm] - [mm] \bruch{1}{2})^{3k+2} [/mm] --> [mm] x_0 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] =\summe (k3^k)^{-1}*2^{3k+2}*(x [/mm] - [mm] \bruch{1}{2})^{3k}
[/mm]
so nun möchte ich jedoch eine reihe der Form [mm] \summe a_k (x-x_0)^{k}
[/mm]
weil ich ja das [mm] a_n [/mm] für die berechnung des konvergenzradius benötige.
also stört mich noch diese 3 im exponent... ich steh gerade auf dem Schlauch wie ich hier weiter vorgehen soll.
Kann mir da vielleicht einer kurz helfen?
lg Seb
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 Fr 06.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Seb,
> Man bestimme die Entwicklungsstelle [mm]x_0[/mm] des
> Konvergenzintervalls und den Konvergenzradius r der
> Folgenden Potenzreihe:
> [mm]\summe (k3^k)^{-1} (2x-1)^{3k+2}[/mm]
Du meinst:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}(k3^k)^{-1}*(2x-1)^{3k+2}
[/mm]
> Hallo erstmal,
>
> also ich bin wie folgt vorgegangen:
>
> [mm]\summe (k3^k)^{-1} (2x-1)^{3k+2}[/mm] = [mm]\summe (k3^k)^{-1} 2^{3k+2}*(x[/mm]
> - [mm]\bruch{1}{2})^{3k+2}[/mm] --> [mm]x_0[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
Richtig.
> [mm]=\summe (k3^k)^{-1}*2^{3k+2}*(x[/mm] - [mm]\bruch{1}{2})^{3k}[/mm]
Wo ist
[mm] \left(x-\frac{1}{2}\right)^2
[/mm]
abgeblieben?
> so nun möchte ich jedoch eine reihe der Form [mm]\summe a_k (x-x_0)^{k}[/mm]
> weil ich ja das [mm]a_n[/mm] für die berechnung des
> konvergenzradius benötige.
> also stört mich noch diese 3 im exponent... ich steh
> gerade auf dem Schlauch wie ich hier weiter vorgehen soll.
> Kann mir da vielleicht einer kurz helfen?
Eine geeignete Substitution sollte zur Lösung führen, wobei
man am Ende bezüglich des Konvergenzradius Acht geben sollte.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Fr 06.06.2014 | | Autor: | Theb |
> Hallo Seb,
Hallo DieAcht
>
>
> > Man bestimme die Entwicklungsstelle [mm]x_0[/mm] des
> > Konvergenzintervalls und den Konvergenzradius r der
> > Folgenden Potenzreihe:
> > [mm]\summe (k3^k)^{-1} (2x-1)^{3k+2}[/mm]
>
> Du meinst:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(k3^k)^{-1}*(2x-1)^{3k+2}[/mm]
Schon, aber ich habe die Aufgabenstellung 1:1 abgetippt.
>
> > Hallo erstmal,
> >
> > also ich bin wie folgt vorgegangen:
> >
> > [mm]\summe (k3^k)^{-1} (2x-1)^{3k+2}[/mm] = [mm]\summe (k3^k)^{-1} 2^{3k+2}*(x[/mm]
> > - [mm]\bruch{1}{2})^{3k+2}[/mm] --> [mm]x_0[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Richtig.
>
> > [mm]=\summe (k3^k)^{-1}*2^{3k+2}*(x[/mm] - [mm]\bruch{1}{2})^{3k}[/mm]
>
> Wo ist
>
> [mm]\left(x-\frac{1}{2}\right)^2[/mm]
>
> abgeblieben?
Oh ja du hast recht... das habe ich aus der Summe rausgezogen und davor geschrieben, also
[mm] \left(x-\frac{1}{2}\right)^2*\summe (k3^k)^{-1}*2^{3k+2}*(x-\bruch{1}{2})^{3k}
[/mm]
war nicht beabsichtigt
>
> > so nun möchte ich jedoch eine reihe der Form [mm]\summe a_k (x-x_0)^{k}[/mm]
>
> > weil ich ja das [mm]a_n[/mm] für die berechnung des
> > konvergenzradius benötige.
> > also stört mich noch diese 3 im exponent... ich steh
> > gerade auf dem Schlauch wie ich hier weiter vorgehen soll.
> > Kann mir da vielleicht einer kurz helfen?
>
> Eine geeignete Substitution sollte zur Lösung führen,
> wobei
> man am Ende bezüglich des Konvergenzradius Acht geben
> sollte.
>
>
> Gruß
> DieAcht
mir ist gerade noch ein anderer Ansatz eingefallen, nur weiß ich nicht so recht ob ich so arbeiten darf.
ich habe die 3. Wurzel gezogen.
Sodass ich auf:
[mm] (x-\bruch{1}{2})^{\bruch{2}{3}}*\summe \bruch{1}{k^{\bruch{1}{3}}*3^{\bruch{k}{3}}}*4^{\bruch{1}{3}}*2^{k}*(x-\bruch{1}{2})^{k}
[/mm]
komme.
Wenn ich jetzt damit weiterarbeite und r= [mm] \bruch{1}{lim sup \wurzel[k]{a_k}}
[/mm]
berechne würde ich auf das richtige Ergebnis kommen. Ist das allgemein so möglich? Oder nur zufall das ich so auch auf das richtige Ergebnis komme?
lg Seb
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Hallo Theb,
> > Hallo Seb,
> Hallo DieAcht
> >
> >
> > > Man bestimme die Entwicklungsstelle [mm]x_0[/mm] des
> > > Konvergenzintervalls und den Konvergenzradius r der
> > > Folgenden Potenzreihe:
> > > [mm]\summe (k3^k)^{-1} (2x-1)^{3k+2}[/mm]
> >
> > Du meinst:
> >
> > [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(k3^k)^{-1}*(2x-1)^{3k+2}[/mm]
> Schon, aber ich habe die Aufgabenstellung 1:1 abgetippt.
> >
> > > Hallo erstmal,
> > >
> > > also ich bin wie folgt vorgegangen:
> > >
> > > [mm]\summe (k3^k)^{-1} (2x-1)^{3k+2}[/mm] = [mm]\summe (k3^k)^{-1} 2^{3k+2}*(x[/mm]
> > > - [mm]\bruch{1}{2})^{3k+2}[/mm] --> [mm]x_0[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> >
> > Richtig.
> >
> > > [mm]=\summe (k3^k)^{-1}*2^{3k+2}*(x[/mm] - [mm]\bruch{1}{2})^{3k}[/mm]
> >
> > Wo ist
> >
> > [mm]\left(x-\frac{1}{2}\right)^2[/mm]
> >
> > abgeblieben?
> Oh ja du hast recht... das habe ich aus der Summe
> rausgezogen und davor geschrieben, also
> [mm]\left(x-\frac{1}{2}\right)^2*\summe (k3^k)^{-1}*2^{3k+2}*(x-\bruch{1}{2})^{3k}[/mm]
>
> war nicht beabsichtigt
> >
> > > so nun möchte ich jedoch eine reihe der Form [mm]\summe a_k (x-x_0)^{k}[/mm]
>
> >
> > > weil ich ja das [mm]a_n[/mm] für die berechnung des
> > > konvergenzradius benötige.
> > > also stört mich noch diese 3 im exponent... ich
> steh
> > > gerade auf dem Schlauch wie ich hier weiter vorgehen soll.
> > > Kann mir da vielleicht einer kurz helfen?
> >
> > Eine geeignete Substitution sollte zur Lösung führen,
> > wobei
> > man am Ende bezüglich des Konvergenzradius Acht geben
> > sollte.
> >
> >
> > Gruß
> > DieAcht
>
> mir ist gerade noch ein anderer Ansatz eingefallen, nur
> weiß ich nicht so recht ob ich so arbeiten darf.
>
> ich habe die 3. Wurzel gezogen.
Wieso das? Und darfst du das, ohne dass sich der Konvergenzradius ändert?
Das gibt doch eine ganz andere Reihe ...
> Sodass ich auf:
>
> [mm](x-\bruch{1}{2})^{\bruch{2}{3}}*\summe \bruch{1}{k^{\bruch{1}{3}}*3^{\bruch{k}{3}}}*4^{\bruch{1}{3}}*2^{k}*(x-\bruch{1}{2})^{k}[/mm]
>
> komme.
>
> Wenn ich jetzt damit weiterarbeite und r= [mm]\bruch{1}{lim sup \wurzel[k]{a_k}}[/mm]
>
> berechne würde ich auf das richtige Ergebnis kommen.
Wie das? Was ist mit dem Vorfaktor?
Zeige mal deine Rechnung im Detail ...
Es bietet sich doch an, in der Summe [mm]\sum\limits_{k\ge 1}\frac{2^{3k+2}}{k\cdot{}3^k}\cdot{}\left(x-\frac{1}{2}\right)^{3k+2}[/mm] die Substitution [mm]\ell=3k+2[/mm] zu versuchen ...
Dann kannst du ganz bequem Cauchy-Hadamard anwenden ...
Zumindest geht das nach meiner überschlägigen Rechnung ganz angenehm ...
> Ist
> das allgemein so möglich? Oder nur zufall das ich so auch
> auf das richtige Ergebnis komme?
>
> lg Seb
>
>
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Fr 06.06.2014 | | Autor: | Theb |
Hallo Schachuzipus,
ansich ist ja bei meiner Reihe
[mm](x-\bruch{1}{2})^{\bruch{2}{3}}*\summe \bruch{1}{k^{\bruch{1}{3}}*3^{\bruch{k}{3}}}*4^{\bruch{1}{3}}*2^{k}*(x-\bruch{1}{2})^{k}[/mm]
das [mm] a_k=\bruch{2^{k}*4^{\bruch{1}{3}}}{k^{\bruch{1}{3}}*3^{\bruch{k}{3}}}
[/mm]
so nun [mm] \wurzel[k]{a_k} [/mm] = [mm] \bruch{2*4^{\bruch{1}{3k}}}{k^{\bruch{1}{3k}}*3^{\bruch{1}{3}}} [/mm]
und nun [mm] \limes_{k \to \infty}\wurzel[k]{a_k} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3^{\bruch{1}{3}}}
[/mm]
r = [mm] \bruch{1}{\limes_{k \to \infty}\wurzel[k]{a_k}}=\bruch{3^{\bruch{1}{3}}}{2}
[/mm]
und das ist auch das Ergebnis was raus kommen soll.
Deswegen auch meine Frage ob ich das überhaupt so machen kann.
LG Seb
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Hallo,
was um alles in der Welt tust du hier:
> Hallo Schachuzipus,
>
> ansich ist ja bei meiner Reihe
> [mm](x-\bruch{1}{2})^{\bruch{2}{3}}*\summe \bruch{1}{k^{\bruch{1}{3}}*3^{\bruch{k}{3}}}*4^{\bruch{1}{3}}*2^{k}*(x-\bruch{1}{2})^{k}[/mm]
>
???
Was hat die Klammer vor dem Summenzeichen zu suchen?
Was ich weiter nicht verstehe: du hast einen super hilfreichen Tipp inkl. essentieller Rechenschritte von schachuzipus bekommen, warum machst du damit nicht weiter? So steht hier irgendwelches Zeugs, was man beim besten Willen nicht nachvollziehen kann und auch nicht mag.
Mit der Substitution von schachuzipus ist
[mm] r=\bruch{1}{\limsup_{l\to\infty} \wurzel[\ell]{\left|\bruch{3*2^\ell}{(\ell-2)*3^{(\ell-2)/3}}\right|}}
[/mm]
zu berechnen. Dabei kommt dann schon dein obiges Eregbnis
[mm] r=\bruch{\wurzel[3]{3}}{2}
[/mm]
heraus, aber hier geht es ja nicht nur um ein Ergebnis, sondern um einen sauberen und nachvollziehbaren Rechenweg.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Fr 06.06.2014 | | Autor: | Theb |
> Hallo,
>
> was um alles in der Welt tust du hier:
>
> > Hallo Schachuzipus,
> >
> > ansich ist ja bei meiner Reihe
> > [mm](x-\bruch{1}{2})^{\bruch{2}{3}}*\summe \bruch{1}{k^{\bruch{1}{3}}*3^{\bruch{k}{3}}}*4^{\bruch{1}{3}}*2^{k}*(x-\bruch{1}{2})^{k}[/mm]
>
> >
>
> ???
Das ist das Ergebnis, bei dem ich meine Reihe durch 3. Wurzel und Umformung auf die Form [mm] \summe a_k*(x-x_0)^{k} [/mm] gebracht habe. Also die Reihe welche ich in meiner ersten Frage umgeformt habe.
>
> Was hat die Klammer vor dem Summenzeichen zu suchen?
Da diese klammer unabhängig von k ist, kann ich diese doch auch getrost aus der summe rausziehen, da ja jeder Summand diesen Vorfaktor besitzt.
>
> Was ich weiter nicht verstehe: du hast einen super
> hilfreichen Tipp inkl. essentieller Rechenschritte von
> schachuzipus bekommen, warum machst du damit nicht weiter?
> So steht hier irgendwelches Zeugs, was man beim besten
> Willen nicht nachvollziehen kann und auch nicht mag.
Schachuzipus hat mich doch gefragt ob ich ihm detailliert zeigen kann wie ich so weiter gerechnet habe und wieso ich so auch auf das gleiche Ergebnis komme.
>
> Mit der Substitution von schachuzipus ist
>
> [mm]r=\bruch{1}{limsup_{l\to\infty} \wurzel[\ell]{\left|\bruch{3*2^\ell}{(\ell-2)*3^{(\ell-2)/3}}\right|}}[/mm]
>
> zu berechnen. Dabei kommt dann schon dein obiges Eregbnis
>
> [mm]r=\bruch{\wurzel[3]{3}}{2}[/mm]
>
> heraus, aber hier geht es ja nicht nur um ein Ergebnis,
> sondern um einen sauberen und nachvollziehbaren Rechenweg.
Wieso ist denn der Rechenweg nicht nachvollziehbar? Ja ich weiß, dass das Substituieren hier wohl besser angebracht wäre(hab es ja auch nachgerechnet), jedoch ist Substitution für mich immer relativ schwer zu erkennen, bzw zu was ich am besten Substituiere. Und da ich ja so auch auf das richtige Ergebnis komme hat mich halt interessiert ob das so überhaupt geht.
Weißt du nun was ich meine?
Oder gibt es einfach keine andere Möglichkeit als Substitution, um den Konvergenzradius bei Reihen der Form [mm] \summe a_k*(x-x_0)^{b*k} [/mm] zu berechnen?
für [mm] b\in\IZ\sub
[/mm]
>
>
> Gruß, Diophant
>
>
Gruß Seb
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> Wieso ist denn der Rechenweg nicht nachvollziehbar?
Hallo,
Du hattest eine Reihe der Form
[mm] \summe a_k*(x-x_0)^{b*k} [/mm] mit [mm] b\in \IN,
[/mm]
und Du warst auf der Suche nach dem Konvergenzradius r.
Dann hast Du einfach eine andere Reihe geschrieben:
[mm] \summe \wurzel[b]{a_k}*(x-x_0)^{k},
[/mm]
und den Konvergenzradius dieser Reihe untersucht.
Es fehlt das Bindeglied, welches uns sicher macht, daß die beiden Reihen denselben Konvergenzradius haben.
In dem Moment, in welchem die [mm] a_k [/mm] negativ und b gerade ist, scheitert man mit dieser Vorgehensweise ja auch kläglich.
Bei Dir klappt es ja, aber Du kannst nicht einfach sowas tun ohne wasserdichte Begründung.
Vielleicht (!) ist es ja nur ein Zufallsergebnis, welches Du erzielt hast.
Untersuchen wir mal die beiden Reihen
[mm] \summe a_k*(x-x_0)^{b*k} [/mm] mit [mm] b\in \IN
[/mm]
und
[mm] \summe \wurzel[b]{\red{|}a_k\red{|}}*(x-x_0)^{k}
[/mm]
mit Cauchy-Hadamard auf ihren Konvergenzradius.
[mm] \summe a_k*(x-x_0)^{b*k} =\summe a_n*(x-x_0)^{n} [/mm] mit
[mm] a_n=\begin{cases} a_k, & \mbox{für } n=bk \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}.
[/mm]
Es ist
[mm] r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)}
[/mm]
[mm] =\frac{1}{\lim_{bk\rightarrow\infty}\left(\sqrt[bk]{|a_k|}\right)}
[/mm]
[mm] =\frac{1}{\lim_{k\rightarrow\infty}\left(\sqrt[bk]{|a_k|}\right)}
[/mm]
[mm] =\frac{1}{\lim_{k\rightarrow\infty}\left(\sqrt[k]{\wurzel[b]{|a_k|}}\right)}
[/mm]
Jetzt die andere Reihe, [mm] \summe \wurzel[b]{\red{|}a_k\red{|}}*(x-x_0)^{k}:
[/mm]
[mm] r=\frac{1}{\limsup\limits_{k\rightarrow\infty}\left(\sqrt[k]{\wurzel[b]{\red{|}a_k\red{|}}}\right)}. [/mm]
Die beiden Radien sehen schon gleich aus, was darauf hindeutet, daß Deine Vorgehensweise nicht maximaldummabsurd war, auch wenn sie Schwächen hat.
Trotzdem kannst Du, sofern Du Dich nicht auf einen Satz berufst oder den eigenen Beweis mitlieferst, nicht einfach die "Wurzelreihe" hinschreiben und munter losrechnen.
Wofür auch? Es besteht ja kein Grund, die "Wurzelreihe" mit ins Spiel zu bringen - sie verkompliziert die Sache doch nur.
Nun hoffe ich bloß, daß ich in meinem Bemühen, Deinen Weg irgendwie zu retten, keinen Fehler gemacht habe.
LG Angela
> Oder gibt es einfach keine andere Möglichkeit als
> Substitution, um den Konvergenzradius bei Reihen der Form
> [mm]\summe a_k*(x-x_0)^{b*k}[/mm] zu berechnen?
> für [mm]b\in\IZ\sub[/mm]
> >
> >
> > Gruß, Diophant
> >
> >
> Gruß Seb
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:41 Sa 07.06.2014 | | Autor: | Theb |
Hallo Angela,
vielen Dank für deine Antwort, hab nicht mehr damit gerechnet noch eine zu bekommen. Jetzt versteh ich auch das Problem, weswegen ich so "angekeift" wurde.
LG Seb
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:15 Fr 06.06.2014 | | Autor: | Theb |
Da ich glaube das ich vielleicht etwas durcheinander gearbeitet habe nochmal meine Reihenfolge der Bearbeitung:
$ [mm] \summe (k3^k)^{-1} (2x-1)^{3k+2} [/mm] $ = $ [mm] \summe (k3^k)^{-1} 2^{3k+2}\cdot{}(x [/mm] $ - $ [mm] \bruch{1}{2})^{3k+2} [/mm] $
$ [mm] =(x-\bruch{1}{2})^{2}*\summe (k3^k)^{-1}\cdot{}2^{3k+2}\cdot{}(x [/mm] $ - $ [mm] \bruch{1}{2})^{3k} [/mm] $
3.Wurzel ziehen (das ist genau die Stelle an der ich nicht weiß ob ich das so machen darf)
[mm] =(x-\bruch{1}{2})^{2/3}*\summe (k3^k)^{-1/3}\cdot{}2^{k+(2/3)}\cdot{}(x [/mm] $ - $ [mm] \bruch{1}{2})^{k}
[/mm]
[mm] =(x-\bruch{1}{2})^{2/3}*\summe \bruch{2^{k}*2^{2/3}}{k^{1/3}*3^{k/3}}*(x-\bruch{1}{2})^{k}
[/mm]
und nun Cauchy Hadamard...
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