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Also ich habe folgende Potenzreihe gegeben und versuche dern Konvergenzradius zu berechnen:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^n*x^{2n}}{2^{2n}(n!)^2}
[/mm]
Also ich würde es zuerst mit der Qotientenformel für den Konvergenzradius probieren:
[mm] R:=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{c_n}{c_{n+1}}|
[/mm]
Was mich aber irritiert, ist das [mm] x^{2n} [/mm] (also die 2 im Exponenten).
Ich verstehe nicht ganz, wie ich hier verfahren soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:39 Fr 20.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Heureka!
Substituiere $z \ = \ [mm] x^2$ [/mm] ; damit erhältst Du dann eine Potenzzreihe mit [mm] $z^n$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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Hi Loddar,
danke für die schnelle Antwort.
Also wenn ich nun substituiere, erhalte ich die Potenzreihe:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^n*z^n}{2^{2n}*(n!)^2}
[/mm]
Und jetzt kann ich die Quotientenformel einfach anwenden? Wenn ja, gäbe es doch keinen Unterschied ob in der Reihe [mm] x^n [/mm] oder [mm] x^{2n} [/mm] stehen würde. Ich glaube, ich verstehe es immer noch nicht.
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> Also wenn ich nun substituiere, erhalte ich die
> Potenzreihe:
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> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^n*z^n}{2^{2n}*(n!)^2}[/mm]
> Und jetzt kann ich die Quotientenformel einfach anwenden?
> Wenn ja, gäbe es doch keinen Unterschied ob in der Reihe
> [mm]x^n[/mm] oder [mm]x^{2n}[/mm] stehen würde. Ich glaube, ich verstehe es
> immer noch nicht.
Hallo,
wenn Du nun einen Konvergenzradius r bestimmst, weißt Du, daß die Reihe für alle z mit |z|<r konvergiert.
Und dann sezt Du ein [mm] z=x^2 [/mm] und ermittelst, für welche x sie konvergiert.
Gruß v. Angela
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Ah super, ich glaube, ich habe es endlich verstanden.
Also ich benutze erstmal die Quotientenformel, und kriege den Ausdruck:
[mm] (n+1)^2*4. [/mm] Und das strebt gegen Unendlich, also ist [mm] R'=\infty
[/mm]
und dann konvergiert die Potenzreihe für alle z mit |z| < [mm] \infty
[/mm]
und da [mm] z=x^2 [/mm] ist, konvergiert es auch für alle x, also ist der Konvergenzradius für die ursprüngliche Potenzreihe R = [mm] \infty
[/mm]
Habe ich es so richtig verstanden?
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> Ah super, ich glaube, ich habe es endlich verstanden.
> Also ich benutze erstmal die Quotientenformel, und kriege
> den Ausdruck:
> [mm](n+1)^2*4.[/mm] Und das strebt gegen Unendlich, also ist
> [mm]R'=\infty[/mm]
Hallo,
ich hab' Deinen Quotienten nicht nachgerechnet.
Wenn er stimmt, dann hast Du recht.
Hättest Du einen Konvergenzradius für die substituierte Reihe von 9, dann wäre der Konvergenzradius der "normalen" Reihe =3.
Gruß v. Angela
> und dann konvergiert die Potenzreihe für alle z mit |z| <
> [mm]\infty[/mm]
> und da [mm]z=x^2[/mm] ist, konvergiert es auch für alle x, also ist
> der Konvergenzradius für die ursprüngliche Potenzreihe R =
> [mm]\infty[/mm]
> Habe ich es so richtig verstanden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:15 Fr 20.02.2009 | | Autor: | Heureka89 |
Alles klar, danke!
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