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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:27 So 10.06.2007 | | Autor: | taikahn |
Hallo ihr Mahteasse!
Ich würde gerne einmal wissenwie man den Konvergenzradius einer reihe ausrechnet. Ich habe nur etwas gelsen das Man den größtmöglichenwert ausrechnet und den kleinstmöglichen. Desweiteren habe ich auch ein Formel gefunden
[mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty}|a_{n+1}/a_n|.
[/mm]
Aber wie soll das funktionieren.
Kann mir das mal jemand anhand der reieh hier erläutern? [mm] \summe_{i=1}^{n}(n^n/n!)*x^n
[/mm]
Ich bin euch sehr dankbar für euere Hilfe!!!!
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Hallo Christian,
wenn du mit der Formel [mm] $r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ [/mm] berechnest,
so ist der Konvergenzradius der (Potenz-)reihe [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ [/mm]
[mm] $R:=\frac{1}{r}$, [/mm] wobei [mm] $\frac{1}{0}:=\infty$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{\infty}:=0$ [/mm] festgelegt ist.
Das ist das sog. "Euler-Kriterium"
Zu deiner Reihe [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{n!}x^n$
[/mm]
es ist [mm] $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{n^n}{n!}}=\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\cdot{}\frac{n!}{n^n}=\frac{(n+1)(n+1)^n\cdot{}n!}{(n+1)\cdot{}n!\cdot{}n^n}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$
[/mm]
[mm] $\longrightarrow [/mm] e$ für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
Also Konvergenzradius [mm] $\frac{1}{e}$, [/mm] dh die Reihe [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{n!}x^n$ [/mm] konvergiert für [mm] $|x|<\frac{1}{e}$ [/mm] und divergiert für [mm] $|x|>\frac{1}{e}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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