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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Berechnen Sie den Konvergenzradius der Reihe
$\sum_{n=0}^\infty (\frac{(-1)^n * n!}{10^n} * x^n $ |
Hallöchen!
Nun, zum Konvergenzradius habe, da keine Vorlesung besucht wird, ich Folgendes aus den Weiten des Internets (und Lehrbüchern) fischen können:
1.) Konvergenzradius mit Cauchy-Hadamard berechnen -> klappt immer
2.) Konvergenzradius nach Euler berechnen -> klappt wohl nicht immer
3.) Konvergenzradius mithilfe des Quotientenkriteriums berechnen.
Nun hätte ich gerne mal alles 'benutzt', um die Methoden einzeln zu erproben..:
1.) Cauchy-Hadamard:
$r := \frac{1}{lim sup \sqrt[n]{|a_{n}|}}$ ( n \to \infty ; ich bekomme das leider nicht unter das Limeszeichen)
Für obige Reihe sei nun $a_n = \frac{(-1)^n*n!}{10^n}$.
Nun ist $\sqrt[n]{|a_{n}|} = \sqrt[n]{|\frac{(-1)^n*n!}{10^n}|} = \sqrt[n]{\frac{n!}{10^n}} = \frac{\sqrt[n]{n!}{10}}$
Für $ n \to \infty $ :
$lim sup \sqrt[n]{|a_{n}|} = lim sup \frac{\sqrt[n]{n!}{10}} = \infty$
Folglich ist nun:
$r = \frac{1}{lim sup \frac{\sqrt[n]{n!}{10}} = 0$ ( für n \to \infty).
Schlussfolgerung?:
Der Konvergenzradius ist gleich 0, d.h. es gibt keinen Grenzwert?
2.) 'Euler'
$ r: = lim | \frac{a_{n}}{a_{n+1}} | $
In Anwendung zur obigen Reihe:
$ r = lim |\frac{n!}{10^n} * \frac{10^{n+1}}{(n+1)!}| = lim | \frac{10}{n+1}| = 0$ (für$ n \to \infty$)
Schlussfolgerung?:
Siehe 1.)
3.) Quotientenkriterium.
Der Konvergenzradius kann hier mithilfe des Quotientenkriteriums berechnet werden, da fast alle Glieder der Folge $a_n \not\eq 0$ sind. (wenn mich nicht alles täuscht, sind es sogar alle).
Dann folgt nun diese Rechnung:
$ |(x-x_{0}| * lim sup |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =|x| * lim sup |\frac{(n+1)!*10^n}{10^{n+1}*n!}| = |x| * lim sup | \frac{n+1}{10} | = |x| * \infty \not < 1$, d.h. die Reihe konvergiert nicht; Das Quotientenkriterium kann nicht zur Berechnungen eines nicht vorhandenen Grenzwertes genutzt werden.
4.) Eine Frage noch am Ende:
Sollte mit Hilfe des Quotientenkriteriums am Ende ein Ergebnis beispielsweise $\frac{|x|}{2} < 1 <=> |x| < 2$ lauten, kann ich dann davon ausgehen, dass die gesamte Reihe für $ -2 < x < 2 $ konvergiert, in jedem anderen Fall aber divergiert?
Vielen Dank fürs Korrigieren 
Beste Grüße,
K.
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Hallo Kartoffelchen,
> Berechnen Sie den Konvergenzradius der Reihe
>
> [mm]\sum_{n=0}^\infty (\frac{(-1)^n * n!}{10^n} * x^n[/mm]
>
> Hallöchen!
>
> Nun, zum Konvergenzradius habe, da keine Vorlesung besucht
> wird, ich Folgendes aus den Weiten des Internets (und
> Lehrbüchern) fischen können:
>
> 1.) Konvergenzradius mit Cauchy-Hadamard berechnen ->
> klappt immer
> 2.) Konvergenzradius nach Euler berechnen -> klappt wohl
> nicht immer
Ja, du musst halt aufpassen, dass du bei der Bildung des Quotienten [mm] $\frac{a_n}{a_{n+1}}$ [/mm] nicht durch 0 teilst ...
> 3.) Konvergenzradius mithilfe des Quotientenkriteriums
> berechnen.
>
> Nun hätte ich gerne mal alles 'benutzt', um die Methoden
> einzeln zu erproben..:
>
> 1.) Cauchy-Hadamard:
>
> [mm]r := \frac{1}{lim sup \sqrt[n]{|a_{n}|}}[/mm] ( n [mm]\to \infty[/mm] ;
> ich bekomme das leider nicht unter das Limeszeichen)
>
> Für obige Reihe sei nun [mm]a_n = \frac{(-1)^n*n!}{10^n}[/mm].
> Nun
> ist [mm]\sqrt[n]{|a_{n}|} = \sqrt[n]{|\frac{(-1)^n*n!}{10^n}|} = \sqrt[n]{\frac{n!}{10^n}} = \frac{\sqrt[n]{n!}{10}}[/mm]
>
> Für [mm]n \to \infty[/mm] :
> [mm]lim%20sup%20%5Csqrt%5Bn%5D%7B%7Ca_%7Bn%7D%7C%7D%20%3D%20lim%20sup%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%5Bn%5D%7Bn!%7D%7B10%7D%7D%20%3D%20%5Cinfty[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Klammer vergessen 
[mm] $\limsup\limits_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{10}=\infty$ [/mm] <-- klick mal drauf!
>
> Folglich ist nun:
> [mm]r = \frac{1}{lim sup \frac{\sqrt[n]{n!}{10}} = 0[/mm] ( für n
> [mm]\to \infty).[/mm]
>
> Schlussfolgerung?:
> Der Konvergenzradius ist gleich 0, d.h. es gibt keinen
> Grenzwert?
Hä?
Wie jetzt? Deine Rechnung besagt, dass die Reihe nur für $x=0$ konvergiert.
Für $x=0$ hast du die Reihe [mm] $\sum\limits_{n\ge 0}0$
[/mm]
>
> 2.) 'Euler'
> [mm]r: = lim | \frac{a_{n}}{a_{n+1}} |[/mm]
>
> In Anwendung zur obigen Reihe:
>
> [mm]r = lim |\frac{n!}{10^n} * \frac{10^{n+1}}{(n+1)!}| = lim | \frac{10}{n+1}| = 0[/mm]
> (für[mm] n \to \infty[/mm])
Das ist der bequemste Weg ...
>
> Schlussfolgerung?:
> Siehe 1.)
Siehe Anmerkung dazu ...
>
> 3.) Quotientenkriterium.
>
> Der Konvergenzradius kann hier mithilfe des
> Quotientenkriteriums berechnet werden, da fast alle Glieder
> der Folge [mm]a_n \not\eq 0[/mm] sind. (wenn mich nicht alles
> täuscht, sind es sogar alle).
>
> Dann folgt nun diese Rechnung:
>
> [mm]|(x-x_{0}| * lim sup |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =|x| * lim sup |\frac{(n+1)!*10^n}{10^{n+1}*n!}| = |x| * lim sup | \frac{n+1}{10} | = |x| * \infty \not < 1[/mm],
> d.h. die Reihe konvergiert nicht; ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das Quotientenkriterium
> kann nicht zur Berechnungen eines nicht vorhandenen
> Grenzwertes genutzt werden.
Eine Potenzreihe konvergiert doch immer zumindest in ihrem Entwicklungspunkt ...
>
>
> 4.) Eine Frage noch am Ende:
>
> Sollte mit Hilfe des Quotientenkriteriums am Ende ein
> Ergebnis beispielsweise [mm]\frac{|x|}{2} < 1 <=> |x| < 2[/mm]
> lauten, kann ich dann davon ausgehen, dass die gesamte
> Reihe für [mm]-2 < x < 2[/mm] konvergiert, in jedem anderen Fall
> aber divergiert?
Das kannst du nur für [mm] $|x|\red [/mm] > \ 2$ sagen, wie es an den Randpunkten $|x|=2$, also [mm] $x=\pm [/mm] 2$ aussieht, müsstest du im Bedarfsfall durch Einsetzen von [mm] $x=\pm [/mm] 2$ in die Reihe separat prüfen ...
>
> Vielen Dank fürs Korrigieren
>
> Beste Grüße,
>
> K.
LG
schachuzipus
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Hehyo,
danke, das ging ja fix
Klar, dass für Reihe für $x = 0$ konvergiert :D Danke!
Wenn also $ r = 0 $ am Ende der Rechnung steht, heißt das, dass es eben nur (und wirklich nur) für $ x = 0$ eine Konvergenz der Reihe gibt?
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Hallo nochmal,
> Hehyo,
>
> danke, das ging ja fix
>
> Klar, dass für Reihe für [mm]x = 0[/mm] konvergiert :D Danke!
>
> Wenn also [mm]r = 0[/mm] am Ende der Rechnung steht, heißt das,
> dass es eben nur (und wirklich nur) für [mm]x = 0[/mm] eine
> Konvergenz der Reihe gibt?
Wenn $r$ den Konvergenzradius bezeichnet und die Entwicklungsstelle [mm] $x_0=0$ [/mm] lautet, dann ja!
Gruß
schachuzipus
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