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| Aufgabe | Die Reihe [mm] \summe a_{k}z^{k} [/mm] hat einen Konvergenzradius >0.
Bestimme den Konvergenzradius der Reihe [mm] \summe a_{k}z^{2k} [/mm] |
Hey zusammen!
Ich bin gerade an folgender Aufgabe.. Leider weissich nicht genau, wie ich aus den vorgegebenen Infos die Aufgabe angehen soll!
Ich weiss, dass die obere Reihe einen positiven Konvergenzradius hat. Da habe ich schon die erste Unklarheit: heisst das sie konvergiert für alle positiven Konvergenzradien?
Dann gibt es auch keinerlei Angaben zu z und a, wobei z ziemlich sicher eine komplexe Zahl ist..
Also ich würde evt mal schauen in wie fern die bekannte reihe in der neuen enthalten ist.. Also sehe ich, dass jedes Glied der Reihe eifach noch zusätzlich mit [mm] z^{k} [/mm] multipliziert wird.. Nur kann ich mir unter [mm] z^{k}wenig [/mm] vorstellen (<1 oder >1.. positiv oder negativ..)
Wie ihr seht komme ich nicht wirklich vorwärts.. Wäre sehr froh um einen Tipp! Vielen lieben Dank, Ersti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 So 21.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo überforderter Ersti!
Die Aussage "Konvergenzradius [mm] $r_1 [/mm] > 0$" besagt lediglich, dass dieser auch wirklich existiert, und es nicht gilt: [mm] $r_1 [/mm] \ = \ 0$ .
Der Konvergenzradius [mm] $r_2$ [/mm] der 2. Reihe berechnet sich wegen [mm] $\summe a_{k}*z^{\red{2}*k} [/mm] \ = \ [mm] \summe a_{k}*\left(z^{\red{2}}\right)^k$ [/mm] zu [mm] $r_2 [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[\red{2}]{r_1}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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Vielen dank für den tipp!!
Nun wenn du [mm] \summe a_{k}(z^{2})^{k} [/mm] hast gibt das [mm] \wurzel{r_{1}} [/mm] als Konvergenzradius.. Ich verstehe dann ,leider nicht ganz wie du darauf kommst..
Wenn ich das nun mit einem anderen Beispiel nachzuvollziehen versuche:
[mm] \summe (a_{k})^{2}z^{k} [/mm] hier wird das ganze einfach ein 2.Mal mit dem Skalar [mm] a_{k} [/mm] multipilziert.. Wäre das dann [mm] \bruch{r_{1}}{a_{k}}?
[/mm]
lg ersti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 So 21.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Nun wenn du [mm]\summe a_{k}(z^{2})^{k}[/mm] hast gibt das
> [mm]\wurzel{r_{1}}[/mm] als Konvergenzradius.. Ich verstehe dann
> ,leider nicht ganz wie du darauf kommst..
Der Konvergenzradius [mm]r_1[/mm] einer Reihe bedeutet, dass die Reihe für [mm]|z|r_1[/mm] divergiert. Wenn also
[mm]\summe_{i=0}^\infty a_k z^k[/mm]
den Konvergenzradius [mm]r_1[/mm] hat, dann konvergiert die Reihe
[mm]\summe_{i=0}^\infty a_{k}(z^{2})^{k}[/mm]
für [mm]|z^2|r_1[/mm]. Mit anderen Worten: sie konvergiert für [mm]|z|<\sqrt{r_1}[/mm] und divergiert für [mm]|z|>\sqrt{r_1}[/mm]. Also ist der Konvergenzradius [mm]\sqrt{r_1}[/mm].
> Wenn ich das nun mit einem anderen Beispiel
> nachzuvollziehen versuche:
> [mm]\summe (a_{k})^{2}z^{k}[/mm] hier wird das ganze einfach ein
> 2.Mal mit dem Skalar [mm]a_{k}[/mm] multipilziert.. Wäre das dann
> [mm]\bruch{r_{1}}{a_{k}}?[/mm]
Was meinst du? Multiplizierst du jeden Term mit der gleichen Zahl? Dann darfst du nicht [mm]a_k[/mm] schreiben, denn k ist dein Summationsindex. Wenn du jeden Term mit der Zahl b multiplizierst, dann ändert sich der Konvergenzradius nicht.
Oder meinst du, dass du in jedem Summanden den Koeffizienten quadrierst? (Dann ergibt es keinen Sinn, außerhalb der Summe von [mm]a_k[/mm] zu sprechen.) In diesem Fall ist der Konvergenzradius [mm]r_1^2[/mm]. Das ist nicht so einfach nachzuweisen wie im ersten Fall, folgt aber aus der ![[]](/images/popup.gif) Formel von Cauchy-Hadamard.
Viele Grüße
Rainer
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