Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 So 04.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie den Konvergenzradius von [mm]P(x) = \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{3*x^2}{ln(n^n)} [/mm] |
Mit Hilfe von
[mm]r=\lim_{n \to \infty}{\bruch{a_n}{a_{n+1}}[/mm]
mit
[mm] a_n = \bruch{3}{ln(n^n)} [/mm]
und
[mm] a_{n+1}= \bruch{3}{ln((n+1)^{n+1})} [/mm]
erhalte ich:
[mm]r=\lim_{n \to \infty}{\bruch{ln((n+1)^{n+1})}{ln(n^n)}[/mm]
Die Lösung sollte sein, dass die Reihe zwischen -1 und 1 konvergent ist, also [mm]r=\left| 1 \right| [/mm]
Ich komme allerdings nicht auf die nötigen Zwischenschritte!
Ein Kommolitone von mir hat die Logarithmen ganz merkwürdig aufgelöst; sein erster Zwischenschritt (nach dem Kürzen der beiden 3) ist:
[mm]\bruch{\bruch{1}{(n+1)^{n+1}}*(n+1)*(n+1)^n}{\bruch{1}{n^n}*n*n^{n-1}}[/mm]
Der Term kürzt sich ja logischerweise zu 1 weg.
Aber wie kommt er darauf den Logarithmus so aufzulösen? Ich dachte den Logarithmus naturalis kann man nur mit der Exponentialfunktion "auflösen".
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 So 04.01.2015 | | Autor: | andyv |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
wahrscheinlich wollte dein Kommilitone l'Hospital anwenden. Bei der Ableitung ist allerdings einiges schiefgegangen.
Jedenfalls ist nach ln-Gesetzen
$ r=\lim_{n \to \infty}{\bruch{(n+1)ln(n+1)}{nln(n)}=\lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{n}\lim_{n \to \infty}\frac{\ln(n+1)}{\ln n} $.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 So 04.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
Okay, dachte ich mir schon, dass da was schief gelaufen ist.
Wenn ich dann beide Limes einzeln betrachte erhalte ich doch:
$ [mm] \lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{n} =\lim_{n \to \infty} [/mm] 1 [mm] +\frac{1}{n} [/mm] = 1 + 0 = 1 $
und
$ [mm] \lim_{n \to \infty}\frac{\ln(1+n)}{\ln n} [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty}\frac{\ln(1) + ln(\frac{n}{1})}{\ln n} [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty}\frac{\ln(1) + ln(n)}{\ln n} [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty}\frac{\ln(1)}{\ln n}+1 [/mm] = [mm] \frac{0}{\infty} [/mm] + 1 = 1 $
und damit
$ r = 1*1 = 1$
korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:39 So 04.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Morph007!
> [mm]\lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{n} =\lim_{n \to \infty} 1 +\frac{1}{n} = 1 + 0 = 1[/mm]
Besser:
[mm] \lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{n}=\lim_{n \to \infty}\left(1 +\frac{1}{n}\right)=1.
[/mm]
(Ist dir der Unterschied klar?)
> [mm]\lim_{n \to \infty}\frac{\ln(1+n)}{\ln n} = \lim_{n \to \infty}\frac{\ln(1) + ln(\frac{n}{1})}{\ln n} = \lim_{n \to \infty}\frac{\ln(1) + ln(n)}{\ln n} = \lim_{n \to \infty}\frac{\ln(1)}{\ln n}+1 = \frac{0}{\infty} + 1 = 1[/mm]
Das erste Gleichheitszeichen ist schon falsch. Im Allgemeinen ist
[mm] \ln(x+y)\not=\ln(x)+\ln(y).
[/mm]
Probiere es noch einmal.
> [mm]r = 1*1 = 1[/mm]
Das Ergebnis stimmt.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 So 04.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
> Hallo Morph007!
>
>
> > [mm]\lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{n} =\lim_{n \to \infty} 1 +\frac{1}{n} = 1 + 0 = 1[/mm]
>
> Besser:
>
> [mm]\lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{n}=\lim_{n \to \infty}\left(1 +\frac{1}{n}\right)=1.[/mm]
>
> (Ist dir der Unterschied klar?)
Ich glaube ja! Durch deine Klammer wird deutlich, dass zum einen [mm] \frac{1}{n} [/mm] eben nicht gleich 0 ist, sondern nur gegen 0 strebt und zum anderen der Grenzwert der Summe zu betrachten ist und nicht nur der Grenzwert von 1 gegen Unendlich. Richtig?
>
> > [mm]\lim_{n \to \infty}\frac{\ln(1+n)}{\ln n} = \lim_{n \to \infty}\frac{\ln(1) + ln(\frac{n}{1})}{\ln n} = \lim_{n \to \infty}\frac{\ln(1) + ln(n)}{\ln n} = \lim_{n \to \infty}\frac{\ln(1)}{\ln n}+1 = \frac{0}{\infty} + 1 = 1[/mm]
>
> Das erste Gleichheitszeichen ist schon falsch. Im
> Allgemeinen ist
>
> [mm]\ln(x+y)\not=\ln(x)+\ln(y).[/mm]
>
Aber es gilt doch:
[mm] $\ln(x+y) [/mm] = [mm] \ln(x) [/mm] + [mm] \ln(\frac{y}{x})$
[/mm]
Hier ist mein x=1 und y=n , damit erhalte ich doch [mm] $\ln(1) [/mm] + [mm] \ln(\frac{n}{1})$ [/mm] , was doch gleich [mm] $\ln(1) [/mm] + [mm] \ln(n)$ [/mm] ist oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 So 04.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
> > > [mm]\lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{n} =\lim_{n \to \infty} 1 +\frac{1}{n} = 1 + 0 = 1[/mm]
>
> >
> > Besser:
> >
> > [mm]\lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{n}=\lim_{n \to \infty}\left(1 +\frac{1}{n}\right)=1.[/mm]
>
> >
> > (Ist dir der Unterschied klar?)
>
> Ich glaube ja! Durch deine Klammer wird deutlich, dass zum
> einen [mm]\frac{1}{n}[/mm] eben nicht gleich 0 ist, sondern nur
> gegen 0 strebt und zum anderen der Grenzwert der Summe zu
> betrachten ist und nicht nur der Grenzwert von 1 gegen
> Unendlich. Richtig?
Nein, durch die Klammer wird klar, dass der zweite Summand dazu-
gehört. Vielleicht noch einmal genauer:
[mm] \lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{n}=\lim_{n \to \infty}\left(1 +\frac{1}{n}\right)\overset{\text{Grenzwertsätze}}{=}\lim_{n\to\infty}1+\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=1+0=1.
[/mm]
> > > [mm]\lim_{n \to \infty}\frac{\ln(1+n)}{\ln n} = \lim_{n \to \infty}\frac{\ln(1) + ln(\frac{n}{1})}{\ln n} = \lim_{n \to \infty}\frac{\ln(1) + ln(n)}{\ln n} = \lim_{n \to \infty}\frac{\ln(1)}{\ln n}+1 = \frac{0}{\infty} + 1 = 1[/mm]
>
> >
> > Das erste Gleichheitszeichen ist schon falsch. Im
> > Allgemeinen ist
> >
> > [mm]\ln(x+y)\not=\ln(x)+\ln(y).[/mm]
> >
>
> Aber es gilt doch:
>
> [mm]\ln(x+y) = \ln(x) + \ln(\frac{y}{x})[/mm]
>
Nein. Im Allgemeinen ist
[mm] \ln(x+y)=\ln(x(1+\frac{y}{x}))=\ln(x)+\ln(1+\frac{y}{x}).
[/mm]
> Hier ist mein x=1 und y=n , damit erhalte ich doch [mm]\ln(1) + \ln(\frac{n}{1})[/mm]
> , was doch gleich [mm]\ln(1) + \ln(n)[/mm] ist oder nicht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 So 04.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
Zum ersten Teil:
Ja genau das wollte ich eigentlich mit meinem Gestammel vorher ausdrücken :)
Zum zweiten Teil:
Das war mir direkt nach dem Schreiben auch aufgefallen :(
Dann wäre es ja klüger das folgendermaßen zu schreiben:
[mm] $\lim_{n \to \infty}\frac{\ln(n) + ln( 1+ \frac{1}{n})}{\ln n} [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty}(1+\frac{ln( 1+ \frac{1}{n})}{\ln n})$
[/mm]
Auch da strebt das [mm] \frac{1}{n} [/mm] gegen Null womit im Zähler nur noch [mm] \ln(1) [/mm] und somit Null steht.
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:23 So 04.01.2015 | | Autor: | Loddar |
Hallo Morph!
> Dann wäre es ja klüger das folgendermaßen zu
> schreiben:
> [mm]\lim_{n \to \infty}\frac{\ln(n) + ln( 1+ \frac{1}{n})}{\ln n} = \lim_{n \to \infty}(1+\frac{ln( 1+ \frac{1}{n})}{\ln n})[/mm]
>
> Auch da strebt das [mm]\frac{1}{n}[/mm] gegen Null womit im Zähler
> nur noch [mm]\ln(1)[/mm] und somit Null steht.
> Richtig?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Was bedeutet das für den gesamten gesuchten Grenzwert?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 So 04.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
Wenn ich mich nicht irre müsste es dann lauten:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{0}{\ln(n)}) [/mm] = 1+ 0$
Weil Null geteilt durch Unendlich gleich Null ist.
Somit bin ich dann für den Konvergenzradius wieder bei meinem Ergebnis von $r = 1*1$
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:59 Mo 05.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{0}{\ln(n)}) = 1+ 0[/mm]
Falsch. Du kannst nicht einfach den Grenzwert einfach so ziehen
wann und wo du willst. 
> Weil Null geteilt durch Unendlich gleich Null ist.
Nein. Es ist zwar
[mm] \lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{\ln( 1+ \frac{1}{n})}{\ln n}\right)=1,
[/mm]
aber die mathematische Begründung fehlt dir weiterhin. Es ist
[mm] $\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{\ln( 1+ \frac{1}{n})}{\ln n}\right)=\lim_{n \to \infty}\left(1+\ln( 1+ \frac{1}{n})*\frac{1}{\ln n}\right)$.
[/mm]
Wenn du es jetzt genau begründen willst, dann kannst du die
Stetigkeit von [mm] \ln [/mm] bzw. die Grenzwertsätze benutzen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:37 Mo 05.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
Sollte es denn nicht für die Lösung am Ende hinreichend sein, dass [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{\ln(n)}$ [/mm] gegen Null strebt und damit der Grenzwert des gesamten Ausdrucks 1 ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:01 Mo 05.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
Es ist
[mm] $\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{\ln( 1+ \frac{1}{n})}{\ln n}\right)=\lim_{n \to \infty}\left(1+\ln( 1+ \frac{1}{n})\cdot{}\frac{1}{\ln n}\right)=1+\left(\lim_{n \to \infty}\ln( 1+ \frac{1}{n})*\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\ln n}\right)=1+\left(\ln( 1+\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n})*\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\ln n}\right)=1+\left(\ln(1+0)*0\right)=1$.
[/mm]
Das kann man natürlich noch weiter zerlegen, aber das und auch
die jeweiligen Begründungen über den Gleichheitszeichen über-
lasse ich dir.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:19 Di 06.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
Danke!
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