Konvergenzradius bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 Mo 21.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Reihe [mm] \summe_{k=7}^{\infty} 4k^{5}*3^{k}*x^{k^{2}} [/mm] |
Guten Tag,
habe bei der Aufgabe ein paar Probleme. Habe folgendes gemacht:
[mm] \wurzel[k]{|4k^{2}*3^{k}|} [/mm] =
[mm] \wurzel[k]{|4k^{2}|}*\wurzel[k]{|3^{k}|} [/mm] = [mm] \wurzel[k]{|4k^{2}|}*3 \Rightarrow [/mm] r = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel[k]{|4k^{2}|}*3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm]
Stimmt das so?
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 Mo 21.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Reihe
> [mm]\summe_{k=7}^{\infty} 4k^{5}*3^{k}*x^{k^{2}}[/mm]
> Guten Tag,
>
> habe bei der Aufgabe ein paar Probleme. Habe folgendes
> gemacht:
>
> [mm]\wurzel[k]{|4k^{2}*3^{k}|}[/mm] =
> [mm]\wurzel[k]{|4k^{2}|}*\wurzel[k]{|3^{k}|}[/mm] =
> [mm]\wurzel[k]{|4k^{2}|}*3 \Rightarrow[/mm] r =
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel[k]{|4k^{2}|}*3}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Stimmt das so?
Nein. Deine Potenzreihe sieht so aus: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n, [/mm] wobei
[mm] a_n=\begin{cases} 4k^53^k, & \mbox{falls } n=k^2 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
Nun berechne [mm] \wurzel[n]{|a_n|} [/mm] und dann lim sup [mm] \wurzel[n]{|a_n|}
[/mm]
FRED
>
> LG Loriot95
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:55 Mo 21.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Einfacher wirds, wenn Du auf die Reihe
$ [mm] \summe_{k=7}^{\infty} 4k^{5}\cdot{}3^{k}\cdot{}x^{k^{2}} [/mm] $
das WK direkt loslässt: setze [mm] b_k:=4k^{5}\cdot{}3^{k}\cdot{}x^{k^{2}}
[/mm]
Dann ist
[mm] \wurzel[k]{|b_k|}= 3*\wurzel[k]{4k^5}*|x|^k$
[/mm]
Für |x|<1 ist lim [mm] \wurzel[k]{|b_k|} [/mm] =?
Für |x|>1 ist lim [mm] \wurzel[k]{|b_k|} [/mm] =?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:33 Di 22.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> Einfacher wirds, wenn Du auf die Reihe
>
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> [mm]\summe_{k=7}^{\infty} 4k^{5}\cdot{}3^{k}\cdot{}x^{k^{2}}[/mm]
>
> das WK direkt loslässt: setze
> [mm]b_k:=4k^{5}\cdot{}3^{k}\cdot{}x^{k^{2}}[/mm]
>
> Dann ist
>
> [mm]\wurzel[k]{|b_k|}= 3*\wurzel[k]{4k^5}*|x|^k$[/mm]
>
> Für |x|<1 ist lim [mm]\wurzel[k]{|b_k|}[/mm] =?
Hm gute Frage. Auf alle Fälle ist es dann kleiner als 1 also konvergent, oder?
> Für |x|>1 ist lim [mm]\wurzel[k]{|b_k|}[/mm] =?
>
>
> FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:39 Di 22.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Klar dürfte sein:
[mm] 3\cdot{}\wurzel[k]{4k^5} \to [/mm] 3 ( k [mm] \to \infty)
[/mm]
Ist nun |x|<1, so ist [mm] (|x|^k) [/mm] eine Nullfolge !!!
Was treibt also ($ [mm] \wurzel[k]{|b_k|} [/mm] $) ?
Nun gehe mal ran an den Fall |x|>1.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:47 Di 22.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> Klar dürfte sein:
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> [mm]3\cdot{}\wurzel[k]{4k^5} \to[/mm] 3 ( k [mm]\to \infty)[/mm]
>
> Ist nun |x|<1, so ist [mm](|x|^k)[/mm] eine Nullfolge !!!
>
> Was treibt also ([mm] \wurzel[k]{|b_k|} [/mm]) ?
Für k -> [mm] \infty [/mm] konvergiert das ganze gegen 0.
>
> Nun gehe mal ran an den Fall |x|>1.
Für den Fall, divergiert dann [mm] \wurzel[k]{|b_k|} [/mm] für k -> [mm] \infty
[/mm]
> FRED
So richtig?
LG loriot95
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:53 Di 22.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Klar dürfte sein:
> >
> > [mm]3\cdot{}\wurzel[k]{4k^5} \to[/mm] 3 ( k [mm]\to \infty)[/mm]
> >
> > Ist nun |x|<1, so ist [mm](|x|^k)[/mm] eine Nullfolge !!!
> >
> > Was treibt also ([mm] \wurzel[k]{|b_k|} [/mm]) ?
> Für k -> [mm]\infty[/mm] konvergiert das ganze gegen 0.
> >
> > Nun gehe mal ran an den Fall |x|>1.
> Für den Fall, divergiert dann [mm]\wurzel[k]{|b_k|}[/mm] für k
> -> [mm]\infty[/mm]
> > FRED
>
> So richtig?
Ja
FRED
>
> LG loriot95
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:53 Di 22.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Danke schön :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 Di 22.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Hab dann doch noch Mal eine Frage.... Der Konvergenzradius müsste demnach ja 1 sein. Aber wie kamst du auf die |x| < 1 und |x| > 1?
LG loriot95
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Hallo Loriot,
> Hab dann doch noch Mal eine Frage.... Der Konvergenzradius
> müsste demnach ja 1 sein. Aber wie kamst du auf die |x| < 1 und |x| > 1?
Weil er gesehen hat, dass [mm] b_k [/mm] für |x|<1 konvergent und für |x|>1 divergent nach WK ist. Damit war klar, dass 1 der Konvergenzradius ist.
>
> LG loriot95
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:08 Di 22.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Hm ok man brauch also einen "Blick" für.
Danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:12 Di 22.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hm ok man brauch also einen "Blick" für.
Na ja, Du kannst es mal probieren wie ich Dir es hier
https://www.vorhilfe.de/read?i=779980
gesagt habe. Dann wirst Du sehen, dass dies fehleranfälliger ist.
FRED
>
> Danke.
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