Konvergenzradius Beweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:53 Mo 28.02.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | Sei [mm] (an)_{\in\IN} [/mm] eine Folge positiver reeller Zahlen mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] an = 0.
Beweisen Sie, dass die beiden Potenzreihen [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n} [/mm] und [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(a_{n}+a_{n}^{2})x^{n}, x\in \IR, [/mm] denselben Konvergenzradius haben. |
Mein Ansatz sieht wie folgt aus:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_{n+1}^{2}+a_{n+1}}{a_{n}+a_{n}^{2}} \gdw \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n+1}
[/mm]
Somit muss der Konvergenzradius übereinstimmen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:20 Mo 28.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm](an)_{\in\IN}[/mm] eine Folge positiver reeller Zahlen mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] an = 0.
> Beweisen Sie, dass die beiden Potenzreihen
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}[/mm] und
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(a_{n}+a_{n}^{2})x^{n}, x\in \IR,[/mm]
> denselben Konvergenzradius haben.
> Mein Ansatz sieht wie folgt aus:
>
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_{n+1}^{2}+a_{n+1}}{a_{n}+a_{n}^{2}} \gdw \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n+1}[/mm]
Womit begründest Du " [mm] \gdw [/mm] " ?? Wo hast Du benutzt, dass [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge ist ?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] liefert Dir nur dann den Konvergenzradius, wenn dieser Limes existiert .
Mach es so: überlege Dir:
1. es ex. ein m [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] a_n \le [/mm] 1 für n>m.
2. mit [mm] b_n:=a_n+a_n^2 [/mm] ist [mm] $b_n \le 2*a_n$ [/mm] für n>m
3.
$ [mm] \wurzel[n]{a_n} \le \wurzel[n]{b_n} \le \wurzel[n]{2*a_n}$ [/mm] für n>m
FRED
>
> Somit muss der Konvergenzradius übereinstimmen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:32 Mo 28.02.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Vielen Dank. Oh man...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 Mo 28.02.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Du könntest es auch so machen:
Sei [mm] r_1 [/mm] der Konvergenzradius der 1. Reihe. Dann gilt [mm] r_1=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_n}{a_{n+1}}=:g\in \IR \cup \{\infty\} [/mm] (Quotientenkriterium).
Nun ist [mm] r_2=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_n+a_n^2}{a_{n+1}+a_{n+1}^2}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{a_n}{a_{n+1}}+\bruch{a_n}{a_{n+1}}*a_n}{1+a_{n+1}}. [/mm] Diesen Grenzwert kannst du ausrechnen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:53 Mo 28.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hi!
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> Du könntest es auch so machen:
Nein, kann er nicht ! Die Folge [mm] (\bruch{a_n}{a_{n+1}}) [/mm] muß keine Grenzwert haben (habe ich oben, nicht so ganz deutlich, geschrieben)
Beispiel: [mm] a_n:=1/n, [/mm] falls n gerade und [mm] a_n:= 1/2^n, [/mm] falls n ungerade
FRED
>
> Sei [mm]r_1[/mm] der Konvergenzradius der 1. Reihe. Dann gilt
> [mm]r_1=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_n}{a_{n+1}}=:g\in \IR \cup \{\infty\}[/mm]
> (Quotientenkriterium).
>
> Nun ist
> [mm]r_2=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_n+a_n^2}{a_{n+1}+a_{n+1}^2}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{a_n}{a_{n+1}}+\bruch{a_n}{a_{n+1}}*a_n}{1+a_{n+1}}.[/mm]
> Diesen Grenzwert kannst du ausrechnen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:04 Mo 28.02.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Oh, da hast du natürlich Recht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:15 Mo 28.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Eine Anmerkung:
Dass [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge ist, ist ein zu starke Vor.
Es genügt die Beschränktheit von [mm] (a_n)
[/mm]
FRED
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