Konvergenzradius < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechne Konvergenzradius von:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(n^{2}+a^n) z^n. [/mm] |
Hey,
ich würde gerne den Konvergenzradius beider Teile der Summe getrennt betrachten, weiß aber nicht, wie dieser dann in Bezug zu dem Konvergenzradius der ganzen Summe steht...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:08 Fr 07.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechne Konvergenzradius von:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(n^{2}+a^n) z^n.[/mm]
> Hey,
> ich würde gerne den Konvergenzradius beider Teile der
> Summe getrennt betrachten, weiß aber nicht, wie dieser
> dann in Bezug zu dem Konvergenzradius der ganzen Summe
> steht...
was meinst Du? Du hast da eine PR der Form
[mm] $$f(z)=\sum_{n=1}^\infty (y_n *z^n)$$
[/mm]
mit [mm] $y_n=n^2+a^n$ [/mm] stehen. Nun gilt für den Konvergenzradius $r$ eben
[mm] $$r=\frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|y_n|}},$$
[/mm]
und nun kann man sicher [mm] $|y_n|$ [/mm] geeignet abschätzen (je nachdem, ob [mm] $\,|a|<1$, $\,|a|=1$ [/mm] oder [mm] $\,|a| [/mm] > 1$ ist), um [mm] $\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{|y_n|}$ [/mm] mithilfe des Sandwichkriteriums zu berechnen.
Alternativ:
[mm] $$\summe_{n=1}^{\infty}(n^{2}+a^n) z^n=\summe_{n=1}^{\infty}n^{2} z^n+\summe_{n=1}^{\infty}a^n z^n. [/mm] $$
(Diese Gleichheit gilt eigentlich nur im Falle der Konvergenz.)
Überlegung:
Dabei konvergiert die linke PR (Potenzreihe) jedenfalls dann, wenn beide PRn rechterhand konvergieren (Warum?). Überlege Dir nun:
Der Konvergenzkreis der linken PR ist gleich dem Minimum der beiden Potenzreihen rechterhand (hier also [mm] $\min\{1,\,|a|\}$).
[/mm]
Tipp dazu:
Für [mm] $f(z)=\sum_{k=0}^\infty a_n z^n$ [/mm] ist $R > 0$ der Konvergenzradius genau dann, wenn [mm] $\,f(z)$ [/mm] für $|z| [mm] \in [/mm] [0,R)$ konvergiert und [mm] $\,f(z)$ [/mm] für $|z| [mm] \in (R,\infty)$ [/mm] divergiert.
[mm] $\text{(}$Und [/mm] wenn [mm] $R\,$ [/mm] der Konvergenzradius ist, gilt zudem
[mm] $$R=\frac{1}{\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}}\,.\text{)}$$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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Ja, genau, das meinte ich. Die erste Variante hatte ich auch, mir schien es nur etwas umständlich, dass jedes mal abzuschätzen etc und da kam ich auf die Idee, dass man es auch getrennt betrachten kann. Soweit hab ich alles verstanden, danke ;). Gleichheit bei Aufspalten der Summen gilt denke ich, weil die Reihe ist ja definiert als der Grenzwert der Partialsummen. Und da haben wir ja eigentlich die Grenzwertgesetze oder? Also müsste die LS dann konvergieren, wenn die rechte konvergiert, so würd ichs mal deuten...
Nur, was mir immernoch unklar ist, wieso ist der Konvergenzradius genau das Minimum?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:41 Sa 08.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ja, genau, das meinte ich. Die erste Variante hatte ich
> auch, mir schien es nur etwas umständlich, dass jedes mal
> abzuschätzen etc und da kam ich auf die Idee, dass man es
> auch getrennt betrachten kann. Soweit hab ich alles
> verstanden, danke ;). Gleichheit bei Aufspalten der Summen
> gilt denke ich, weil die Reihe ist ja definiert als der
> Grenzwert der Partialsummen. Und da haben wir ja eigentlich
> die Grenzwertgesetze oder? Also müsste die LS dann
> konvergieren, wenn die rechte konvergiert, so würd ichs
> mal deuten...
Ja, und zwar deswegen, weil beide absolut konvergent sind, und du damit die Summanden auf der rechten Seite so umordnen darfst, dass die linke Summe herauskommt.
> Nur, was mir immernoch unklar ist, wieso ist der
> Konvergenzradius genau das Minimum?
Eben weil du absolut konvergente Reihen beliebig umordnen darfst, ohne dass sich der Summenwert ändert. Angenommen, die linke Seite hat Konvergenzradius a, die erste Summe rechts Konvergenzradius b, die zweite c. wenn nun $c < a< b$ wäre, so hättest du für $c <|z| <a$ links eine konvergente Reihe und rechts die Summe aus einer konvergenten und einer divergenten Reihe -> Widerspruch.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:23 Sa 08.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo!
>
> > Ja, genau, das meinte ich. Die erste Variante hatte ich
> > auch, mir schien es nur etwas umständlich, dass jedes mal
> > abzuschätzen etc und da kam ich auf die Idee, dass man es
> > auch getrennt betrachten kann. Soweit hab ich alles
> > verstanden, danke ;). Gleichheit bei Aufspalten der Summen
> > gilt denke ich, weil die Reihe ist ja definiert als der
> > Grenzwert der Partialsummen. Und da haben wir ja eigentlich
> > die Grenzwertgesetze oder? Also müsste die LS dann
> > konvergieren, wenn die rechte konvergiert, so würd ichs
> > mal deuten...
>
> Ja, und zwar deswegen, weil beide absolut konvergent sind,
> und du damit die Summanden auf der rechten Seite so
> umordnen darfst, dass die linke Summe herauskommt.
die Gleichheit
$$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(n^{2}+a^n) z^n=\summe_{n=1}^{\infty}n^{2} z^n+\summe_{n=1}^{\infty}a^n z^n$$
[/mm]
gilt jedenfalls auch dann schon, wenn beide Reihen rechterhand konvergieren. Hier greift in der Tat schon das Gesetz
[mm] $$\lim_{n \to \infty}(a_n+b_n)=(\lim_{n \to \infty}a_n)+(\lim_{n \to \infty}b_n),$$
[/mm]
wenn [mm] $(a_n)_n$ [/mm] und [mm] $(b_n)_n$ [/mm] konvergieren, wobei hier für festes $z [mm] \in \IC$
[/mm]
[mm] $$a_n=a_n(z)=\sum_{k=1}^n k^2*z^k$$
[/mm]
und
[mm] $$b_n=b_n(z)=\sum_{k=1}^n a^k*z^k\,.$$
[/mm]
Damit die erste oben stehende Gleichheit gilt, muss natürlich $z [mm] \in \IC$ [/mm] dann so sein, dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] und [mm] $(b_n)_n$ [/mm] beide konvergieren.
Genau so geht ja die Begründung (in Analysis I oder II), um einzusehen, dass
[mm] $$(\sum_{k=1}^\infty r_k)+(\sum_{k=1}^\infty s_k)=\sum_{k=1}^\infty (r_k+s_k),$$
[/mm]
sofern beide Reihen linkerhand konvergieren. Die absolute Konvergenz der beiden Reihen linkerhand ist hier nicht notwendig (sie impliziert natürlich insbesondere die Kgz. der beiden Reihen linkerhand).
Wieso Du hier auf ![[]](/images/popup.gif) Umordnungen verweist, ist mir - gerade jedenfalls - nicht so ganz klar. Für [mm] $y_n=n^2+a^n$ [/mm] wird ja die Reihe
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty y_k z^k$$
[/mm]
nicht umgeschrieben zu einer der Form
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty y_{\sigma(k)} z^{\sigma(k)},$$
[/mm]
wobei [mm] $\sigma: \IN \to \IN$ [/mm] bijektiv ist?
Beste Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:55 Sa 08.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Marcel!
> Wieso Du hier auf
> Umordnungen
> verweist, ist mir - gerade jedenfalls - nicht so ganz klar.
> Für [mm]y_n=n^2+a^n[/mm] wird ja die Reihe
> [mm]\sum_{k=1}^\infty y_k z^k[/mm]
> nicht umgeschrieben zu einer
> der Form
> [mm]\sum_{k=1}^\infty y_{\sigma(k)} z^{\sigma(k)},[/mm]
> wobei
> [mm]\sigma: \IN \to \IN[/mm] bijektiv ist?
Wenn ich die Reihe
[mm] \summe_{n=0}^\infty (a_n+b_n) [/mm]
auffasse als Reihe
[mm] \summe_{n=0}^\infty c_n [/mm] mit [mm] $c_{2n} [/mm] = [mm] a_n$, $c_{2n+1} [/mm] = [mm] b_n [/mm] $,
so ist
[mm] \summe a_n + \summe b_n [/mm]
eine Umordnung von
[mm] \summe c_n [/mm] .
Aber du hast recht, da war ein Denkfehler von mir, denn absolute Konvergenz von [mm] $\summe c_n$ [/mm] bedeutet Konvergenz von [mm] $\summe (|a_n| [/mm] + [mm] |b_n|)$, [/mm] was nicht aus Konvergenz von [mm] $\summe |a_n+b_n|$ [/mm] folgt.
Viele Grüße
Rainer
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Ahm ;) brauche ich jetzt die absolute Konvergenz zum Begründen, dass das das Minimum der Konvergenzradien ist oder nicht? ^^
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:44 Sa 08.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ahm ;) brauche ich jetzt die absolute Konvergenz zum
> Begründen, dass das das Minimum der Konvergenzradien ist
> oder nicht? ^^
nein. Du musst nur (siehe Felix Hinweis) beachten, dass es da noch einen Sonderfall geben kann.
Beste Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:56 Sa 08.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Rainer!
> Hallo Marcel!
>
> > Wieso Du hier auf
> >
> Umordnungen
> > verweist, ist mir - gerade jedenfalls - nicht so ganz klar.
> > Für [mm]y_n=n^2+a^n[/mm] wird ja die Reihe
> > [mm]\sum_{k=1}^\infty y_k z^k[/mm]
> > nicht umgeschrieben zu
> einer
> > der Form
> > [mm]\sum_{k=1}^\infty y_{\sigma(k)} z^{\sigma(k)},[/mm]
> >
> wobei
> > [mm]\sigma: \IN \to \IN[/mm] bijektiv ist?
>
> Wenn ich die Reihe
>
> [mm]\summe_{n=0}^\infty (a_n+b_n) [/mm]
>
> auffasse als Reihe
>
> [mm]\summe_{n=0}^\infty c_n[/mm] mit [mm]c_{2n} = a_n[/mm], [mm]c_{2n+1} = b_n [/mm],
>
> so ist
>
> [mm]\summe a_n + \summe b_n[/mm]
>
> eine Umordnung von
>
> [mm]\summe c_n[/mm] .
Ach klar. Mit anderen Worten findet dann - mit [mm] $c_n=a_n+b_n$ [/mm] - eine Umschreibung der Reihe mittels Einführung einer neuen Variablen [mm] $y_n$ [/mm] statt:
[mm] $$\sum c_n=\sum (a_n+b_n)=\sum y_n$$ [/mm]
wobei man dann
[mm] $$y_{2n}=a_n$$
[/mm]
und
[mm] $$y_{2n+1}=b_n$$
[/mm]
setzt. Und bzgl. [mm] $y_n$ [/mm] findet dann eine Umordnung statt. Okay. Dann hast Du natürlich recht. Ich kam noch nicht dazu, mir es mal umzuschreiben, denn im Kopf hatte ich immer die Partialsumme von
[mm] $$\sum (n^2+a^n)*z^n$$
[/mm]
wobei halt bei der Folge der Partialsummen immer eine gerade Anzahl von Summanden auftreten, weil man dann immer [mm] $n^2+a^n$ [/mm] quasi stets "paarweise" hinschreibt.
> Aber du hast recht, da war ein Denkfehler von mir, denn
> absolute Konvergenz von [mm]\summe c_n[/mm] bedeutet Konvergenz von
> [mm]\summe (|a_n| + |b_n|)[/mm], was nicht aus Konvergenz von [mm]\summe |a_n+b_n|[/mm]
> folgt.
Ja stimmt. Wenigstens hatte meine Nachfrage dann doch noch eine kleine korrigierende Wirkung 
Beste Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:57 Sa 08.05.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Rainer!
> > Nur, was mir immernoch unklar ist, wieso ist der
> > Konvergenzradius genau das Minimum?
>
> Eben weil du absolut konvergente Reihen beliebig umordnen
> darfst, ohne dass sich der Summenwert ändert. Angenommen,
> die linke Seite hat Konvergenzradius a, die erste Summe
> rechts Konvergenzradius b, die zweite c. wenn nun [mm]c < a< b[/mm]
> wäre, so hättest du für [mm]c <|z|
> konvergente Reihe und rechts die Summe aus einer
> konvergenten und einer divergenten Reihe -> Widerspruch.
Das stimmt nicht immer: wenn sich z.B. die zwei Summanden so aufheben, dass ein Polynom uebrigbleibt, kann der Konvergenzradius auch echt groesser werden. Das kann aber auch nur dann der Fall sein, wenn der Konvergenzradius der beiden Reihen gleich ist.
Ganz allgemein: habe [mm] $\sum a_n z^n$ [/mm] den Konvergenzradius $r$ und [mm] $\sum b_n z^n$ [/mm] den Konvergenzradius $R$, und sei $r < R$. Dann hat [mm] $\sum c_n z^n$ [/mm] mit [mm] $c_n [/mm] := [mm] b_n [/mm] - [mm] a_n$ [/mm] den Konvergenzradius $r$ (das Minimum von den beiden). Jedoch hat [mm] $\sum a_n z^n [/mm] + [mm] \sum c_n z^n [/mm] = [mm] \sum b_n z^n$ [/mm] den Konvergenzradius $R$, obwohl beide Summanden den Konvergenzradius $r < R$ haben.
Also: der Konvergenzradius ist i.A. nur dann das Minimum der beiden Radien, wenn sie verschieden sind. Wenn sie gleich sind, ist das Minimum nur eine untere Schranke.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:43 Sa 08.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Felix,
> Also: der Konvergenzradius ist i.A. nur dann das Minimum
> der beiden Radien, wenn sie verschieden sind. Wenn sie
> gleich sind, ist das Minimum nur eine untere Schranke.
meinerseits mal vielen Dank für den Hinweis. Das es da noch einen "Sonderfall" gibt, habe ich mir (auf die Schnelle jedenfalls) noch nicht überlegt.
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:04 So 09.05.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Marcel,
> > Also: der Konvergenzradius ist i.A. nur dann das Minimum
> > der beiden Radien, wenn sie verschieden sind. Wenn sie
> > gleich sind, ist das Minimum nur eine untere Schranke.
>
> meinerseits mal vielen Dank für den Hinweis. Das es da
> noch einen "Sonderfall" gibt, habe ich mir (auf die
> Schnelle jedenfalls) noch nicht überlegt.
falls du (nicht-archimedische) Bewertungen kennst (wie etwa die $p$-adische Bewertung auf [mm] $\IZ$ [/mm] bzw. [mm] $\IQ$, [/mm] oder auch die Null-/Polstellenordnung von holomorphen bzw. meromorphen Funktionen in einem Punkt), dann beachte die frappierende Aehnlichkeit dieser Beziehung fuer Konvergenzradien und der strikten Dreiecksungleichung; diese lautet: [mm] $\|x [/mm] + [mm] y\| \ge \min\{ \|x\|, \|y\| \}$; [/mm] auch dort kann man zeigen: aus [mm] $\|x\| \neq \|y\|$ [/mm] folgt [mm] $\|x [/mm] + [mm] y\| [/mm] = [mm] \min\{ \|x\|, \|y\| \}$; [/mm] wenn jedoch [mm] $\|x\| [/mm] = [mm] \|y\|$ [/mm] ist, kann auch Ungleichheit herrschen.
Bei Konvergenzradien ist der Konvergenzradius des Produktes zweier Potenzreihen leider nicht gleich dem Produkt der Konvergenzradien; wenn dies der Fall waere, so haette man eine nicht-archimedische Bewertung auf dem Ring der Potenzreihen mit Entwicklungspunkt [mm] $z_0$ [/mm] und nicht-verschwindenem Konvergenzradius. Das waer aber auch zu schoen
LG Felix
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