Konvergenzradius berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie den Konvergenzradius von
[mm] P(x)=\bruch{1}{2}+\bruch{x^2}{4}+\bruch{x^{4}}{6}+\bruch{x^{6}}{8}+... [/mm] |
Hi,
die gegeben Summe habe ich als aller erstes zusammengefasst zu:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2n}*x^{2n-2}
[/mm]
Zur Berechnen des Konvergenzradius habe ich folgende Formel verwendet:
[mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n}}{a_{n}+1}|
[/mm]
und somit für diese Summe den Konvergenzradius:
[mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{\bruch{1}{2n}}{\bruch{1}{2(n+1)}}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{2n+2}{2n}|=1
[/mm]
Mein Rechenweg scheint jedoch laut Professor nicht richtig zu sein.
Seine Begründung dafür lautet:
"Anm.: Bei der dieser Potenzreihe können Sie nicht einfach das r nach der Formel aus der Vorlesung berechnen, weil unendlich viele Vorfaktoren 0 sind und durch Null nicht geteilt werden darf.
Berechnen Sie stattdessen den Konvergenzradius direkt mit dem Quotientenkriterium."
Ich versteh die Begründung nicht ganz genau.
Wie gehe ich den jetzt mit dem Quotientenkriterium vor?
Würde mich freuen wenn ihr mir hier helfen könntet.
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:19 Di 20.12.2016 | | Autor: | fred97 |
In obiger Potenzreihe ist [mm] $a_n=0$ [/mm] falls n ungerade ist. Damit ist der Quotient [mm] \frac{a_n}{a_{n+1}} [/mm] nicht definiert, wenn n gerade ist. Denn in diesem Fall ist n+1 ungerade, also [mm] a_{n+1}=0.
[/mm]
Zum Quotientenkriterium: Klar dürfte sein, dass die Potenzreihe für x=0 konvergiert. Sei also x [mm] \ne [/mm] 0;
setze [mm] c_n(x):=\bruch{1}{2n}\cdot{}x^{2n-2}.
[/mm]
dann ist [mm] \bruch{|c_{n+1}(x)|}{|c_n(x)|}=\bruch{n}{n+1}x^2, [/mm] also
[mm] \bruch{|c_{n+1}(x)|}{|c_n(x)|} \to x^2 [/mm] für n [mm] \to \infty.
[/mm]
Mit dem Quotientenkriterium haben wir:
die Potenzreihe konvergiert absolut für [mm] x^2<1, [/mm] also für |x|<1
und
die Potenzreihe divergiert für [mm] x^2>1, [/mm] also für |x|>1.
Damit ist der Konvergenzradius =1.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:59 Di 20.12.2016 | | Autor: | defjam123 |
herzlichen Dank! Hast mir sehr weitergeholfen
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Di 20.12.2016 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechnen Sie den Konvergenzradius von
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> [mm]P(x)=\bruch{1}{2}+\bruch{x^2}{4}+\bruch{x^{4}}{6}+\bruch{x^{6}}{8}+...[/mm]
>
> Hi,
>
> die gegeben Summe habe ich als aller erstes zusammengefasst
> zu:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2n}*x^{2n-2}[/mm]
>
> Zur Berechnen des Konvergenzradius habe ich folgende Formel
> verwendet:
>
> [mm]r=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n}}{a_{n}+1}|[/mm]
>
> und somit für diese Summe den Konvergenzradius:
>
> [mm]r=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{\bruch{1}{2n}}{\bruch{1}{2(n+1)}}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{2n+2}{2n}|=1[/mm]
>
> Mein Rechenweg scheint jedoch laut Professor nicht richtig
> zu sein.
>
> Seine Begründung dafür lautet:
>
> "Anm.: Bei der dieser Potenzreihe können Sie nicht einfach
> das r nach der Formel aus der Vorlesung berechnen, weil
> unendlich viele Vorfaktoren 0 sind und durch Null nicht
> geteilt werden darf.
> Berechnen Sie stattdessen den Konvergenzradius direkt mit
> dem Quotientenkriterium."
Du hättest aber bspw. [mm] $y:=x^2$ [/mm] substituieren können und dann den Konvergenzradius
der Potenzreihe in [mm] $y\,$ [/mm] berechnen und damit auf den der Potenzreihe in [mm] $x\,$ [/mm] schließen
können!
Zu "solchen Geschichten" habe ich auch mal 'n alten Thread geschrieben,
siehe hier:
https://matheraum.de/read?i=936147
Gruß,
Marcel
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