www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenzradius Potenzreihe
Konvergenzradius Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Konvergenzradius Potenzreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:48 Do 06.10.2011
Autor: hilbert

Ich soll den Konvergenzradius von folgender Potenzreihe bestimmen:

[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(k!)^3}{(3k)!}x^{3k} [/mm]

Ich kenne Potenzreihen jedoch nur in dieser Form:

[mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_n*(x-x_0)^k [/mm]

Klar ist, dass der Entwicklungspunkt scheinbar die 0 ist.

Ich glaube aber, dass ich jetzt nicht [mm] a_n [/mm] als [mm] \bruch{(k!)^3}{(3k)!} [/mm] setzen darf und wie gewohnt den Konvergenzradius berechnen kann, da dort nicht [mm] x^k [/mm] sondern [mm] x^{3k} [/mm] steht.

Wie kann ich das jetzt machen?


Vielen Dank im Voraus

        
Bezug
Konvergenzradius Potenzreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:58 Do 06.10.2011
Autor: schachuzipus

Hallo hilbert,


> Ich soll den Konvergenzradius von folgender Potenzreihe
> bestimmen:
>  
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(k!)^3}{(3k)!}x^{3k}[/mm]
>  
> Ich kenne Potenzreihen jedoch nur in dieser Form:
>  
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}a_n*(x-x_0)^k[/mm]

Naja, i.d.R. sind die Koeffizienten ja von k abh., also besser

[mm]\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_{\red{k}}\cdot{}(x-x_0)^k[/mm]

>  
> Klar ist, dass der Entwicklungspunkt scheinbar die 0 ist. [ok]
>  
> Ich glaube aber, dass ich jetzt nicht [mm]a_n[/mm] als
> [mm]\bruch{(k!)^3}{(3k)!}[/mm] setzen darf und wie gewohnt den
> Konvergenzradius berechnen kann, da dort nicht [mm]x^k[/mm] sondern
> [mm]x^{3k}[/mm] steht.
>  
> Wie kann ich das jetzt machen?

Es ist [mm]x^{3k}=\left(x^3\right)^k[/mm]

Substituiere also [mm]y:=x^3[/mm] und berechne den Konvergenzradius in [mm]y[/mm], rechne dann wieder in x um ...

>  
>
> Vielen Dank im Voraus

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Konvergenzradius Potenzreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:04 Do 06.10.2011
Autor: hilbert

Ja so einfach kann man das machen^^

dann komme ich also auf

[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(k!)^3}{(3k)!}*y^k. [/mm]

Demnach ist der Konvergenzradius

r= [mm] \wurzel[3]{\bruch{1}{limsup(|a_k|)}} [/mm] mit [mm] a_k [/mm] = [mm] \bruch{(k!)^3}{(3k)!} [/mm]

der limsup von [mm] a_k [/mm] ist doch 0 oder? also ist die Potenzreihe quasi für alle y Konvergent und damit auch für alle x?

Vielen Dank schonmal =)

Bezug
                        
Bezug
Konvergenzradius Potenzreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:19 Do 06.10.2011
Autor: fred97


> Ja so einfach kann man das machen^^
>  
> dann komme ich also auf
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(k!)^3}{(3k)!}*y^k.[/mm]
>  
> Demnach ist der Konvergenzradius
>
> r= [mm]\wurzel[3]{\bruch{1}{limsup(|a_k|)}}[/mm] mit [mm]a_k[/mm] =
> [mm]\bruch{(k!)^3}{(3k)!}[/mm]

Unfug ! 3. Wurzel ?

Der Konvergenzradius r der Potenzreihe  [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(k!)^3}{(3k)!}*y^k.[/mm]ist

[mm] r=\bruch{1}{lim ~sup ~\wurzel[k]{|a_k|} } [/mm] mit der Konvention [mm] 1/\infty:=0 [/mm] und 1/0:= [mm] \infty [/mm]

>  
> der limsup von [mm]a_k[/mm] ist doch 0 oder?


S.o.


> also ist die
> Potenzreihe quasi für alle y Konvergent und damit auch
> für alle x?

Mit und ohne "quasi" stimmt das nicht !

In obiger Aufgabe ist es vorteilhaft den KR der Potenzreihe

$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(k!)^3}{(3k)!}\cdot{}y^k. [/mm] $

mit der Formel

  r= lim [mm] \bruch{a_k}{a_{k+1}} [/mm]

zu berechnen. Dann hat Deine Potenzreihe

$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(k!)^3}{(3k)!}\cdot{}x^{3k} [/mm] $  den Konvergenzradius [mm] \wurzel[3]{r} [/mm]

>  
> Vielen Dank schonmal =)


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.mathebank.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]